ブロカールポイント

幾何学において、ブロカール点は三角形内の特別な点です。フランスの数学者アンリ・ブロカール（1845–1922）にちなんで名付けられました。

意味

辺が $a、b、c$ である三角形 $△ ABC$ において、頂点が反時計回りの順に $A、B、C$ とラベル付けされているとき、線分 $AP$ $、$ $BP$ $、$ $CPが$ $それぞれの辺c、a、b$ と同じ角度 $ω$ を形成する点 $Pが$ 1つだけ存在する。つまり、

$\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\omega .\,$

点 $P$ は三角形 $△$ $ABC$ の第一ブロカール点と呼ばれ、角 $ω$ は三角形の ブロカール角と呼ばれる。この角は次のような性質を持つ。

$\cot \omega =\cot \!{\bigl (}\angle CAB{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle ABC{\bigr )}+\cot \!{\bigl (}\angle BCA{\bigr )}.$

三角形 $△$ $ABC$ には、 2つ目のブロカール点 $Q$ があり、線分 $AQ$ $、$ $BQ$ $、$ $CQ は$ それぞれ辺 $b、c、a$ と等しい角度を形成します。つまり、式が成立します。注目すべきことに、この2つ目のブロカール点は、1つ目のブロカール点と同じブロカール角を持ちます。つまり、角は $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC$ $\angle PBC=\angle PCA=\angle PAB$ $\angle QCB=\angle QBA=\angle QAC.$

2つのブロカール点は互いに密接に関連しています。実際、最初のブロカール点と2番目のブロカール点の違いは、三角形 $△ ABC$ の角の取り方に依存します。例えば、 $△ ABC$ $の最初のブロカール点は、 △ ACB$ の2番目のブロカール点と同じです。

三角形 $△ ABC$ の 2 つのブロカール点は、互いに等角共役です。

工事

ブロカール点の最もエレガントな構成法は以下のとおりです。以下の例では最初のブロカール点を示していますが、2番目のブロカール点の構成法も非常に似ています。

上の図のように、三角形の辺 $BC$ $に接する点A$ と点 $Bを通る円を描きます（この円の中心は、$ $ABの垂直二等分線と、$ $BC$ に垂直な点 $B$ を通る直線が交わる点です）。対称的に、辺 $AC$ $に接する点B$ と点 $C$ を通る円と、辺 $AB$ $に接する点A$ と点 $C$ を通る円を描きます。これらの3つの円は、 $△$ $ABC$ の最初のブロカール点という共通点を持ちます。円の接線も参照してください。

先ほど構築した3つの円は、 $△$ $ABC$ の周転円としても表されます。2番目のブロカール点も同様の方法で構築されます。

最初の2つのブロカール点の三線と重心

第一および第二のブロカール点の同次三線座標は次の通りである: 従って、それらの重心座標は次の通りである: ^[¹^] ${\begin{array}{rccccc}P=&{\frac {c}{b}}&:&{\frac {a}{c}}&:&{\frac {b}{a}}\\Q=&{\frac {b}{c}}&:&{\frac {c}{a}}&:&{\frac {a}{b}}\end{array}}$ ${\begin{array}{rccccc}P=&c^{2}a^{2}&:&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}\\Q=&a^{2}b^{2}&:&b^{2}c^{2}&:&c^{2}a^{2}\end{array}}$

最初の2つのブロカール点の間の線分

ブロカール点は二心点対の一例であるが、どちらのブロカール点も相似変換に対して不変ではないため、三角形の中心ではない。相似の特殊なケースである不等辺三角形を鏡映すると、一方のブロカール点がもう一方のブロカール点になる。しかし、両点によって形成される順序のない対は相似に対して不変である。2つのブロカール点の中点はブロカール中点と呼ばれ、三線座標系を持つ^[²^]。

$\sin(A+\omega ):\sin(B+\omega ):\sin(C+\omega )=a(b^{2}+c^{2}):b(c^{2}+a^{2}):c(a^{2}+b^{2}),$ は三角形の中心であり、三角形中心事典ではX(39)の中心である。3番目のブロカール点は三線座標系では^{[ 3 ]で与えられる。}

$\csc(A-\omega ):\csc(B-\omega ):\csc(C-\omega )=a^{-3}:b^{-3}:c^{-3},$

は反補三角形のブロカール中点である。これは三角形の中心百科事典では中心X(76)である。さらに、

3 番目のブロカール点は、対称点の等尺共役点です。
3番目のブロカール点は、ブロカール三角形と $△$ $ABC$ のパースペクティブです。
3 番目のブロカール点は、シュタイナー点とタリー点を結ぶ外接円の直径上にあります。

$最初の2つのブロカール点P$ と $Q$ の間の距離は常に三角形の外接円の半径 $R$ の半分以下である: ^{[ 1 ]}^{[ 4 ]}

${\overline {PQ}}=2R\sin \omega {\sqrt {1-4\sin ^{2}\omega }}\leq {\frac {R}{2}}.$

最初の2つのブロカール点の間の線分は、三角形の外心と対称中点を結ぶ線分によってブロカール中点で垂直に二等分される。さらに、外心、ルモワーヌ点、そして最初の2つのブロカール点は共円的であり、これらはすべてブロカール円上にあり、外心とルモワーヌ点を結ぶ線分は直径である。^[¹^]最初の2つのブロカール点におけるブロカール円への接線は、3番目のブロカール点の等角共役点で一致する。^[²^]^[³^]

外心からの距離

ブロカール点 $P$ と $Q$ は三角形の外心 $O$ から等距離にある：^{[ 4 ]}

${\overline {PO}}={\overline {QO}}=R{\sqrt {{\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}}{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}}-1}}=R{\sqrt {1-4\sin^{2}\omega }}.$

類似点と一致点

第一ブロカール点と第二ブロカール点のペダル三角形は互いに合同であり、元の三角形と相似である。 ^{[ 4 ]}

三角形の頂点と第一ブロカール点を通る直線 $AP、BP、CPが、三角形の$ 外接円と点 $L、M、N$ で交わる場合、三角形 $△ LMN は$ $元の三角形△ ABC$ と合同である。第一ブロカール点 $P を$ 第二ブロカール点 $Q$ に置き換えた場合も同様である。^{[ 4 ]}

注記

^ ^a ^b ^c Scott, JA「三角形幾何学における面積座標の使用例」、Mathematical Gazette 83、1999年11月、472–477。
^ ^a ^b三角形の中心百科事典のエントリX(39) 2010年4月12日アーカイブ、 Wayback Machine
^ ^a ^b三角形の中心百科事典のエントリX(76) 2010年4月12日アーカイブ、 Wayback Machine
^ ^a ^b ^c ^d Weisstein, Eric W. 「Brocard Points」 MathWorld（Wolfram Web Resource）よりhttp://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html

参考文献

Akopyan, AV; Zaslavsky, AA (2007), Geometry of Conics , Mathematical World, vol. 26, American Mathematical Society , pp. 48– 52, ISBN 978-0-8218-4323-9。
ホンスバーガー、ロス（1995）「第10章ブロカール点」『19世紀および20世紀ユークリッド幾何学のエピソード』ワシントンD.C.：アメリカ数学協会。

外部リンク

[Scott-1] Scott, JA「三角形幾何学における面積座標の使用例」、Mathematical Gazette 83、1999年11月、472–477。

[midpoint-2] 三角形の中心百科事典のエントリX(39) 2010年4月12日アーカイブ、 Wayback Machine

[third-3] 三角形の中心百科事典のエントリX(76) 2010年4月12日アーカイブ、 Wayback Machine

[Weisstein-4] Weisstein, Eric W. 「Brocard Points」 MathWorld（Wolfram Web Resource）よりhttp://mathworld.wolfram.com/BrocardPoints.html

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[

[ 3 ]で与えられる。

[ 4 ]