コンウェイの三角形表記

幾何学において、コンウェイの三角形表記は、三角形における様々な三角関数の関係の代数表現を簡略化し、明確にします。三角形の面積の2 倍を表す記号⁠ ⁠を用いて、記号⁠ ⁠は任意の角度 ⁠ ⁠ のコタンジェントの⁠ ⁠倍を意味すると定義されます${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{\varphi}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi}$

この表記法は、その使用を推進したイギリスの数学者ジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられましたが^{[ 1 ]}、本質的に同じ表記法（⁠ ⁠${\displaystyle p}$ の代わりに⁠ ⁠${\displaystyle S}$ を使用）が、スペインの数学者フアン・ハコボ・デュラン・ロリガの1894年の論文にも見られます^{[ 2 ]}

定義

辺がa、b、cで、対応する内角がA、B、Cである基準三角形が与えられている場合、コンウェイ三角形の表記は次のように簡単に表されます

${\displaystyle S=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C,}$

ここで、S = 2 × 基準三角形の面積であり、

${\displaystyle S_{\varphi}=S\cot\varphi.,}$ ^{[ 3 ] [ 4 ]}

基本公式

特に：

${\displaystyle S_{A}=S\cot A=bc\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2}},}$

${\displaystyle S_{B}=S\cot B=ac\cos B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}},}$

${\displaystyle S_{C}=S\cot C=ab\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}},}$

${\displaystyle S_{\omega}=S\cot\omega ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}},}$ ブロカール角      はです。余弦定理が使用されます${\displaystyle \omega ,}$ ${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}$

${\displaystyle S_{\frac {\pi}{3}}=S\cot {\frac {\pi}{3}}=S{\frac {\sqrt {3}}{3}},}$

${\displaystyle S_{2\varphi }={\frac {S_{\varphi }^{2}-S^{2}}{2S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\frac {\varphi }{2}}=S_{\varphi }+{\sqrt {S_{\varphi }^{2}+S^{2}}},}$    の値については     、   ${\displaystyle \varphi}$ ${\displaystyle 0<\varphi <\pi ,}$

${\displaystyle S_{\vartheta +\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }-S^{2}}{S_{\vartheta }+S_{\varphi }}}\quad \quad S_{\vartheta -\varphi }={\frac {S_{\vartheta }S_{\varphi }+S^{2}}{S_{\varphi }-S_{\vartheta }}},.}$

さらに、この慣例には、およびの略記法が用いられている。${\displaystyle S_{\vartheta }S_{\varphi }=S_{\vartheta \varphi },}$ ${\displaystyle S_{\vartheta }S_{\varphi }S_{\psi }=S_{\vartheta \varphi \psi },.}$

三角関数の関係

${\displaystyle \sin A={\frac {S}{bc}}={\frac {S}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \cos A={\frac {S_{A}}{bc}}={\frac {S_{A}}{\sqrt {S_{A}^{2}+S^{2}}}}\quad \quad \tan A={\frac {S}{S_{A}}},}$

${\displaystyle a^{2}=S_{B}+S_{C}\quad \quad b^{2}=S_{A}+S_{C}\quad \quad c^{2}=S_{A}+S_{B}.}$

重要な恒等式

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}S_{A}=S_{A}+S_{B}+S_{C}=S_{\omega },}$

${\displaystyle S^{2}=b^{2}c^{2}-S_{A}^{2}=a^{2}c^{2}-S_{B}^{2}=a^{2}b^{2}-S_{C}^{2},}$

${\displaystyle S_{BC}=S_{B}S_{C}=S^{2}-a^{2}S_{A}\quad \quad S_{AC}=S_{A}S_{C}=S^{2}-b^{2}S_{B}\quad \quad S_{AB}=S_{A}S_{B}=S^{2}-c^{2}S_{C},}$

${\displaystyle S_{ABC}=S_{A}S_{B}S_{C}=S^{2}(S_{\omega }-4R^{2})\quad \quad S_{\omega }=s^{2}-r^{2}-4rR,}$

ここで、   R   は外接半径、abc  = 2 SR、rは内心、   ${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}},}$ ${\displaystyle a+b+c={\frac {S}{r}}.}$

三角関数の変換

${\displaystyle \sin A\sin B\sin C={\frac {S}{4R^{2}}}\quad \quad \cos A\cos B\cos C={\frac {S_{\omega }-4R^{2}}{4R^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}\sin A={\frac {S}{2Rr}}={\frac {s}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\cos A={\frac {r+R}{R}}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}\tan A={\frac {S}{S_{\omega }-4R^{2}}}=\tan A\tan B\tan C.}$

便利な公式

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=a^{2}S_{A}+b^{2}S_{B}+c^{2}S_{C}=2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}a^{4}=2(S_{\omega }^{2}-S^{2}),}$

${\displaystyle \sum _{\text{cyclic}}S_{A}^{2}=S_{\omega }^{2}-2S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}S_{BC}=\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2}\quad \quad \sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}=S_{\omega }^{2}+S^{2}.}$

応用

三線座標がp _a  : p _b  : p _c、q _a  : q _b  : q _cである2点 P とQ間の距離をDとします。K p = ap _a + bp _b + cp _c、K _q = aq _a + bq _b + cq _cとします。D は次の_式で与えられます

${\displaystyle D^{2}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {p_{a}}{K_{p}}}-{\frac {q_{a}}{K_{q}}}\right)^{2},.}$ ^{[ 5 ]}

外心と垂心の間の距離

この式を用いると、外心と垂心の間の距離OHを次のように決定することができる。外心についてはp _a  =  aS _A、垂心についてはq _a  =  S _B S _C / aである。

${\displaystyle K_{p}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}=2S^{2}\quad \quad K_{q}=\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}=S^{2},.}$

したがって：

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}&{}=\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}\left({\frac {aS_{A}}{2S^{2}}}-{\frac {S_{B}S_{C}}{aS^{2}}}\right)^{2}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{4}S_{A}^{3}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}+{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}S_{B}S_{C}\\&{}={\frac {1}{4S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}(S^{2}-S_{B}S_{C})-2(S_{\omega }-4R^{2})+(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}^{2}-{\frac {S_{A}S_{B}S_{C}}{S^{4}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}S_{A}-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {1}{4S^{2}}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}c^{2}-S^{2})-{\frac {1}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})-(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}={\frac {3a^{2}b^{2}c^{2}}{4S^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum _{\text{cyclic}}a^{2}-{\frac {3}{2}}(S_{\omega }-4R^{2})\\&{}=3R^{2}-{\frac {1}{2}}S_{\omega }-{\frac {3}{2}}S_{\omega }+6R^{2}\\&{}=9R^{2}-2S_{\omega }.\end{aligned}}}$

したがって、

${\displaystyle OH={\sqrt {9R^{2}-2S_{\omega },}}.}$ ^{[ 6 ]}

参照

• ブロカール角
• 垂心
• 外心
• 三線座標

参考文献

1. チェン、エヴァン (2016).数学オリンピックにおけるユークリッド幾何学.アメリカ数学協会. p. 132. ISBN 978-0883858394.
2. ロリガ、フアン・ハコボ・デュラン、「三角形について」、エル・プログレソ・マテマティコ、トモIV（1894年）、313-316ページ。『Periodico de Matematicas Puras y Aplicadas』.
3. Yiu, Paul (2002)、「表記法」§3.4.1、三角形の幾何学入門、pp. 33-34、バージョン2.0402、2002年4月(PDF)、フロリダアトランティック大学数学部、pp.  33– 34.
4. キンバリング、クラーク、「三角形の中心百科事典 - ETC」、パート1「2011年11月1日導入：コンボ」注6、エバンズビル大学.
5. Yiu, Paul (2002)、「距離公式」§7.1、三角形の幾何学入門、p. 87、バージョン2.0402、2002年4月(PDF)、フロリダアトランティック大学数学部、p. 87.
6. Weisstein, Eric W.「直交中心 §(14)」MathWorld .