古典的な確率密度

古典確率密度は、古典力学系において、ある位置の近傍にポテンシャルエネルギーを与えられた粒子が存在する確率を表す確率密度関数である。これらの確率密度は、対応原理への洞察を深め、研究対象の量子系と古典極限との関連を明らかにする上で役立つ。^[1]^[2]^[3]

数学的背景

振幅 $A$ で静止している単振動子の例を考えてみましょう。この系が光を通さない容器の中に入れられ、内部で起こっていることをスナップショットとして撮影できるカメラを使ってしか観察できないとします。各スナップショットには、振動子の軌道上の任意の位置 $x$ で振動子が見られる確率があります。古典的な確率密度は、どの位置がより可能性が高く、どの位置がより可能性が低いか、系の平均位置などを表します。この関数を導くには、振動子が最も存在する可能性の高い位置は、振動子がほとんどの時間を過ごしている位置であるという事実を考えてみましょう。実際、与えられた $x値に存在する確率は、その$ $x$ 値付近で過ごす時間に比例します。振動子が与えられた $x$ 値の近傍 $dx$ で無限小の時間 $dt$ を過ごす場合、その近傍に存在する確率 $P$ $($ $x$ $)$ $dxは次のようになります。$

P(x)\,dx\propto dt.

振動子に作用する力は保存力であり、運動は有限領域で発生するため、運動は周期 $Tで表されます。振動子が$ $x$ 軸の最小値と最大 $値$ の間の任意の位置に存在する確率は必ず1となるため、正規化は

\int _{x_{\rm {min}}}^{x_{\rm {max}}}P(x)\,dx=1=N\int _{t_{i}}^{t_{f}}dt

が用いられます。ここで、 $N$ は正規化定数です。振動質量は周期の半分でこの位置範囲を移動します（全周期は $-Aから$ $+ A$ まで移動し $、$ その後再び $-Aに戻ります）$ $。t$ の積分は $T$ $/2$ $に$ 等しく、 $N$ $は2/$ $T$ となります。

連鎖律を用いると、 $dtは$ $dt = dx /(dx / dt)$ とすることで質量が滞留する高さで表すことができるので、確率密度は次のようになる。

P(x)\,dx={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{dx/dt}}={\frac {2}{T}}\,{\frac {dx}{v(x)}},

ここで、 $v (x)$ は振動子の位置の関数としての速度である。（速度はスカラー値であるため、 $v (x)はどちらの半周期でも同じである。）この時点では、$ $P$ $($ $x$ $)$ を得るための関数 $v (x)$ を与えるだけでよい。保存力を受ける系の場合、これは速度とエネルギーを関連付けることによって行われる。運動エネルギー $Kは$ $1$ $⁄$ $2$ $mv$ $2$ であり、全エネルギー $E$ $=$ $K$ $+$ $U （$ $U$ $($ $x$ $)$ は系の位置エネルギー）であるため、速度は次のように表される。

v(x)={\sqrt {\frac {2K}{m}}}={\sqrt {{\frac {2}{m}}[E-U(x)]}}.

これを $P (x)$ の式に代入すると次のようになる。

P(x)={\frac {1}{T}}{\sqrt {\frac {2m}{E-U(x)}}}.

最初の例は調和振動子でしたが、ここまでの計算は保存力を受ける粒子に対して完全に一般的なものでした。この式は、対応するポテンシャルエネルギー関数を代入することで、任意の1次元物理系に一般化できます。そうすれば、任意の許容エネルギー $Eに対して$ $P (x)$ を容易に得ることができます。

例

単振動子

$量子調和振動子のn = 30$ 状態の確率密度関数。実線は量子力学的確率密度を、点線は古典的確率密度を表す。破線の垂直線は系の古典的転換点を示す。

上記の導出で使用した例から始めると、単振動子の位置エネルギー関数は次のようになる。

U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2},

ここで、 $k$ は振動子のバネ定数、 $ω = 2 π / T$ は振動子の固有角周波数である。振動子の全エネルギーは、 $x$ $= \pm$ $A$ の変曲点における $U (x)を求めることで得られる。これを$ $P$ $($ $x$ $)$ の式に代入すると、以下の式が得られる。

P(x)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}.

この関数は転換点において2つの垂直漸近線を持ちますが、これは物理的に理にかなっています。転換点は振動子が静止している場所であり、したがってこれらの $x$ 値の近傍に存在する可能性が最も高いからです。確率密度関数は無限大に近づく傾向にありますが、確率は曲線自体ではなく、曲線の下の面積によって有限であることに留意してください。

跳ねるボール

損失のない跳ねるボールの場合、位置エネルギーと全エネルギーは

U(z)=mgz,

E=mgh,

ここで $h$ はボールが到達した最高高度である。これを $P (z)$ に代入すると、

P(z)={\frac {1}{2{\sqrt {h}}}}{\frac {1}{\sqrt {h-z}}},

ここで、この関係式は前段の因子を簡略化するために用いられました。この関数の定義域は（ボールは $z$ $= 0$ では床を突き抜けません）なので、分布は単振動子の場合のように対称ではありません。ここでも、 $z$ $=$ $h$ の転換点に垂直漸近線が存在します。 $T={\sqrt {8h/g}}$ $z\in [0,h]$

運動量空間分布

位置空間における確率分布を見ることに加えて、運動量に基づいてシステムを特徴付けることも有用である。上記と同様の議論に従うと、結果は^{[2]となる。}

P(p)={\frac {2}{T}}{\frac {1}{|F(x)|}},

ここで、 $F (x) = - dU / dx$ は粒子に作用する力であり、位置の関数として表されます。実際には、この関数は変数変換によって運動量 $pを用いて表す必要があります。$

単振動子

上記の単純な調和振動子の例をとると、位置エネルギーと力は次のように表される。

U(x)={\frac {1}{2}}kx^{2},

|F(x)|=|-kx|={\sqrt {2kU(x)}}={\sqrt {{\frac {k}{m}}(2mE-p^{2})}}.

$(2 mE) 1/2 = p 0$ をシステムの最大運動量と見なすと、これは次のように単純化される。

P(p)={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{\sqrt {p_{0}^{2}-p^{2}}}}.

これは位置空間確率分布と同じ関数形を持つことに注意されたい。これは単振動子の問題に特有のものであり、運動方程式における $x$ と $pの対称性によって生じる。$

跳ねるボール

跳ねるボールの例はより単純です。この場合、力は一定です。

F(x)=mg,

結果として確率密度関数

P(p)={\frac {1}{m{\sqrt {8gh}}}}={\frac {1}{2p_{0}}}{\text{ for }}|p|<p_{0},

ここで、 $p 0 = m (2 gh) 1/2$ はボールの最大運動量です。この系では、すべての運動量は等確率で発生します。

参照

参考文献

^ グリフィス, デイビッド・J. ; シュローター, ダレル・F. (2018).量子力学入門（第3版）. ケンブリッジ大学出版局. pp. 12– 13, 20, 53. ISBN 978-0-13-191175-8。
^ ab Robinett, RW (1995). 「位置と運動量に関する量子および古典確率分布」 . American Journal of Physics . 63 (9): 823– 832. Bibcode :1995AmJPh..63..823R. doi :10.1119/1.17807.
^ リボフ、リチャード・L. (1980).量子力学入門. アディソン・ウェズリー出版社. pp. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9。

[1] グリフィス, デイビッド・J. ; シュローター, ダレル・F. (2018).量子力学入門（第3版）. ケンブリッジ大学出版局. pp. 12– 13, 20, 53. ISBN 978-0-13-191175-8。

[AJP-2] Robinett, RW (1995). 「位置と運動量に関する量子および古典確率分布」 . American Journal of Physics . 63 (9): 823– 832. Bibcode :1995AmJPh..63..823R. doi :10.1119/1.17807.

[3] リボフ、リチャード・L. (1980).量子力学入門. アディソン・ウェズリー出版社. pp. 91, 194. ISBN 0-201-12221-9。