古典統一場理論

19世紀以降、アルベルト・アインシュタインをはじめとする物理学者たちは、自然界のあらゆる基本的な力を説明できる単一の理論的枠組み、すなわち統一場理論の構築を試みてきました。古典統一場理論とは、古典物理学に基づく統一場理論を構築しようとする試みです。特に、重力と電磁気の統一は、二度の世界大戦間の数年間に多くの物理学者と数学者によって精力的に追求されました。この研究は、微分幾何学の純粋数学的発展を促しました。

本稿では、古典的（非量子的）な相対論的統一場理論を定式化する様々な試みについて述べる。統一以外の理論的関心から生まれた古典的相対論的重力場理論の概要については、「古典重力理論」を参照のこと。量子重力理論の構築に向けた現在の研究の概要については、「量子重力」を参照のこと。

概要

統一場理論を構築する初期の試みは、一般相対性理論のリーマン幾何学から始まり、通常のリーマン幾何学では電磁場の特性を表現できないと思われたため、より一般的な幾何学に電磁場を組み込む試みがなされた。電磁気学と重力の統一を目指したのはアインシュタインだけではなく、ヘルマン・ワイル、アーサー・エディントン、テオドール・カルツァなど多くの数学者や物理学者もこれらの相互作用を統一できる手法の開発を試みた。[ 1 ] [ 2 ]これらの科学者たちは、幾何学の基礎を拡張し、余分な空間次元を追加するなど、いくつかの一般化の道を追求した。

初期の作品

統一理論を提供する最初の試みは、1912年のG. ミー[ 3 ] [ 4 ] : 115 と1916年のエルンスト・ライヒェンバッハー[ 5 ]であった。しかし、これらの理論は一般相対論がまだ定式化されていなかったため、一般相対論を組み込んでおらず、不十分であった。これらの試みは、ルドルフ・フェルスターの試みと共に、計量テンソル（それまで対称で実数値であると仮定されていた）を非対称または複素数値のテンソルに変換すること、そして物質のための場の理論の構築も試みた。

微分幾何学と場の理論

1918年から1923年まで、場の理論には3つの異なるアプローチがありました。ワイルのゲージ理論、カルツァの五次元理論、そしてエディントンによるアフィン幾何学の発展です。アインシュタインはこれらの研究者と文通し、カルツァとも協力しましたが、統一の取り組みにはまだ完全には関与していませんでした。

ワイルの無限小幾何学

ヘルマン・ワイルは、一般相対性理論の幾何学に電磁気学を取り入れるため、一般相対性理論の基礎となっているリーマン幾何学を一般化しようとした。彼の考えは、より一般的な無限小幾何学を作ることだった。彼は、計量場に加えて、多様体内の2点間の経路に沿って追加の自由度が存在する可能性があることに着目し、そのような経路に沿った局所的なサイズの測度を比較するための基本的な方法、すなわちゲージ場を導入することでこれを利用しようとした。この幾何学は、計量gに加えてベクトル場Qが存在するという点でリーマン幾何学を一般化し、これらが一緒になって電磁場と重力場の両方を生み出すものとなった。この理論は数学的には健全であったが、複雑であったため、難しくて高次の場の方程式をもたらした。この理論の重要な数学的要素であるラグランジアンと曲率テンソルは、ワイルと同僚によって解明された。その後、ワイルはアインシュタインらとこの理論の物理的妥当性について広範なやり取りを行い、最終的にこの理論は物理的に不合理であることが判明した。しかし、ワイルのゲージ不変性の原理は、後に修正された形で量子場の理論に適用された。

カルザの第五次元

カルツァの統一へのアプローチは、時空を4つの空間次元と1つの時間次元からなる5次元円筒形世界に埋め込むというものだった。ワイルのアプローチとは異なり、リーマン幾何学は維持され、追加の次元によって電磁場ベクトルを幾何学に組み込むことが可能になった。このアプローチは比較的数学的に簡潔であったが、アインシュタインと彼の助手グロマーとの共同研究において、この理論は特異でない静的球対称解を許容しないことが判明した。この理論はアインシュタインの後の研究にいくらか影響を与え、後にクラインによって量子論に相対性理論を組み込む試みの中でさらに発展させられ、現在ではカルツァ＝クライン理論として知られている。

エディントンのアフィン幾何学

アーサー・スタンレー・エディントン卿は著名な天文学者であり、アインシュタインの一般相対性理論の熱心で影響力のある推進者となった。彼は、一般相対性理論の本来の焦点であった計量テンソルではなく、アフィン接続を基本構造場とする重力理論の拡張を最初に提唱した一人である。アフィン接続は、ある時空点から別の時空点へのベクトルの平行移動の基礎となる。エディントンは、ある微小ベクトルを別の微小ベクトルに沿って平行移動させた結果が、2つ目の微小ベクトルを最初の微小ベクトルに沿って移動させた結果と同じになる可能性が高いと考えたため、アフィン接続の共変指数が対称であると仮定した。（後の研究者たちはこの仮定を再検討した。）

エディントンは、彼が認識論的考察とみなすものを強調した。例えば、彼は一般相対論的場の方程式の宇宙定数版が、宇宙が「自己計測的」であるという性質を表現すると考えていた。この方程式を解く最も単純な宇宙論モデル（ド・ジッター宇宙）は、球対称で定常の閉じた宇宙（より一般的には膨張によるものと解釈される宇宙論的赤方偏移を示す）であるため、宇宙の全体的な形態を説明しているように思われた。

他の多くの古典統一場理論家と同様に、エディントンは、一般相対性理論のアインシュタイン場の方程式において、物質／エネルギーを表す応力エネルギーテンソルは 単なる暫定的なものであり、真の統一理論においては、源項は自由空間場の方程式の何らかの側面として自動的に生じると考えていた。彼はまた、当時知られていた2つの素粒子（陽子と電子）がなぜ質量が大きく異なるの かを、改良された基礎理論によって説明できるという希望を共有していた。Tμν{\displaystyle T_{\mu \nu}}

相対論的量子電子に対するディラック方程式は、エディントンに、基礎物理理論はテンソルに基づかなければならないという以前の信念を改めさせた。その後、彼は主に代数的概念（彼はこれを「Eフレーム」と呼んだ）に基づく「基礎理論」の構築に尽力した。しかしながら、この理論の記述は不完全で難解であったため、彼の研究を継承する物理学者はほとんどいなかった。[ 6 ]

アインシュタインの幾何学的アプローチ

マクスウェル方程式の電磁気学における等価物がアインシュタインの一般相対性理論の枠組み内で定式化されると、電磁場エネルギー（アインシュタイン方程式 E=mc 2で定義される質量に等価）は応力テンソルに寄与し、ひいては重力場の一般相対論的表現である時空の曲率に寄与する。言い換えれば、曲がった時空の特定の構成には電磁場の効果が組み込まれている。これは、純粋に幾何学的な理論ではこれら2つの場を同じ基本現象の異なる側面として扱うべきであることを示唆している。しかし、通常のリーマン幾何学では、電磁場の特性を純粋に幾何学的な現象として記述することはできない。

アインシュタインは、物理法則全体の起源が単一であるという信念に基づき、重力と電磁力（そしておそらく他の力も）を統一する一般化された重力理論を構築しようと試みた。これらの試みは当初、四周波や「遠隔平行性」といった幾何学的概念の付加に焦点を当てていたが、最終的には計量テンソルとアフィン接続の両方を基本場として扱うことに集中した。（これらは独立ではないため、計量アフィン理論はやや複雑であった。）一般相対論では、これらの場は（行列の意味で）対称であるが、電磁気学では反対称性が不可欠であると考えられたため、一方または両方の場の対称性要件は緩和された。アインシュタインが提唱した統一場方程式（物理学の基本法則）は、一般的に、想定された時空多様体に対するリーマン曲率テンソルで表される変分原理から導かれた。[ 7 ]

この種の場の理論では、粒子は時空における限られた領域として現れ、その中で場の強度またはエネルギー密度が特に高い。アインシュタインと同僚のレオポルド・インフェルドは、アインシュタインの統一場の最終理論において、場の真の特異点は点粒子に似た軌跡を描くことを証明することに成功した。しかし、特異点は方程式が破綻する場所であり、アインシュタインは究極の理論においては法則はどこにでも適用され、粒子は（高度に非線形な）場の方程式に対するソリトン的な解となるはずだと信じていた。さらに、宇宙の大規模なトポロジーは、量子化や離散対称性といった制約を解に課すはずである。

抽象度の高さに加え、非線形方程式系を解析するための優れた数学的ツールが相対的に不足していることから、こうした理論と、それが記述する物理現象を結び付けることは困難です。例えば、ねじれ（アフィン接続の反対称部分）は電磁気学ではなくアイソスピンと関連している可能性が示唆されています。これは、アインシュタインが「変位場の双対性」として知っていた離散的（あるいは「内部」 ）対称性と関連しています。

アインシュタインは一般化された重力理論の研究においてますます孤立し、多くの物理学者は彼の試みは最終的に失敗だったと考えている。特に、基本的な力の統一という彼の追求は、強い核力と弱い核力の発見に代表される量子物理学の発展を無視していた（そしてその逆もまた然りである） 。[ 8 ]

シュレーディンガーの純粋アフィン理論

アインシュタインの統一場理論へのアプローチと、時空の微分幾何学的構造の唯一の基盤としてのアフィン接続というエディントンの考えに触発され、エルヴィン・シュレーディンガーは1940年から1951年にかけて、一般化重力理論の純粋アフィン定式化を徹底的に研究した。彼は当初は対称的なアフィン接続を仮定していたが、後にアインシュタインと同様に非対称場を考慮した。

この研究におけるシュレーディンガーの最も印象的な発見は、リーマン曲率テンソルからの単純な構成によって計量テンソルが多様体上に誘導されたことであった。リーマン曲率テンソルは、アフィン接続のみから構成される。さらに、このアプローチを変分原理の最も実行可能な基底に適用すると、アインシュタインの一般相対論的場の方程式の形を持つ場の方程式が得られ、宇宙論的項が自動的に生じる。[ 9 ]

アインシュタインの懐疑論や他の物理学者による批判がシュレーディンガーのやる気をなくさせ、この分野での彼の研究はほとんど無視されてきた。

後期の作品

1930年代以降、重力以外の自然界の基本的な力に関する量子論的記述の継続的な発展と、重力の量子理論の構築における困難に直面したことにより、古典的統一理論に取り組む科学者は次第に減少していった。アインシュタインは重力と電磁気学の理論的統一への試みを続けたが、この研究においてますます孤立していき、死去するまでこの研究を続けた。アインシュタインの著名人としての地位は、彼の最後の探求に大きな注目を集めたが、最終的には限定的な成果に終わった。

一方、ほとんどの物理学者は最終的に古典的な統一理論を放棄しました。統一場理論に関する現在の主流の研究は、重力の量子理論を構築し、物理学における他の基礎理論（いずれも量子場理論）と統一するという問題に焦点を当てています。（弦理論などの一部のプログラムは、これらの問題の両方を同時に解決しようと試みています。）既知の4つの基本的な力のうち、重力は依然として他の力との統一が困難な力です。

新しい「古典的な」統一場理論は、スピノルなどの非伝統的な要素を含んだり、重力を電磁力に関連付けたりすることが多く、時々提案され続けていますが、物理学者に広く受け入れられているものはまだありません。

参照

参考文献

  1. ^ワイル、H. (1918)。 「重力と電気」。シッツ。プロイス。アカド。ウィス。：465。
  2. ^エディントン, AS (1924). 『相対性理論の数学的理論』第2版. ケンブリッジ大学出版局.
  3. ^三重、G. (1912)。「Grundlagen einer Theorie der Materie」。アンナレン・デア・フィジーク。37 (3): 511–534。Bibcode : 1912AnP...342..511M。土井：10.1002/andp.19123420306。
  4. ^メーラ、ジャグディッシュ (1987). 「アインシュタイン、ヒルベルト、そして重力理論」. メーラ、ジャグディッシュ編. 『物理学者の自然観』（復刻版）. ドルドレヒト: ライデル. ISBN 978-90-277-2536-3。
  5. ^ Reichenbächer、E. (1917)。「電気と重力の理論」。アンナレン・デア・フィジーク。52 (2): 134–173。Bibcode : 1917AnP...357..134R。土井：10.1002/andp.19173570203。
  6. ^キルミスター、CW (1994).エディントンの基礎理論の探求. ケンブリッジ大学出版局.
  7. ^アインシュタイン、A. (1956). 『相対性理論の意味』第5版. プリンストン大学出版局.
  8. ^ゲンナー、ヒューバート・FM 「統一場理論の歴史について」。Living Reviews in Relativity 。 2006年2月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2005年8月10日閲覧。
  9. ^シュレーディンガー、E.（1950）『時空構造』ケンブリッジ大学出版局。
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