 |
解析空間とは、特異点を許容する解析多様体の一般化である。解析空間とは、解析多様体と局所的に等しい空間である。解析空間は、多変数複素数の研究において顕著であるが、他の文脈にも現れる。
意味
体k を値で固定する。この値は完備であり、この値に関して離散的ではないと仮定する。例えば、RとCの通常の絶対値、およびピュイズー級数の体の自然な値に関するものなどが含まれる。
U をk nの開部分集合とし、f 1 、 ...、f kをU上の解析関数の集合とします。f 1、...、f kの共通消失点をZで表し、 Z = { x | f 1 ( x ) = ... = f k ( x ) = 0 } とします。 Zは解析多様体です。 Uの構造層を とします。するとZ には構造層 があり、 はf 1、...、f kによって生成されるイデアル層です。言い換えると、Zの構造層は、 Zの外部で異なる可能性のある方法を法としてU上のすべての関数から構成されます。
解析空間とは、局所環空間であり、 Xの任意の点xの周りに、その構造層を持つ解析多様体と同型（局所環空間として）となる開近傍U が存在するような空間である。このような同型は、Xのxにおける局所モデルと呼ばれる。
解析的写像または解析空間の射影は、局所的に環化された空間の射影です。
この定義はスキームの定義に似ています。唯一の違いは、スキームの場合、局所モデルは環のスペクトルであるのに対し、解析空間の場合、局所モデルは解析多様体であるということです。このため、解析空間とスキームの基本理論は非常に似ています。さらに、解析多様体は任意の可換環よりもはるかに単純な振る舞いをします（例えば、解析多様体は体上に定義され、常に有限次元です）。そのため、解析空間は体上の 有限型スキームと非常によく似た振る舞いをします。
基本的な結果
解析空間内の各点は局所次元を持つ。xにおける次元は、xにおける局所モデルを選択し、 xに対応する点における解析多様体の局所次元を決定することによって求められる。
解析空間内の任意の点には接空間が存在する。xがXの点であり、m xがxで消滅するすべての関数のイデアル層である場合、 xにおける余接空間はm x / m x 2である。接空間は( m x / m x 2 ) *であり、これは余接空間への双対ベクトル空間である。解析的写像は、接空間上にプッシュフォワード写像を、余接空間上にプルバック写像を誘導する。
xにおける接空間の次元は、 xにおける埋め込み次元と呼ばれます。局所モデルを見ると、この次元が常に埋め込み次元以下であることが容易にわかります。
滑らかさ
解析空間がxにおいて滑らかであるとは、 xにおける局所モデルが、あるnに対してk nの開部分集合となる場合を言う。解析空間が滑らかであるとは、すべての点で滑らかである場合を言う。この場合、解析空間は解析多様体である。解析空間が滑らかでない点の部分集合は、閉解析部分集合である。
解析空間は、その空間のすべての局所モデルがイデアルの根基層によって定義されるとき、縮約されている。縮約されていない解析空間Xには、同じ基礎位相空間を持つ縮約された解析空間である縮約X redが存在する。標準射r : X red → Xが存在する。X から縮約された解析空間へのすべての射は、rを介して因数分解される。
解析空間が正規であるとは、構造層の全ての茎が正規環（つまり整閉整域）であることを意味する。正規解析空間において、特異軌跡は少なくとも2次元を持つ。Xがxにおける局所完全交差であるとき、X はxにおいて正規である。
非正規解析空間は、標準的な方法で正規空間に平滑化することができます。この構成は正規化と呼ばれます。解析空間Xの正規化N ( X ) は、標準的な写像ν : N ( X ) → Xを伴います。正規解析空間からXへのすべての支配的射は、ν を介して因数分解されます。
コヒーレント層
解析空間が連接的であるとは、その構造層が連接層であることを意味する。 - 加群の連接層は連接解析層と呼ばれる。例えば、連接空間上では、局所自由層とイデアルの層は連接解析層である。
代数閉体上の解析空間は連立している。複素数の場合、これはオカの連立定理として知られている。これは代数閉体でない場合には成り立たず、連立していない実解析空間の例も存在する。
一般化
状況によっては、解析空間の概念があまりにも制限的になることがあります。これは多くの場合、基底場が解析集合では捉えられない付加的な構造を持つためです。このような状況では、局所モデル空間の柔軟性を高める解析空間の一般化が存在します。
例えば、実数上で円x 2 + y 2 = 1を考える。この円は解析空間R 2の解析部分集合である。しかし、 x軸への射影は閉区間[−1, 1]であり、これは解析集合ではない。したがって、解析写像による解析集合の像は必ずしも解析集合とは限らない。これは、解析集合よりもはるかに厳密ではないが、任意の体上で定義されない部分解析集合を用いることで回避できる。これに対応する解析空間の一般化は部分解析空間である。（ただし、緩やかな点集合位相仮説の下では、部分解析空間は部分解析集合と本質的に同値であることがわかる。）
参照
参考文献
