条件付き収束

数学では、級数または積分は収束するが絶対収束しない場合には条件付き収束すると言われます。

意味

より正確には、実数列は、（有限実数として、つまりまたは ではない）が存在する場合、 条件付き収束すると言われるが、${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ ${\displaystyle \infty}$ ${\displaystyle -\infty}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

典型的な例は、によって与えられる交代調和級数であり、これは に収束します が、絶対収束ではありません (調和級数 を参照)。 $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1} \over n},}$$ ${\displaystyle \ln(2)}$

ベルンハルト・リーマンは、条件収束級数は∞や−∞を含む任意の値に収束するように並べ替えることができることを証明した。リーマン級数定理を参照。アグニューの定理は、すべての収束級数に対して収束性を保つ並べ替えを記述する。

レヴィ・シュタイニッツの定理は、R ⁿ内の一連の項が収束できる値の集合を識別します。

不定積分は条件収束する場合もあります。条件収束する積分の典型的な例としては（フレネル積分を参照） 、被積分関数が正と負の値の間を無限に振動しますが、そのたびに閉じた領域が小さくなっていきます。 $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\sin(x^{2})dx,}$$

参照

• 絶対収束
• 無条件収束

参考文献

• ウォルター・ルーディン『数学解析の原理』（McGraw-Hill：ニューヨーク、1964年）。