等線回路

4GHz、50Ω、3次3dBチェビシェフローパス フィルタの整合線路設計の例。A.プロトタイプ フィルタは集中定数で、ω=1、Z ₀ =1 です。B. フィルタ周波数とインピーダンスを 4GHz および 50Ω にスケーリングしました。これらのコンポーネント値は小さすぎるため、個別のコンポーネントとして簡単に実装できません。C. プロトタイプ回路は、リチャーズ変換によってオープンワイヤの整合線路に変換されました。D. 黒田の恒等式をプロトタイプに適用して、直列インダクタを除去しました。E. 50Ω 動作時のインピーダンス スケーリング。周波数スケーリングは、線路長を λ/8 に設定することによって実現されます。F.マイクロストリップでの実装。

等長線路回路は、すべて同じ長さ（通常は波長の8分の1）の伝送線路で構成される電気回路です。 集中定数回路は、リチャーズ変換を用いることで、この形式の分布定数回路に直接変換できます。この変換は非常に単純な結果をもたらします。インダクタは短絡終端された伝送線路に、コンデンサは開放終端された線路に置き換えられます。等長線路理論は、マイクロ波周波数で使用する分布定数フィルタの設計に特に有用です。

通常、黒田恒等式を用いて回路をさらに変換する必要があります。黒田変換のいずれかを適用する理由はいくつかありますが、主な理由は通常、直列接続された部品を除去することです。広く使用されているマイクロストリップなど、一部の技術では、直列接続の実装が困難または不可能です。

整合線路回路の周波数応答は、他の分布定数回路と同様に周期的に繰り返されるため、有効な周波数範囲が制限されます。リチャーズと黒田の手法で設計された回路は、必ずしも最もコンパクトなものではありません。素子間の結合方法を改良することで、よりコンパクトな設計が可能になります。しかしながら、整合線路理論は、これらのより高度なフィルタ設計の多くにおいて、依然として基礎となっています。

相応の線

等長線路とは、電気長はすべて同じであるが、特性インピーダンス（Z _{0 ）は必ずしも同じではない}伝送線路である。等長線路回路とは、抵抗器または短絡回路と開放回路で終端された等長線路のみで構成される電気回路である。1948年、ポール・I・リチャーズは等長線路回路の理論を発表した。この理論により、受動的な集中定数回路は、特定の周波数範囲において全く同じ特性を持つ分布定数回路に変換することができる。^{[ 1 ]}

分布定数回路における線路の長さは、一般に、回路の公称動作波長λで表される。等間隔線路回路において規定された長さの線路は単位素子（UE）と呼ばれる。UEがλ/8の場合、特に単純な関係が成り立つ。^{[ 2 ]} 集中定数回路の各素子は、対応するUEに変換される。しかし、線路のZ _{0 は}、類似の集中定数回路の素子値に応じて設定する必要があり、その結果、Z _{0の値が実装上現実的ではない場合がある。これは、}マイクロストリップなどの印刷技術において、高い特性インピーダンスを実現する場合に特に問題となる。高いインピーダンスを実現するには細い線路が必要であり、印刷できる最小サイズが存在する。一方、非常に太い線路では、望ましくない横方向共振モードが形成される可能性がある。これらの問題を克服するために、異なる長さのUEと異なるZ ₀を選択できる場合がある。^{[ 3 ]}

電気長は、線路の始点と終点の間の 位相変化として表すこともできます。位相は角度単位で測定されます。 角度変数を表す数学記号λは、角度で表す場合の電気長の記号として使用されます。この慣例において、λは360°、つまり2πラジアンを表します。^{[ 4 ]}${\displaystyle \theta}$

整合線路を用いる利点は、整合線路理論によって、所定の周波数関数から回路を合成できることである。任意の伝送線路長を持つ回路は、その周波数関数を決定するために解析できるものの、必ずしも周波数関数から容易に合成できるとは限らない。根本的な問題は、複数の長さの伝送線路を用いる場合、一般的に複数の周波数変数が必要となることである。整合線路を用いる場合、必要な周波数変数は1つだけである。与えられた周波数関数から集中定数回路を合成するための、よく練られた理論が存在する。このように合成された回路は、リチャーズ変換と新しい周波数変数を用いて、整合線路回路に変換することができる。^{[ 5 ]}

リチャーズの変化

リチャーズ変換は角周波数変数ωを次のように 変換する。

${\displaystyle \omega \to \tan(k\omega )}$

あるいは、さらに詳細な分析を行うために、複素周波数変数sを用いて、

${\displaystyle s\to \tanh(ks)}$

ここでkはUEの長さθと設計者が選択した基準周波数_ωcに関連する任意の定数であり、

${\displaystyle k\omega_{c}=\theta .}$

kは時間の単位を持ち、実際にはUE によって挿入される位相遅延です。

この変換を、それぞれ短絡回路と開回路で終端された スタブの駆動点インピーダンスの式と比較すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\tan(k\omega )\\Z_{\mathrm {OC} }&=-jZ_{0}\cot(k\omega )\\\end{aligned}}}$

θ < π/2 の場合、短絡スタブは集中インダクタンスのインピーダンスを持ち、開放スタブは集中容量のインピーダンスを持つことがわかります。リチャーズの変換では、インダクタを短絡UEに、コンデンサを開放UEに置き換えます。 ^{[ 6 ]}

長さがλ/8（またはθ=π/4）のとき、これは次のように単純化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jZ_{0}\\Z_{\mathrm {OC} }&=-jZ_{0}\\\end{aligned}}}$

これはよく次のように書かれます。

${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{\mathrm {SC} }&=jL\\Z_{\mathrm {OC} }&={1 \over jC}\\\end{aligned}}}$

LとCは慣習的にインダクタンスと容量を表す記号ですが、ここではそれぞれ誘導性スタブの特性インピーダンスと容量性スタブの特性アドミタンスを表します。この表記法は多くの著者によって使用されており、本稿の後半でも用いられます。^{[ 7 ]}

オメガドメイン

5次チェビシェフフィルタの周波数応答（上）と、リチャーズ変換を適用した後の同じフィルタ

リチャーズの変換は、 s領域表現からΩ領域と呼ばれる新しい領域への 変換と見ることができる。

${\displaystyle \Omega =\tan(k\omega )}$

Ωが正規化されて、ω=ω _cのときにΩ=1となる場合、次式が成立する。

${\displaystyle k\omega _{c}=\theta ={\pi \over 4}}$

距離単位での長さは、

${\displaystyle \ell ={\lambda \over 8}}$

離散的、線形、集中定数で構成される回路は、伝達関数H ( s ) がsに関して有理関数となる。リチャーズ変換によって集中定数回路から導出された伝送線路UEで構成される回路は、伝達関数H ( j Ω ) がH ( s )と全く同じ形の有理関数となる。つまり、集中定数回路の周波数応答の形状は、周波数変数sに対しては伝送線路回路の周波数応答の形状と全く同じであり、回路は機能的に同じである。^{[ 8 ]}

しかし、Ω領域における無限大は、s領域ではω=π/4 kに変換されます。周波数応答全体はこの有限区間に圧縮されます。この周波数を超えると、同じ応答が同じ区間で交互に反転して繰り返されます。これは、正接関数の周期的な性質によるものです。この多重通過帯域の結果は、リチャーズ変換によって得られる回路だけでなく、すべての分布定数回路に共通する特徴です。^{[ 9 ]}

カスケード要素

カスケード接続されたUEは、集中定数素子で正確に一致する回路を持たない2ポートネットワークです。機能的には固定遅延です。ベッセルフィルタのように固定遅延を近似できる集中定数素子回路はありますが、理想的な部品を使用しても、規定の通過帯域内でしか動作しません。あるいは、理想的な部品を使用してすべての周波数を通過させる集中定数素子オールパスフィルタを構築することもできますが、その場合、一定の遅延は狭い周波数帯域内でのみ発生します。例としては、格子位相イコライザやブリッジT遅延イコライザなどがあります。^{[ 10 ]}

したがって、リチャード変換によって縦続接続線路に変換できる集中回路は存在せず、この要素の逆変換も存在しない。したがって、整合線路理論は遅延、つまり長さという新しい要素を導入する。^{[ 1 ]} 同じZ ₀を持つ2つ以上のUEを縦続接続することは、1本のより長い伝送線路と等価である。したがって、整合回路では、整数nに対して長さnθの線路が許容される。一部の回路は、完全にUEの縦続接続として実装することができる。例えば、インピーダンス整合ネットワークは、ほとんどのフィルタと同様に、この方法で実現できる。^{[ 1 ]}

黒田の正体

黒田の正体

黒田恒等式は、リチャーズ変換を直接適用する際に生じるいくつかの困難を克服する4つの等価回路の集合である。4つの基本変換は図に示されている。ここでは、コンデンサとインダクタの記号が開放回路スタブと短絡回路スタブを表すために用いられている。同様に、記号CとLはそれぞれ開放回路スタブのサセプタンスと短絡回路スタブのリアクタンスを表しており、θ=λ/8のとき、これらはスタブ線路の特性アドミタンスと特性インピーダンスに等しい。太線の四角は、示されている特性インピーダンスを持つ、等長の線路が縦続接続された状態を表す。^{[ 11 ]}

解決される最初の難題は、すべてのUEを同一点で接続する必要があるという点である。これは、集中定数素子モデルでは、すべての素子がゼロ空間（または有意な空間を全く占めない）を占有し、素子間の信号遅延がないと仮定しているためである。リチャーズ変換を適用して集中定数回路を分散定数回路に変換すると、素子は有限空間（その長さ）を占有できるが、相互接続間の距離がゼロであるという要件は解消されない。最初の2つの黒田恒等式を繰り返し適用することで、回路のポートに供給される線路のUEの長さを回路コンポーネント間で移動させ、それらを物理的に分離することができる。^{[ 12 ]}

黒田恒等式が克服できる2つ目の難点は、直列接続された線路が必ずしも実用的ではないことです。例えば同軸技術では線路の直列接続は容易に行えますが、広く普及しているマイクロストリップ技術やその他の平面技術では不可能です。 フィルタ回路では、直列素子と並列素子を交互に配置したラダー回路が頻繁に用いられます。このような回路は、最初の2つの恒等式で素子間の間隔を調整するのと同じ手順で、すべて並列素子に変換できます。^{[ 13 ]}

3番目と4番目の恒等式は、それぞれ特性インピーダンスを縮小または拡大することを可能にします。これらは、実装が困難なインピーダンスを変換するのに役立ちます。ただし、スケーリング係数に等しい巻数比を持つ理想変圧器を追加する必要があるという欠点があります。 ^{[ 14 ]}

歴史

リチャーズの論文発表から10年後、分布定数回路理論の進歩は主に日本で起こりました。黒田健一は1955年に博士論文の中でこれらの恒等式を発表しました。^{[ 15 ]}しかし、英語でこれらの恒等式が発表されたのは1958年、尾崎と石井によるストリップラインフィルタ に関する論文でした。^{[ 16 ]}

さらなる改良

整合線路理論の主要な応用の一つは、分布定数素子フィルタの設計である。リチャーズ法と黒田法によって直接構築されたこのようなフィルタは、それほどコンパクトではない。これは、特にモバイル機器において重要な設計上の考慮事項となり得る。スタブは主線路の側面に突き出ており、スタブ間の空間は役に立たない。理想的には、スタブは互い違いに突き出るべきである^{[ 17 ]}。これにより、スタブ同士が結合して余分なスペースを占有するのを防ぐことができるが、スペース上の制約から必ずしもそうであるわけではない。さらに、スタブ同士を結合する縦続接続された素子は、周波数関数には全く寄与せず、スタブを必要なインピーダンスに変換するためだけに存在している。言い換えれば、周波数関数の次数は、UEの総数ではなく、スタブの数によってのみ決定される（一般的に、次数が高いほどフィルタの性能は向上する）。より複雑な合成技術を用いることで、すべての素子が寄与するフィルタを生成できる。^{[ 16 ]}

黒田回路の縦続接続された λ/8 セクションはインピーダンス変成器の一例であり、そのような回路の典型的な例はλ/4 インピーダンス変成器である。これは λ/8 ラインの 2 倍の長さであるが、オープン回路スタブをショート回路スタブに置き換えることによってローパスフィルタからハイパスフィルタに変換できるという便利な特性がある。2 つのフィルタは同じカットオフ周波数と鏡面対称の応答で正確に整合している。したがって、ダイプレクサでの使用には理想的である。^{[ 18 ]} λ/4 変成器は、ローパスからハイパスへの変換で不変という特性がある。これは、単なるインピーダンス変成器ではなく、変成器の特殊なケースであるインピーダンスインバータであるからである。つまり、1 つのポートの任意のインピーダンスネットワークを、他のポートで逆インピーダンス、つまりデュアルインピーダンスに変換する。しかし、伝送線路の長さは共振周波数において正確にλ/4の長さしか取れないため、動作可能な帯域幅には限界があります。より複雑な種類のインバータ回路があり、より正確にインピーダンスを反転させることができます。インバータには2つの種類があります。1つはシャントアドミタンスを直列インピーダンスに変換するJインバータ、もう1つは逆変換を行うKインバータです。係数JとKは、それぞれコンバータのスケーリングアドミタンスとインピーダンスです。^{[ 19 ]}

スタブを長くすることで、オープンサーキットからショートサーキットスタブへ、あるいはその逆の変更が可能です。^{[ 20 ]} ローパスフィルタは通常、直列インダクタとシャントコンデンサで構成されています。黒田恒等式を適用すると、これらはすべてシャントコンデンサ、つまりオープンサーキットスタブに変換されます。オープンサーキットスタブは実装が容易なため、印刷技術で好まれ、民生用製品に多く採用されています。しかし、同軸線路やツインリード線など、構造の機械的支持にショートサーキットが役立つ技術では、この限りではありません。ショートサーキットには、一般にオープンサーキットよりも正確な位置を測定できるという小さな利点もあります。回路をさらに導波管媒体に変換する場合、開口部から放射が発生するため、オープンサーキットは問題外です。ハイパスフィルタの場合は逆のことが当てはまり、黒田恒等式を適用すると当然ショートサーキットスタブとなり、印刷設計をオープンサーキットに変換することが望ましい場合があります。例えば、λ/8オープンサーキットスタブは、回路の機能を変更することなく、同じ特性インピーダンスの3λ/8ショートサーキットスタブに置き換えることができます。^{[ 21 ]}

インピーダンス変成線路を用いて素子を結合する方法は、最もコンパクトな設計とは言えません。特にバンドパスフィルタにおいては、はるかにコンパクトな他の結合方法が開発されています。これには、平行線路フィルタ、インターデジタルフィルタ、ヘアピンフィルタ、半集中定数型コムラインフィルタなどが含まれます。^{[ 22 ]}

参考文献

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    • シソディア、5.27ページ
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    • シソディア、5.27ページ
14. シソディア、5.27ページ
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