副産物

圏論において、余積、あるいは圏論的和は、集合と位相空間の互いに素な和、群の自由積、加群とベクトル空間の直和などを含む構成である。オブジェクトの族の余積は、本質的に、族内の各オブジェクトが射を許す「最も具体的でない」オブジェクトである。これは、圏論的積の圏論的双対概念であり、定義は積と同じだが、すべての矢印が逆になっていることを意味する。この一見無害な名称と表記法の変更にもかかわらず、余積は、特定のカテゴリ内の積とは大きく異なる場合があり、通常は大きく異なる。

意味

をカテゴリとし、と をの対象とします。対象は の余積と呼ばれ、または と書かれる場合もあれば、単に と書かれる場合もあります。これは、次の普遍特性を満たす射とが存在する場合です。任意の対象と任意の射とに対して、および となる一意の射が存在する、つまり、次の図はが可換です。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$ ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$ ${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$ ${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

この図式を可換にする唯一の矢印は、 または と表記される。射と は標準射と呼ばれるが、必ずしも射影的である必要はなく、また単射である必要もない。これらは、別名、共射影とも呼ばれる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$ ${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$

余積の定義は、集合によってインデックス付けされた任意のオブジェクトの族に拡張できます。族の余積は、射のコレクションを伴うオブジェクトであり、任意のオブジェクトと任意の射のコレクションに対して、次のような一意の射が存在し、次のようになります。つまり、次の図はそれぞれについて可換です。 ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$ ${\displaystyle j\in J}$

族の共積は、しばしば${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

場合によっては、モルフィズムは個々の s への依存性を示すために表記されることもあります。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

例

集合のカテゴリにおける余積は、単に、写像i _jが包含写像である、互いに素な和集合である。直積とは異なり、他のカテゴリにおける余積は、必ずしも集合の概念に基づいているわけではない。なぜなら、和集合は演算の保存に関して適切に動作しないからである（例えば、2 つの群の和集合は必ずしも群である必要はない）。そのため、異なるカテゴリにおける余積は、互いに大きく異なる可能性がある。例えば、群のカテゴリにおける余積は自由積と呼ばれ、非常に複雑である。一方、アーベル群のカテゴリ（およびベクトル空間）では、直和と呼ばれる余積は、直積の有限個の非ゼロ項のみを持つ要素から構成される（したがって、有限個の因数の場合の直積と正確に一致する）。

可換環Rが与えられたとき、可換R -代数のカテゴリにおける余積はテンソル積である。（非可換）R -代数のカテゴリにおいては、余積はテンソル代数の商である（結合代数の自由積を参照）。

位相空間の場合、余積はそれらの互いに素な和位相との互いに素な和である。つまり、余積は基底集合の互いに素な和であり、開集合は各空間において開集合である。これは、かなり明白な意味である。ホモトピー理論において基本的な、尖端空間のカテゴリにおいて、余積は楔和である（これは、基底点を持つ空間の集合を共通の基底点で結ぶことに相当する）。

上記の例には、不連続和の概念がひそかに根底に存在します。アーベル群の直和は、「ほぼ」不連続和（共通の零点を持つすべての非零元からなる不連続和）によって生成される群であり、ベクトル空間についても同様に、 「ほぼ」不連続和によって張られる空間です。群の自由積は、異なる集合の2つの元が交換できない、同様の「ほぼ不連続」和から得られるすべての文字の集合によって生成されます。このパターンは、普遍代数の意味でのあらゆる多様体に対して成り立ちます。

短写像を持つバナッハ空間のカテゴリにおける余積はl ¹和である。これは「ほぼ素な」和として簡単に概念化することはできないが、余因子である単位球によってほぼ素に生成される単位球を持つ。 ^{[ 1 ]}

半集合カテゴリの余積は結合演算です。

議論

上に示した余積の構成は、実際には圏論における余極限の特殊なケースです。ある圏における余積は、離散圏からへの任意の関手の余極限として定義できます。すべての族が一般に余積を持つわけではありませんが、もし持つならば、その余積は強い意味で一意です。つまり、と が族 の2つの余積である場合、（余積の定義により）各 に対して となる同型性が一意に存在します。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$ ${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$

あらゆる普遍的性質と同様に、余積は普遍射として理解できる。 を対角関数とし、各オブジェクトに順序付き対を、各射に対をそれぞれ割り当てる。すると、の余積は、のオブジェクトから関数への普遍射によって与えられる。 ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \left(f,f\right)}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ ${\displaystyle C\times C}$

空セットでインデックス付けされたコプロダクト(つまり、空のコプロダクト) は、 の初期オブジェクトと同じです。 ${\displaystyle C}$

が集合であって、 で添え字付けされた族のすべての余積が存在するとき、その余積を両立的に選択して、余積が関数 になることが可能である。その場合、族の余積はしばしば で表される 。${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

これらの地図は自然注入として知られています。 ${\displaystyle i_{j}}$

からへのすべての射の集合（つまり、のホム集合）をとすると、自然同型が得られる。${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

あらゆる写像の 組を写す一対一写像によって与えられる

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

（集合のカテゴリであるSetの積、つまり直積なので、射の組である）を射に

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

この写像が全射であることは、図の可換性から明らかである。つまり、任意の射は組の余積である。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

それが単射であることは、そのような写像の一意性を規定する普遍構成から明らかである。同型の自然さもまた、図式から導かれる。このように、反変hom関手は余積を積に変換する。言い換えれば、集合の反対圏 からの関手として見ると、hom関手は連続であり、極限を保存する（ における余積はにおける積である）。 ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

が有限集合、例えば とすると、オブジェクトの余積は と表記されることが多い。すべての有限余積がCに存在し、余積関数が上記のように選択され、0 が空余積に対応するCの初期オブジェクトを表すと仮定する。このとき、自然同型性が得られる。${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

これらの特性は、形式的には可換モノイドの特性と同様です。有限余積を持つカテゴリは、対称モノイドカテゴリの例です。

カテゴリ に零対象 がある場合、 （ は終端なので）一意の射 が得られ、したがって射 が得られます。 は始端 でもあるので、前の段落のように標準同型が得られます。したがって、射 と が得られ、それらから標準射 が推論されます。これは、任意の有限余積から対応する積への標準射への誘導によって拡張できます。この射は一般に同型である必要はありません。Grp では真射ですが、Set _{* （}尖頭集合のカテゴリ）では真射です。任意の前加法カテゴリでは、この射 は同型 であり、対応するオブジェクトは複積として知られています。すべての有限複積を持つカテゴリは、半加法カテゴリとして知られています。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

でインデックス付けされたオブジェクトのすべての族がに余積を持つ場合、余積は関数 を構成します。積と同様に、この関数は共変 であることに注意してください。 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

参照

• 製品
• 極限と余極限
• コイコライザー
• 直接制限

参考文献

1. Qiaochu Yuan (2012年6月23日). 「バナッハ空間（およびローヴェア計量、閉圏）」 . Annoying Precision .

• マック・レーン、サンダース(1998). 『現役数学者のためのカテゴリー』 .大学院数学テキスト. 第5巻（第2版）. ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001 .

外部リンク

• 有限集合のカテゴリにおける余積の例を生成するインタラクティブなウェブページ。作者： Jocelyn Paine。