行差（天文学）

地球から見た星の見かけの位置が、地球の速度によってどのように変化するかを示した図。その影響は通常、図示されているよりもはるかに小さい。

天文学において、行差（天文行差、恒星行差、速度行差とも呼ばれる）は、天体が観測者の速度に基づいて真の位置の周りを見かけ上動いているように見える現象です。つまり、天体が観測者の移動方向に向かってずれているように見えます。角度の変化はv / cのオーダーで、cは光速、v は観測者の速度です。「恒星」行差または「年周」行差の場合、地球上の観測者から見た恒星の見かけの位置は、地球が太陽の周りを公転する際に地球の速度が変化するのに伴い、1 年を通して周期的に変化し、最大で 赤経または赤緯で約 20秒角変化します。

光行差（Aberration）という用語は、歴史的に、運動する物体における光の伝播に関するいくつかの関連現象を指すために使用されてきた。^{[ 1 ]}光行差は視差 とは異なる。視差とは、移動する観測者によって測定された比較的近い物体の、基準系を定義するより遠い物体に対する見かけの位置の変化である。視差の量は物体から観測者までの距離に依存するが、光行差は距離に依存しない。光行差は光時間補正や相対論的ビーミングとも関連しているが、これらの効果とは別個に考察されることが多い。

行光差は、光、電磁気、そして最終的には特殊相対性理論の発展に役割を果たしたため、歴史的に重要です。1600年代後半、太陽系の太陽中心モデルを確認するために恒星の視差を探していた天文学者によって初めて観測されました。しかし、当時は別の現象であるとは理解されていませんでした。^{[ 2 ]} 1720年代にイタリアの天文学者エウスタキオ・マンフレーディがこの現象を数回観測しました。彼は行光差が視差の影響ではないことに気づいた最初の一人でしたが、それでも地動説の枠組みの中で解釈しました。^{[ 3 ]}行光差という用語を作ったのはマンフレーディでした。^{[ 4 ]} 1727年にジェームズ・ブラッドリーは、太陽の周りを回る地球の運動に対する光の速度が有限であるという観点から古典的な説明を与え、 ^{[ 5 ] [ 6 ]}彼はこれを使って光速度の最も初期の測定の一つを行った。しかし、ブラッドリーの理論は19世紀の光理論とは矛盾しており、光行差はオーギュスタン・フレネル（1818年）やGGストークス（1845年）のエーテル抗力理論、そして1892年のヘンドリック・ローレンツの電磁気学のエーテル理論の主な動機となった。光行差は、ローレンツによるマクスウェルの電気力学の詳述、動く磁石と導体の問題、負のエーテルドリフトの実験、そしてフィゾーの実験とともに、アルバート・アインシュタインが1905年に特殊相対性理論を展開するきっかけとなり、この理論では光行差の一般的な方程式が提示された。^{[ 7 ]}

説明

特殊相対論に基づく、太陽の静止系で地球に当たる光線と地球の静止系で当たる同じ光線の比較。この効果は説明のために誇張して表示されています。

行差は、異なる慣性系における光線の角度の違いとして説明できます。よくある例えとして、雨が降る見かけの方向を考えてみましょう。静止している人の座標系では雨が垂直に降っているのに対し、前進している人には雨が斜めに降っているように見えます。そのため、動いている観測者は傘を前方に傾ける必要があります。観測者が速く移動するほど、傘の傾きが大きくなります。

最終的な効果は、静止系では移動する観測者の側面から当たる光線が、移動する観測者の系では前方から斜めに当たるようになるというものです。この効果は「サーチライト効果」または「ヘッドライト効果」と呼ばれることもあります。

年差光の場合、地球の運動系から見た星の光の方向は、太陽の運動系で観測される角度に対して傾いています。地球の運動方向は公転中に変化するため、この傾きの方向も年月とともに変化し、太陽の慣性系で測定された星の実際の位置と見かけの位置が異なります。

古典的な推論は光行差に対する直感を与える一方で、古典的なレベルでさえも観測可能な多くの物理的パラドックスをもたらします（歴史を参照）。光行差を正しく説明するには、特殊相対性理論が必要です。しかしながら、相対論的説明は古典的な説明と非常に似ており、どちらの理論においても光行差は速度の加算として理解することができます。

古典的な説明

太陽の座標系において、光速 に等しい速度を持つ光線を考えます。光線のx方向の速度成分は 、y方向の速度成分は で、したがって の角度になります。地球が太陽に対してx方向に速度で動いている場合、速度の加算により、地球の座標系における光線の速度のx成分は となり、y方向の速度は変化せず となります。したがって、地球の座標系における光の角度は、太陽の座標系における角度で表すと となります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle u_{x}}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \tan(\theta)=u_{y}/u_{x}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u_{x}'=u_{x}+v}$ ${\displaystyle u_{y}'=u_{y}}$

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {u_{y}'}{u_{x}'}}={\frac {u_{y}}{u_{x}+v}}={\frac {\sin(\theta )}{v/c+\cos(\theta )}}}$

の場合、この結果は となり、極限ではで近似できます。 ${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$ ${\displaystyle \tan(\theta -\phi )=v/c}$ ${\displaystyle v/c\ll 1}$ ${\displaystyle \theta -\phi =v/c}$

相対論的な説明

相対論的な場合の推論は、異なる参照系間の ローレンツ変換から導出できる相対論的速度加法の公式を用いなければならない点を除けば同じである。これらの公式は、

${\displaystyle u_{x}'=(u_{x}+v)/(1+u_{x}v/c^{2})}$

${\displaystyle u_{y}'=u_{y}/\gamma (1+u_{x}v/c^{2})}$

ここで、地球座標系における光線の成分を太陽座標系における成分で表す。したがって、地球座標系における光線の角度は^{[ 8 ]となる。}${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

${\displaystyle \tan(\phi)={\frac {u_{y}'}{u_{x}'}}={\frac {u_{y}}{\gamma (u_{x}+v)}}={\frac {\sin(\theta)}{\gamma (v/c+\cos(\theta))}}}$

または

${\displaystyle \tan {\frac {\phi }{2}}={\sqrt {\frac {1-v/c}{1+v/c}}}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

の場合、この結果は となり、極限では で近似できます。この相対論的な導出では、上記の古典的な導出とは異なり、すべての参照系で 光速度が一定に保たれます。${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$ ${\displaystyle \sin(\theta -\phi )=v/c}$ ${\displaystyle v/c\ll 1}$ ${\displaystyle \theta -\phi =v/c}$ ${\displaystyle {\sqrt {u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}=c}$

光時間補正と相対論的ビーミングとの関係

収差、光時間補正、相対論的ビーミングは、参照フレームに応じて同じ現象と見なすことができます。

行差は、他の2つの現象と関連している。1つは光時間補正（観測対象物体が光が観測者に到達するまでの時間中に運動することに起因する）であり、もう1つは相対論的ビーミング（移動する光源から放射される光の角度の変化）である。行差はこれらと同等であると考えられるが、慣性系が異なる。行差では、観測者は（単純化のため^{[ 9 ]}）静止した光源に対して相対的に動いていると考えられるが、光時間補正と相対論的ビーミングでは、光源は静止した観測者に対して相対的に動いていると考えられる。

観測者と光源が等速度で相対的に移動しており、光線が光源から観測者に向かって移動するケースを考えてみましょう。光線が放射される瞬間、観測者の静止系における光線は、光源の静止系における光線に比べて傾いています。これは相対論的ビーミングを通して理解されます。光線が観測者に到達するまでの間に、光源は観測者の系内を移動し、光源の「真の位置」は観測者が見る見かけの位置に対して変位します。これは光時間補正によって説明されます。最終的に、観測の瞬間における観測者の系内の光線は、光源の系内の光線に比べて傾いており、これは収差効果として理解できます。したがって、光源の系にいる人は光線の見かけの傾きを収差として表現しますが、観測者の系にいる人はそれを光時間効果として表現します。

これらの現象の関係は、観測者と光源の座標系が慣性系である場合にのみ成立します。実際には、地球は慣性静止系ではなく太陽に向かって求心加速を受けているため、地球における年差光路差などの多くの光路差効果は光時補正とはみなされません。しかし、光の放出から検出までの時間が地球の公転周期に比べて短い場合、地球を慣性系として近似することができ、光路差効果は光時補正と等価になります。

種類

天文年鑑では、地球と観測対象物の動きのさまざまな要素から生じるさまざまな種類の光行差について説明しています。

• 恒星行差： 「観測者の動きによって生じる、天体の観測位置の見かけ上の 角度変位。恒星行差は、日周変化、年周変化、永年変化に分けられます。」
  • 年差： 「地球が太陽の周りを回ることによって生じる恒星の年差の要素」
  • 日周光度差： 「地球の自転により、観測者が地球の中心を日周運動すること で生じる恒星の光路差の要素
  • 永年光行差： 「太陽系全体が宇宙空間において本質的に均一かつほぼ直線的に運動することによって生じる恒星の光行差の要素。永年光行差は通常は無視されます。」
• 惑星行差： 「太陽系天体の観測位置が、地心における観測者から見た瞬間的な地心方向から見かけ上ずれていること。このずれは、光行差と光時間差によって引き起こされる。」^{[ 10 ]}

年間偏差

黄道極にある星は円を描いて動いて見え、黄道面内にある星は直線を描いて動き、中間の角度にある星は楕円を描いて動きます。ここでは、これらのケースに対応する黄道緯度と黄経270°における星の見かけの動きを示します。

北極の星の行差の方向は、一年の異なる時期によって異なります。

年差は、地球が太陽の周りを公転する際の観測者の運動によって引き起こされます。軌道離心率により、地球の軌道速度 （太陽の静止系における）は、惑星が楕円軌道を移動するにつれて年間を通して周期的に変化します。その結果、年差も周期的に変化し、典型的には星が小さな楕円形を描いて動いているように見えます。 ${\displaystyle v}$

地球の軌道を円軌道と近似すると、恒星の年周光度による最大変位は光行差定数と呼ばれ、慣例的に で表される。これは、太陽系における地球の平均速度と光速 を代入することで計算できる。その値は、20.49552 秒角（sec）または0.000099365 ラジアン（rad）（J2000において）とされる。^{[ 11 ]}${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa =\theta -\phi \approx v/c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$

円軌道を仮定すると、年差により、黄道（地球の公転面）上にある星は、太陽のフレームにおける位置の両側で変化しながら、直線に沿って前後に動いているように見えます。黄道の極の1つ（黄道面から90°）に正確に位置する星は、真の位置を中心に半径の円を描いて動いているように見え、中間の黄道緯度にある星は小さな楕円に沿って動いているように見えます。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

例として、北極圏の一地点にいる観測者から北の黄道極にある星を見ることを考えてみましょう。このような観測者は、毎日 1 回 (厳密に言うと恒星日)、天頂での星の通過を観測します。3月の春分の時点では、地球の軌道によって観測者は南方向に向かうため、星の見かけの赤緯は南に角度 だけ変位します。9月の春分には、星の位置は北に等しく反対方向の量だけ変位します。どちらの至点でも、赤緯の変位は 0 です。逆に、赤経の変位量はどちらの春分でも 0 であり、どちらの至点でも最大になります。 ${\displaystyle \kappa }$

実際には、地球の軌道は円ではなくわずかに楕円形であり、その速度は軌道上で多少変化するため、上記の説明はあくまでも概算です。太陽系の重心に対する地球の瞬間速度を用いて、光行差をより正確に計算します。 ^{[ 11 ]}

行差による変位は、視差による変位と直交することに注意してください。視差が検出可能であれば、南方向への最大変位は12月に、北方向への最大変位は6月に発生します。この一見異常な動きこそが、初期の天文学者を困惑させたのです。

太陽の年差

年差の特殊な例として、太陽が太陽の静止系における位置からほぼ一定の速度で西方向（地球から見て）に偏向する現象が挙げられます。これは、黄道に沿った太陽の見かけの動き（地球から見て西から東への動き）とは逆の動きです。この偏向により、太陽は黄道上の静止系の位置から位置または角度だけ遅れて（または遅れて）いるように見えます。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

この偏向は、太陽から地球まで光が到達するのにかかる8.3分間の地球の運動による光時間効果として等価的に説明できます。関係式は、[0.000099365 rad / 2 π rad] x [365.25 dx 24 h/dx 60 min/h] = 8.3167 min ≈ 8 min 19 sec = 499 secです。これは、太陽光の通過時間が地球の公転周期に比べて短いため、地球の座標系を慣性系として近似できることから可能です。地球の座標系では、太陽は平均速度 v = 29.789 km/s で移動し、光が地球に到達する時間で約 14,864.7 km の距離を移動します。これは、平均半径 = 1 AU = 149,597,870.7 km の軌道では約 499 秒です。このことから、角度補正は約 0.000099364 rad = 20.49539 秒となり、これを解くと約 0.000099365 rad = 20.49559 秒となり、これは光行補正とほぼ等しくなります（ここではラジアン単位であり、秒角単位ではありません）。 ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle \Delta x=vt}$ ${\displaystyle t=R/c}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta =\Delta x/R}$ ${\displaystyle \theta =v/c=\kappa }$ ${\displaystyle \kappa }$

日周異常

日周収差は、自転する地球表面における観測者の速度によって引き起こされます。したがって、観測時刻だけでなく、観測者の緯度と経度にも依存します。その影響は年周収差よりもはるかに小さく、自転速度が最大となる赤道上の観測者の場合、わずか0.32秒角です。 ^{[ 12 ]}

世俗的な逸脱

太陽系の宇宙における運動によって引き起こされる光行差の永年成分は、さらにいくつかの要素に細分化されています。太陽系の重心が銀河系の中心を回る運動によって生じる光行差、銀河系が局部銀河群に対して相対的に運動することによって生じる光行差、そして局部銀河群が宇宙マイクロ波背景放射に対して相対的に運動することによって生じる光行差です。^{[ 13 ]：6} 永年光行差は、恒星や銀河系外天体の見かけの位置に影響を与えます。永年光行差の大きな一定部分は直接観測することができないため、「この大きなほぼ一定の効果を、報告される恒星の位置に吸収することが標準的な方法となっています」^{[ 14 ]：1 。 [ 15 ]}

約 2 億年かけて、太陽は銀河中心の周りを一周します。銀河中心の測定位置は、赤経 (α = 266.4°) と赤緯 (δ = −29.0°) 付近です。^{[ 14 ] : 2} 銀河中心の周りの太陽系の運動による一定の観測不可能な影響は、150 ^{[ 16 ] : 743 秒角} や 165 ^{[ 14 ] : 1} 秒角などと様々に計算されています。その他の観測可能な部分は、銀河中心に向かう約 2.5 × 10 ⁻¹⁰  m/s ²の加速で、約 5 μas/yr の光路差の変化をもたらします。^{[ 17 ]}数年にわたる高精度の測定により、この永年光路差の変化 (しばしば永年光路差ドリフトまたは太陽系の加速と呼ばれます) を小さな見かけの固有運動として観測できます。^{[ 18 ] : 1 [ 14 ] : 1}

最近、超長基線干渉計とガイア宇宙望遠鏡の両方を使用した銀河系外オブジェクトの高精度天体測定により、この小さな効果を測定することに成功しました。^{[ 18 ]} 20年間にわたって、α = 263°、δ = −20°の赤道座標で銀河系中心に向かう555個の銀河系外オブジェクトの見かけの動きを初めてVLBIで測定したところ、永年光度行差が6.4 ± 1.5 μas/yrであることが示されました。 ^{[ 18 ] : 1} その後、ほぼ40年にわたる一連のVLBI測定を使用して、永年光度行差がα = 270.2 ± 2.3°、δ = −20.2° ± 3.6°の方向で5.83 ± 0.23 μas/yrであると決定されました。^{[ 13 ] : 7} わずか33ヶ月分のGaia衛星データを用いた160万個の銀河系外天体の光学観測では、太陽系の加速度が2.32 ± 0.16 × 10 ⁻¹⁰  m/s ²、それに対応する永年光路差ドリフトがα = 269.1° ± 5.4°、δ = −31.6° ± 4.1°の方向で5.05 ± 0.35 μas/yrであることが示された。今後リリースされるGaiaデータでは、約66ヶ月分と120ヶ月分のデータが組み込まれ、これらの結果のランダム誤差がそれぞれ0.35倍と0.15倍に減少すると期待される。^{[ 19 ] [ 20 ] : 1,14} 国際天体基準フレーム（ICRF3）の最新版では、銀河中心の収差定数として5.8 μas/yr ^{[ 14 ] : 5,7} を採用し、基準元2015.0以外の時期では最高の位置精度を得るために永年収差補正を推奨した。^{[ 13 ] : 17–19}

惑星の行差

惑星行差は、太陽系の静止系において計算される、光行差（地球の速度による）と光時補正（天体の運動と距離による）の組み合わせです。どちらも、運動する天体からの光が地球上の観測者に到達した瞬間に決定されます。この現象は、運動と距離が正確に分かっている太陽系内の惑星やその他の天体に通常適用されるため、このように呼ばれています。

発見と最初の観測

光行現象の発見はまったく予想外のことで、ジェームズ・ブラッドリーが1727 年にそれを説明することができたのは、相当の粘り強さと洞察力があったからにほかなりません。それは、星がかなりの視差を持っているかどうかを発見しようとする試みから始まりました。

恒星の視差の探索

コペルニクスの太陽系太陽中心説は、ガリレオとティコ・ブラーエの観測とヨハネス・ケプラーとアイザック・ニュートンの数学的研究によって確認されていた。^{[ 21 ]} 1573年には早くもトーマス・ディッグスが、星の視差の移動は太陽中心説に従って起こるはずであり、したがって恒星の視差を観測できればこの理論の確認に役立つと示唆していた。多くの観測者がそのような視差を測定したと主張したが、ティコ・ブラーエとジョヴァンニ・バッティスタ・リッチョーリは、視差は観測者の頭の中にのみ存在し、機器や個人の誤差によるものだと結論付けた。しかし、1680年にジャン・ピカールは、著書『ウラニブール航海の記録』の中で、10年間の観測の結果、北極星であるポラリスの位置が年間40秒変化すると述べた。これを視差で説明しようとした天文学者もいたが、この試みは失敗した。なぜなら、この動きは視差が生み出すものとは異なっていたからである。ジョン・フラムスティードは、1689年とその後数年にわたって壁掛け四分儀で行った測定から、北極星の赤緯は7月には9月よりも40秒短いという結論を同様に下した。ロバート・フックは1674年に、ロンドンの緯度でほぼ頭上を通過する2^メートル等級の星、りゅう座γ星の観測結果を発表した（そのため、観測結果は大気の屈折による複雑な補正をほとんど受けない）。そして、この星は7月には10月よりも23秒北に位置していると結論付けた。^{[ 21 ]}

ジェームズ・ブラッドリーの観察

ブラッドリーによるりゅう座γ星ときりん座35星の観測記録をブッシュが1730年に短縮したもの

その結果、ブラッドリーとサミュエル・モリニューが1725年にこの研究分野に参入した当時、恒星の視差が観測されているかどうかについては依然としてかなりの不確実性があり、この疑問に確実に答える目的で、彼らはキューにあるモリニューの家に大型の望遠鏡を設置した。^{[ 6 ]}彼らは、著名な機器製作者であるジョージ・グラハム（1675-1751）が製作した望遠鏡を用いて、りゅう座γ星の運動を再調査することにした。この望遠鏡は垂直の煙突に固定され、接眼レンズがわずかに振動するようになされていた。振動量（すなわち、垂直からのずれ）は、ネジと下げ振り子を用いて調整・測定された。^{[ 21 ]}

装置は1725年11月に設置され、12月からりゅう座γ星の観測が開始されました。この星は9月から3月にかけて南に40秒移動し、3月から9月にかけて進路を逆転しました。^{[ 21 ]}同時に、りゅう座γ星とほぼ正反対の赤経を持つきゅうり座35番星は、3月初めには9月よりも19秒北に移動していました。^{[ 22 ]}これらの結果は互いに鏡像関係にあると予想されていましたが、これは全く予想外で、既存の理論では全く説明がつきませんでした。

初期の仮説

γドラコニスの動きが視差によって引き起こされた場合の仮説的観測

γドラコニス星と35きりん座星の動きが章動運動によって引き起こされたと仮定した観測

ブラッドリーとモリニューは、解決策を見つけるべくいくつかの仮説を議論した。見かけの動きが視差や観測誤差によるものではないことは明らかだったため、ブラッドリーはまず、地球の軸の天球に対する向きの振動、すなわち章動（ニューテーション）によるものではないかと仮説を立てた。35 きりん座は章動と一致する見かけの動きをしていることが観測されたが、その赤緯の変化はりゅう座γ星の半分しかないため、章動では答えが得られないことは明らかだった^{[ 23 ]}（しかし、ブラッドリーは後に地球が実際に章動していることを発見した）。^{[ 24 ]}彼はまた、地球の大気の不規則な分布によって屈折率に異常な変化が生じ、それが運動の原因である可能性も調べたが、やはり否定的な結果を得た^{[ 23 ] 。}

1727年8月19日、ブラッドリーはワンズテッドのレクトリーに自作の望遠鏡を設置し、更なる観測に着手しました。この望遠鏡は視野が広いという利点があり、彼は約20年かけて多数の星の正確な位置を観測することができました。ワンズテッドでの最初の2年間で、彼は光行差現象の存在を疑いなく証明し、これにより、特定の日付における任意の星への影響を計算するための一連の規則を定式化しました。

異常理論の発展

ブラッドリーは最終的に1728年9月頃に風行差の説明を完成させ、翌年1月中旬に王立協会にこの理論を提出した。この説は、テムズ川を航行する船の風向計の方向が風向の変化ではなく、風向に対する船の進路の変化によって変化したのを見て、彼が着想を得たのではないかと示唆されている。^{[ 24 ]} しかし、ブラッドリー自身の発見に関する記述にはこの出来事に関する記録がなく、真偽のほどは定かではない可能性がある。

次の表は、りゅう座γ星の真赤角からの偏差の大きさと、極値が存在する4か月それぞれについて、夏至と冬至の時刻と黄道本初子午線の平面上での地球の公転速度の接線の方向、およびブラッドリーが赤経からの偏差を測定していた場合の真黄経からの予想偏差を示しています。

月	至点平面における地球の接線速度の方向	りゅう座γ星の真の赤緯からの偏差	黄道本初子午線面における地球の接線速度の方向	りゅう座γ星の真黄経からの予想偏差
12月	ゼロ	なし	← （近日点に向かって高速で移動）	20.2以上の減少
行進	←（遠日点に向かって移動）	南向き19.5インチ	ゼロ	なし
6月	ゼロ	なし	→ （遠日点に向かってゆっくりと移動）	20.2インチ未満の増加
9月	→（近日点に向かって移動）	北へ19.5インチ	ゼロ	なし

ブラッドリーは、光行差は赤緯だけでなく赤経にも影響すると主張しました。そのため、黄道の極にある星は直径約40インチの小さな楕円を描くことになりますが、簡略化のため、彼はそれを円と仮定しました。彼は赤緯の偏差のみを観測し、赤経の偏差は観測していなかったため、黄道の極にある星の最大偏差の計算は赤緯のみを対象とし、その赤緯は星が描く小さな円の直径と一致することになります。8つの異なる星について、彼の計算は次のようになります。

星	年間変動（）	黄道極における星の赤緯の最大偏差（"）
γドラコニス	39	40.4
ドラコニス座β	39	40.2
η Ursa Maj.	36	40.4
αキャス。	34	40.8
ペルセウス座τ	25	41.0
ペルセウス座α星	23	40.2
35 ラクダ。	19	40.2
カペラ	16	40.0
平均		40.4

これらの計算に基づいて、ブラッドリーは光行差定数を20.2インチ（0.00009793ラジアン）と推定し、これにより光速を毎秒183,300マイル（295,000 km）と推定することができました。^{[ 25 ]}黄道の極に星の小さな円を投影することで、彼は光速と地球の公転速度の関係の計算を次のように簡素化することができました。

${\displaystyle \cos \left({\frac {1}{2}}\pi -0.00009793\right)=\sin(0.00009793)={\frac {v}{c}}}$

したがって、光の速度と地球の公転速度の比は10,210/1となり、そこから光が太陽から地球まで移動する、つまり伝播するのに8分12秒かかることがわかります。^{[ 26 ]}

恒星の視差の探索の当初の目的は、地球が太陽の周りを公転するというコペルニクスの理論を検証することでした。年間を通して変化する視差は、地球と恒星の相対的な動きを実証します。

異常に関する歴史的理論

光行差現象は、その観測からアルバート・アインシュタインによる説明までの 200 年間にわたり、多くの物理理論の原動力となりました。

最初の古典的な説明は、1729年に前述のジェームズ・ブラッドリーによって提供され、光速が有限であることと、地球が太陽の周りを公転する運動に起因すると説明されました。^{[ 5 ] [ 6 ]}しかし、光の波動性がより深く理解されるとこの説明は不正確であることが判明し、これを修正することが19世紀の光伝導エーテル理論の主要な目標となりました。オーギュスタン＝ジャン・フレネルは、光が伝播する媒体（エーテル）の運動による補正、いわゆる「部分エーテル抵抗」を提唱しました。彼は、物体が移動する際にエーテルを部分的に引きずるという説を提唱し、これはしばらくの間、光行差の説明として受け入れられました。ジョージ・ストークスも同様の理論を提唱し、地球の運動によって引き起こされるエーテルの流れによって光行差が発生すると説明しました。これらの説明を反証する証拠が蓄積され、光の電磁気的性質に関する新たな理解と相まって、ヘンドリック・ローレンツは不動のエーテルを特徴とする電子理論を提唱し、物体がエーテル中を移動すると長さが縮むことを説明しました。これらの先行理論に触発され、アルバート・アインシュタインは1905年に特殊相対性理論を提唱し、光行差に関する現代的な説明をもたらしました。

ブラッドリーの古典的な説明

図2：光が望遠鏡を伝わるにつれて、望遠鏡は動き、光速に応じて望遠鏡の傾きが必要になります。星の見かけの角度φは、実際の角度θとは異なります。

ブラッドリーは、光が粒子でできているという光の粒子理論の観点から説明を考案した。 ^{[ 1 ]}彼の古典的な説明は、有限の速度で移動する光粒子のビームに対する地球の運動を利用し、上記の古典的な導出とは異なり、太陽の参照フレームで展開されている。

遠方の星が太陽に対して静止しており、かつ非常に遠いため視差を無視できる場合を考えてみましょう。太陽の静止系では、これは星からの光が地球の観測者に対して平行な経路を進み、地球の軌道上の位置に関係なく同じ角度で到達することを意味します。地球上で、細い管として理想化された望遠鏡で星を観測するとします。光は星から角度 で管に入り、速度 で移動して管の底部に到達し、そこで検出されます。速度 で移動する地球から観測を行うとします。光が通過する間、管は距離 だけ移動します。したがって、光の粒子が管の底部に到達するには、管を とは異なる角度 傾ける必要があり、その結果、星の見かけの位置は になります。地球が軌道を進むにつれて方向が変化するため、 は観測が行われる時期によって変化します。見かけの角度と真の角度は、三角法を用いて次のように関係付けられます。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h/c}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle vh/c}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {h\sin(\theta )}{hv/c+h\cos(\theta )}}={\frac {\sin(\theta )}{v/c+\cos(\theta )}}}$ 。

の場合、これは となる。これは上述のより正確な相対論的結果とは異なるが、小さな角度と低い速度の極限では、ブラッドリーの時代の測定誤差の範囲内で、ほぼ等しい。これらの結果により、ブラッドリーは光速度の最も初期の測定の一つを行うことができた。^{[ 26 ] [ 27 ]}${\displaystyle \theta =90^{\circ}}$ ${\displaystyle \tan(\theta -\phi )=v/c}$

光伝導エーテル

ヤングは、エーテルが太陽の系内で静止している場合にのみ、光行差を説明できると推論した。左図では、エーテルが静止していると仮定すると恒星の光行差が発生し、望遠鏡を傾ける必要があることが示される。右図では、エーテルが望遠鏡と共に動くと光行差は消え、望遠鏡を傾ける必要はない。

19世紀初頭、光の波動説が再発見され、1804年にトーマス・ヤングはブラッドリーの粒子光に関する説明を、光伝導エーテルと呼ばれる媒質を伝わる波動光へと応用した。彼の推論はブラッドリーの推論と同じであったが、この媒質が太陽の基準系内で不動であり、地球の影響を受けずに通過しなければならないという条件が付けられた。そうでなければ、媒質（ひいては光）は地球と共に動き、光路差は観測されないことになる。 ^{[ 28 ]}彼は次のように記している。

星の光行差の現象を考慮すると、光を伝えるエーテルは、風が木立を通り抜けるのと同じくらい自由に、ほとんどまたは全く抵抗なく、すべての物質体の物質に浸透していると信じる傾向があります。

— トーマス・ヤング、1804年^{[ 1 ]}

しかし、ヤングの理論は、真空以外の屈折率を持つ物質が存在する場合、収差を説明できないことがすぐに明らかになりました。重要な例として、水で満たされた望遠鏡が挙げられます。このような望遠鏡内の光速は真空中よりも遅く、ではなくで与えられます。ここでは水の屈折率です。したがって、ブラッドリーとヤングの推論によれば、収差角は次のように与えられます。 ${\displaystyle c/n}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {\sin(\theta )}{v/(c/n)+\cos(\theta )}}}$ 。

これは媒質に依存する収差角を予測する。望遠鏡の対物レンズにおける屈折を考慮すると、この結果は真空の結果からさらに離れる。1810年、フランソワ・アラゴは同様の実験を行い、収差は望遠鏡内の媒質の影響を受けないことを発見し、ヤングの理論を否定する確固たる証拠を示した。この実験はその後数十年にわたって多くの人々によって検証され、最も正確な検証は1871年にエアリーによって行われ、同じ結果が得られた。^{[ 28 ]}

エーテルドラッグモデル

フレネルのエーテル抵抗

1818年、オーギュスタン・フレネルは水望遠鏡やその他の光行差現象を説明するために、改良された説明を考案しました。彼は、エーテルは太陽の座標系では概ね静止しているが、物体が移動するとエーテルが部分的に引きずられると説明しました。つまり、屈折率を持つ物体が速度で移動すると、その物体内のエーテルは光も引きずる速度で部分的に引きずられるということです。この係数は「フレネルの引きずり係数」として知られています。この引きずり効果は、望遠鏡の対物レンズにおける屈折と相まって、ブラッドリーの説明における水望遠鏡内の光速度の遅さを補います。^{[ a ]} この改良により、フレネルは非真空望遠鏡においてもブラッドリーの真空に関する結果を得ることができ、さらに運動物体における光の伝播に関連する他の多くの現象も予測することができました。フレネルの引きずり係数は、その後数十年間、光行差の支配的な説明となりました。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (1-1/n^{2})v}$

ストークスのエーテル抵抗理論の概念図。太陽の静止系において、地球はエーテル中を右方向に移動し、局所的な電流を誘起する。垂直方向から来た光線（赤色）は、エーテルの流れによって抵抗され、傾く。

ストークスのエーテル抵抗

しかし、光が偏光するという事実（フレネル自身によって発見された）により、コーシーやグリーンといった科学者たちは、エーテルはフレネルの流体エーテルとは対照的に、完全に不動の弾性固体であると信じるようになった。こうして、フレネルの予測（およびアラゴの観測）と偏光の両方に整合する光行差の説明が新たに必要となった。

1845年、ストークスは、大規模では液体として、小規模では固体として振舞う「パテのような」エーテルを提唱した。これにより、偏光に必要な横方向の振動と、光行差の説明に必要なエーテルの流れの両方がサポートされる。流体は無回転であり、流れの境界条件として、エーテルは地球から遠く離れた場所では速度がゼロであるが、地球表面および地球内部では地球の速度で移動するという仮定のみを立てることで、ストークスは光行差を完全に説明することができた。^{[ b ]} 地球外部のエーテルの速度は地球からの距離に応じて減少するため、星からの光線は地球の表面に近づくにつれて次第に引きずられる。ダランベールのパラドックスにより、地球の運動はエーテルの影響を受けない。

フレネルとストークスの理論はどちらも人気がありました。しかし、19世紀後半の大部分において、研究の焦点がエーテルの電磁気的性質に移ったため、光行差の問題は脇に追いやられました。

ローレンツの長さ収縮

1880年代に電磁気学の理解が深まると、関心は再び光行差の問題に移った。この頃にはフレネルとストークスの理論には欠陥があることが判明していた。フレネルの理論では、エーテルと物質の相対速度は光の色によって異なる必要があり、ストークスが理論で仮定した境界条件は非回転流の仮定と矛盾することが示された。^{[ 1 ] [ 28 ] [ 29 ]}同時に、現代の電磁エーテル理論では光行差を全く説明できなかった。マクスウェル、ヘヴィサイド、ヘルツなど多くの科学者がフレネルかストークスの理論をマクスウェルの新しい電磁気法則に取り入れることでこれらの問題を解決しようとしたが、失敗した。

ヘンドリック・ローレンツは、この方向性に多大な努力を費やしました。この問題に10年間取り組んだ後、ストークスの理論の問題点から、彼はそれを放棄し、フレネルの（ほぼ）静止したエーテル（1892、1895）の提案に従いました。しかし、ローレンツのモデルでは、エーテルはコーシー、グリーン、マクスウェルの電磁エーテルと同様に完全に静止しており、フレネルのエーテルとは異なりました。彼は、マクスウェルの電磁気理論の修正、特に運動系における時間座標（「局所時間」）の修正からフレネルの抵抗係数を得ました。フレネルとローレンツの静止したエーテル理論の両方に明らかに矛盾し、ストークスの完全なエーテル抵抗を明らかに裏付けたマイケルソン・モーリーの実験（1887年）を説明するために、ローレンツは、物体はエーテル中を移動する方向に係数 の「長さ収縮」を受けるという理論を立てました（1892年）。このようにして、光行差（および関連するすべての光学現象）は、静止したエーテルの文脈で説明できる。ローレンツの理論は、その後10年間、そしてそれ以降も多くの研究の基礎となった。光行差に関するその予測は、相対論的理論の予測と一致している。^{[ 28 ] [ 30 ]}${\displaystyle {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

特殊相対性理論

ローレンツの理論は実験とよく一致していたが、複雑で、電磁気媒体の微視的性質について多くの根拠のない物理的仮定をしていた。1905年の特殊相対性理論において、アルベルト・アインシュタインは、ローレンツの理論の結果を、エーテルの概念を排除した、はるかに単純で自然な概念的枠組みで再解釈した。彼の導出は上記に示されており、現在では広く受け入れられている説明となっている。ロバート・S・シャンクランドは、アインシュタインとのいくつかの会話の中で、アインシュタインが光行差の重要性を強調していたことを報告している。^{[ 31 ]}

彼は続けて、最も影響を受けた実験結果は恒星の光行差の観測と、フィゾーによる流水中の光速の測定だと述べ、「それだけで十分だった」と語った。

アインシュタインが相対性理論を展開する上で重要な動機となったのは、動く磁石と導体の問題、そして（間接的に）負のエーテルドリフトの実験であり、これらは彼が最初の相対性理論論文の序論で既に言及している。アインシュタインは1952年のメモに次のように記している。^{[ 7 ]}

私自身の思想は、有名なマイケルソン＝モーリーの実験から間接的に影響を受けました。この実験は、ローレンツによる運動物体の電気力学に関する画期的な研究（1895年）を通して知りました。この研究は、特殊相対性理論が確立される前に私が知っていたものです。静止エーテルというローレンツの基本仮定は、私にとって直接的に納得できるものではありませんでした。なぜなら、この仮定はマイケルソン＝モーリーの実験の[取り消し線：私には不自然に思える]解釈につながり、その解釈は[取り消し線：納得できなかった]と私には思われたからです。特殊相対性理論への私の直接的な道は、主に、磁場中を移動する導体に誘導される起電力は電場に他ならないという確信によって決定づけられました。しかし、フィゾーの実験結果と光行差現象も私を導きました。

アインシュタインの結果は、 という余分な要素を除けばブラッドリーの元の式と同じであるが、ブラッドリーの結果は、低い相対速度でさえも誤った予測を与えるという意味で、相対論的な場合の古典的な極限を与えるだけではない。ブラッドリーの説明は、水望遠鏡のような状況や、望遠鏡内で起こるかもしれない他の多くの光学的効果（干渉など）を説明することができない。これは、地球のフレームでは、望遠鏡内の光線の伝播方向が光線の波面に対して垂直ではないと予測され、マクスウェルの電磁気学の理論と矛盾するからである。また、フレーム間で光速cを保存しない。しかし、ブラッドリーは、その効果が相対速度によるものであることを正しく推論した。 ${\displaystyle \gamma}$

参照

• 見かけの場所
• 恒星の視差
• 天文章運動
• 固有運動
• 電磁気学と古典光学の年表
• 相対論的異常
• サニャック効果
• 光学収差

注記

1. より詳しくは、フレネルは、角度 の入射光がまず望遠鏡の端で屈折し、望遠鏡内で新たな角度を形成すると説明しています。これはスネルの法則で説明でき、なります。次に抗力を考慮する必要があります。抗力がない場合、望遠鏡内の光の x 成分と y 成分はそれぞれ と ですが地球が速度 で動いている場合、抗力によって x 成分が に変化します。が角度で、 がこれらの速度成分を持つ光の速度である場合、ブラッドリーの推論により となります ここでは水中を通過する修正された経路長、t は光が距離 h を移動するのにかかる時間ですについてこれらの方程式を解くと、ブラッドリーの真空の結果が得られます。${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle \sin(\theta -\phi )=n\sin(\psi -\phi )}$ ${\displaystyle (c/n)\sin(\psi )}$ ${\displaystyle (c/n)\cos(\psi )}$ ${\displaystyle (c/n)\cos(\psi )-(1-1/n^{2})v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle v_{l}}$ ${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {h\sin(\alpha )}{vt+h\cos(\alpha )}}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t=h/v_{l}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \theta}$

2. 

   エーテル中を移動する伝播波面。

   ストークスの導出は次のようにまとめられる。Z方向下向きに移動する波面を考えてみよう。エーテルは速度場が の関数であるとする。エーテルのx方向およびy方向の運動は波面に影響を与えないが、Z方向の運動は波面を前進させる（速度cで前進する量に加えて）。エーテルのZ速度が空間的に変化すると、例えば図に示すようにx軸方向に速度が大きくなると遅くなる場合、波面は角度 だけ傾く。ここで、時間tで波面が スパン だけ移動したとする（エーテルの速度は光速に比べて無視できると仮定）。すると、光線が下降する距離ごとに角度 だけ曲げられるので、流体全体を通過した後に光線が変化する合計角度は次のようになる。 ${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \tan(\alpha )=tdw/dx}$ ${\displaystyle dz\approx ct}$ ${\displaystyle dz}$ ${\displaystyle \alpha \approx (dw/dx)(dz/c)}$

   ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {1}{c}}\int {\frac {\partial w}{\partial x}}dz}$

   流体が非回転であれば、コーシー・リーマン方程式を満たす。その方程式の一つは

   ${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial z}}}$ 。

   これを前出の結果に代入すると、光線の始点と終点におけるエーテルの速度のx成分を表す光行差角が得られる。地球から遠い場所ではエーテルの速度はゼロなので、地球の表面では地球の速度となる。したがって、最終的に次の式が得られる。 ${\displaystyle \alpha =(u_{2}-u_{1})/c}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u_{2}=0}$ ${\displaystyle v}$

   ${\displaystyle \alpha \approx {\frac {v}{c}}}$

   これは既知の異常結果です。

参考文献

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• この記事には、現在パブリックドメインとなっている出版物（  Eppenstein, Otto (1911). " Aberration ". Encyclopædia Britannica . 第1巻（第11版）. pp.  54– 61）からのテキストが含まれています。

さらに読む

• P. ケネス ザイデルマン（編）、『天文年鑑補足』（大学科学書、1992年）、127-135、700。
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外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおける光行差に関するメディア
• ブラッドリーの観察について語るコートニー・セリグマン