標準座標

数学および古典力学において、正準座標とは、物理系を任意の時点において記述するために用いられる位相空間上の座標集合である。正準座標は、古典力学におけるハミルトン定式化において用いられる。密接に関連する概念は量子力学にも見られる。詳細については、 ストーン＝フォン・ノイマンの定理と正準交換関係を参照のこと。

ハミルトン力学はシンプレクティック幾何学によって一般化され、正準変換は接触変換によって一般化されるので、古典力学における正準座標の 19 世紀の定義は、多様体の余接束(位相空間の数学的概念) 上の座標のより抽象的な 20 世紀の定義に一般化される可能性があります。

古典力学における定義

古典力学において、正準座標はハミルトン形式論で使用される位相空間の座標およびである。正準座標は、基本的なポアソン括弧関係を満たす。 ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle \left\{q^{i},q^{j}\right\}=0\qquad \left\{p_{i},p_{j}\right\}=0\qquad \left\{q^{i},p_{j}\right\}=\delta _{ij}}$

標準座標の典型的な例としては、が通常の直交座標、 が運動量の成分となる場合が挙げられます。したがって、一般にこれらの座標は「共役運動量」と呼ばれます。 ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$

標準座標は、ラグランジュ形式の一般化座標からルジャンドル変換によって取得できます。また、別の標準座標セットから標準変換によって取得できます。

余接束の定義

正準座標は、多様体の余接束上の特別な座標系として定義されます。通常、またはの集合として表され、xまたはqは基底多様体上の座標を表し、pは共役運動量を表します。これらは、多様体内の 点qにおける余接束の1-形式です。${\displaystyle \left(q^{i},p_{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(x^{i},p_{j}\right)}$

標準座標の一般的な定義は、標準一形式が次の形式で書けるよう な余接束上の座標の集合である。

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}\,\mathrm {d} q^{i}}$

全微分まで。この形を保存する座標変換は標準変換である。これらはシンプレクティック多様体上の座標変換であるシンプレクティック同相写像の特殊なケースである。

以下の説明では、多様体は実多様体であり、接ベクトルに作用する余接ベクトルは実数を生成すると仮定します。

正式な開発

多様体Qが与えられたとき、Q上のベクトル場X（接束TQの切断）は、接空間と余接空間の双対性により、余接束に作用する関数として考えることができる。つまり、関数を定義する。

${\displaystyle P_{X}:T^{*}Q\to \mathbb {R} }$

そういう

${\displaystyle P_{X}(q,p)=p(X_{q})}$

は、内のすべての余接ベクトルpに対して成り立ちます。ここで、は、点qにおける多様体Qの接空間内のベクトルです。この関数は、 Xに対応する運動量関数と呼ばれます。 ${\displaystyle T_{q}^{*}Q}$ ${\displaystyle X_{q}}$ ${\displaystyle T_{q}Q}$ ${\displaystyle P_{X}}$

局所座標では、点qにおけるベクトル場Xは次のように表される。

${\displaystyle X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$

ここで、 はTQ上の座標系である。共役運動量は以下の式で表される。 ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}}$

ここで、 はベクトルに対応する運動量関数として定義されます。 ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \partial /\partial q^{i}}$

${\displaystyle p_{i}=P_{\partial /\partial q^{i}}}$

は、一緒に余接束上の座標系を形成します。これらの座標は標準座標と呼ばれます。 ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

一般化座標

ラグランジアン力学では、一般化座標と呼ばれる別の座標系が用いられます。これらは一般的にと表記され、は一般化位置、 は一般化速度と呼ばれます。ハミルトニアンが余接束上に定義される場合、一般化座標はハミルトン・ヤコビ方程式によって正準座標と関連付けられます。 ${\displaystyle \left(q^{i},{\dot {q}}^{i}\right)}$ ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

参照

• 線形判別分析
• シンプレクティック多様体
• シンプレクティックベクトル場
• シンプレクトモルフィズム
• 運動量
• 相補性（物理学）
• 正準量子化
• 正準量子重力

参考文献

• ゴールドスタイン, ハーバート;プール, チャールズ P. Jr .; サフコ, ジョン L. (2002). 『古典力学』（第3版）サンフランシスコ: アディソン・ウェスレー. pp.  347– 349. ISBN 0-201-65702-3。
• ラルフ・エイブラハムとジェロルド・E・マースデン著『力学の基礎』（1978年）ベンジャミン・カミングス、ロンドンISBN 0-8053-0102-Xセクション3.2を参照してください。