クラウゼンの式

数学において、トーマス・クラウゼン （1828年）によって発見されたクラウゼンの公式は、ガウス超幾何級数の2乗を一般化された超幾何級数として表す。

${\displaystyle \;_{2}F_{1}\left[{\begin{matrix}a&b\\a+b+1/2\end{matrix}};x\right]^{2}=\;_{3}F_{2}\left[{\begin{matrix}2a&2b&a+b\\a+b+1/2&2a+2b\end{matrix}};x\right]}$

特に、超幾何級数が正となるための条件を与えます。これは、ド・ブランジュの定理の証明に用いられるアスキー・ガスパー不等式など、いくつかの不等式の証明に利用できます。

参考文献

• アンドリュース、ジョージ・E.、アスキー、リチャード、ロイ、ランジャン（1999）、特殊関数、数学とその応用百科事典、第71巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-62321-6、MR  1688958
• Clausen, Thomas (1828)、「Ueber die Fälle, wenn die Reihe von der Form y = 1 + ... etc. ein Quadrat von der Form z = 1 ... etc.hat」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、3
• クラウゼンの公式の詳細な証明については、Milla, Lorenz (2018), A detailed proof of the Chudnovsky formula with means of basic complex analysis、arXiv : 1809.00533をご覧ください。