共形対称性

共形対称性とは、距離が変化しても角度が変わらないことを保証する時空の性質です。時空を伸縮したり、歪ませたりしても、直線や曲線間の局所的な角度関係は変わりません。この考え方は、回転、並進、ブーストを考慮したおなじみのポアンカレ群を、より包括的な共形群へと拡張したものです。

共形対称性は、特殊な共形変換と拡大を包含します。空間3次元と時間1次元において、共形対称性は15の自由度を持ちます。ポアンカレ群に10、特殊な共形変換に4、そして拡大に1です。

ハリー・ベイトマンとエベネザー・カニンガムは、マクスウェル方程式の共形対称性を初めて研究した。彼らは共形対称性の一般的な表現を球面波変換と呼んだ。2次元時空における一般相対論もまた、共形対称性を有している。^{[ 1 ]}

生成子

共形群のリー代数は次のように表現される：^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$

ここで、はローレンツ生成子、は並進、はスケーリング変換（膨張またはダイレーションとも呼ばれる）を生成し、は特殊な等角変換を生成します。 ${\displaystyle M_{\mu \nu}}$ ${\displaystyle P_{\mu}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu}}$

交換関係

交換関係は次のとおりです。^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu}]=-iK_{\mu}\,,\\&[D,P_{\mu}]=iP_{\mu}\,,\\&[K_{\mu},P_{\nu}]=2i(\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu})\,,\\&[K_{\mu},M_{\nu\rho}]=i(\eta_{\mu\nu}K_{\rho}-\eta_{\mu\rho}K_{\nu})\,,\\&[P_{\rho},M_{\mu\nu}]=i(\eta_{\rho\mu}P_{\nu}-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$

他の交換子は消える。これがミンコフスキー計量テンソルである。 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

さらに、はスカラーであり、はローレンツ変換の下で共変ベクトルです。 ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K_{\mu}}$

特殊共形変換は^{[ 3 ]で与えられる。}

${\displaystyle x^{\mu}\to {\frac {x^{\mu}-a^{\mu}x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$

ここでは変換を記述するパラメータである。この特殊な共形変換は とも表記される。ここで ${\displaystyle a^{\mu}}$ ${\displaystyle x^{\mu}\to x'^{\mu}}$

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$

これは、反転、それに続く翻訳、さらに 2 番目の反転で構成されていることを示しています。

特殊な等角変換の前の座標グリッド

特別な等角変換後の同じグリッド

二次元時空において、共形群の変換は共形変換である。それらは 無限に存在する。

2 次元を超える場合、ユークリッド等角変換により円は円に、超球は超球にマッピングされ、直線は退化した円、超平面は退化した超円とみなされます。

2 次元以上のロレンツ次元では、等角変換によってヌル光線がヌル光線に、光円錐が光円錐にマッピングされ、ヌル超平面は退化した光円錐になります。

応用

共形場理論

相対論的量子場の理論では、物理的に合理的な仮定の下で、対称性の可能性はコールマン・マンデュラ定理によって厳密に制限されます。非超対称な相互作用場の理論の可能な最大の大域的対称群は、 共形群と内部群の直積です。^{[ 4 ]}このような理論は共形場の理論として知られています

二次相転移

特定の応用の一つは、局所相互作用を持つ系における臨界現象です。このような系における揺らぎは、臨界点において共形不変です。これにより、 共形場理論を用いて相転移の普遍性クラスを分類することができます

共形不変性は、高レイノルズ数における2次元乱流にも存在する。^{[ 5 ]}

高エネルギー物理学

高エネルギー物理学で研究されている多くの理論は、局所スケール不変性によって典型的に示唆されるため、共形対称性を許容します。有名な例としては、AdS/CFT対応との関連性から、 d=4、 N=4の超対称ヤン＝ミルズ理論が挙げられます。また、弦理論における世界面は、2次元重力と結合した 2次元共形場理論によって記述されます

格子模型における共形不変性の数学的証明

物理学者たちは、多くの格子模型が臨界極限において共形不変になることを発見しました。しかし、これらの結果の数学的証明はずっと後になってから、しかもごく一部のケースにおいてのみ示されました。

2010年、数学者スタニスラフ・スミルノフは「統計物理学におけるパーコレーションの共形不変性と平面イジング模型の証明」によりフィールズ賞を受賞した。^{[ 6 ]}

2020年、数学者ヒューゴ・デュミニル＝コパンとその協力者は、多くの物理システムの相間の境界に回転不変性が存在することを証明した。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}

参照

• 共形写像
• 共形群
• コールマン・マンデュラ定理
• 繰り込み群
• スケール不変性
• 超共形代数
• 共形キリング方程式

参考文献

1. 「重力 - 一般相対性理論を共形変種にするものは何か？」 Physics Stack Exchange。2020年5月1日閲覧
2. ディ・フランチェスコ、マシュー＆セネシャル、1997、p. 98.
3. ディ フランチェスコ、マシュー & セネシャル、1997 年、p. 97.
4. Juan Maldacena; Alexander Zhiboedov (2013). 「高スピン対称性による共形場理論の制約」 . Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 46 (21) 214011. arXiv : 1112.1016 . Bibcode : 2013JPhA...46u4011M . doi : 10.1088/1751-8113/46/21/214011 . S2CID 56398780 . 
5. Denis Bernard; Guido Boffetta; Antonio Celani; Gregory Falkovich (2006). 「2次元乱流における共形不変性」 . Nature Physics . 2 (2): 124– 128. arXiv : nlin/0602017 . Bibcode : 2006NatPh...2..124B . doi : 10.1038/nphys217 .
6. Rehmeyer, Julie (2010年8月19日). 「スタニスラフ・スミルノフのプロフィール」(PDF) .国際数学者会議. 2012年3月7日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2010年8月19日閲覧。
7. 「数学者が相転移の対称性を証明」 Wired . ISSN 1059-1028 . 2021年7月14日閲覧。 
8. Duminil-Copin, Hugo; Kozlowski, Karol Kajetan; Krachun, Dmitry; Manolescu, Ioan; Oulamara, Mendes (2020-12-21). 「臨界平面格子模型における回転不変性」. arXiv : 2012.11672 [ math.PR ].

出典

• ディ・フランチェスコ、フィリップ、マチュー、ピエール、セネシャル、ダヴィッド (1997).共形場理論. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-0-387-94785-3。