信条セット

数学において、信条集合（しんせきせつせつ）とは、確率分布の集合^{[ 1 ]} 、あるいはより一般的には、（おそらく有限加法的にのみ）確率測度の集合である。信条集合は、しばしば 閉凸集合であると仮定または構築される。これは、使用すべき確率モデルに関する不確実性や疑念を表現すること、あるいはベイズ的エージェントが世界のあり得る状態について抱く信念を伝えることを意図している。 ^{[ 2 ]}

信条集合が閉じた凸集合である場合、クライン・ミルマン定理により、その極点によって同値に記述できる。その場合、信条集合 に関するの関数の期待値は閉区間 を形成し、その下限は の下限予測、上限は の上限予測と呼ばれる：^{[ 3 ]}${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {ext} [K(X)]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle [{\underline {E}}[f],{\overline {E}}[f]]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\underline {E}}[f]=\min _{\mu \in K(X)}\int f\,d\mu =\min _{\mu \in \mathrm {ext} [K(X)]}\int f\,d\mu }$

ここで、は確率測度を表し、 については同様の表現が成り立ちます(上記の表現で は を に置き換えるだけです)。${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle {\overline {E}}[f]}$ ${\displaystyle \min}$ ${\displaystyle \max}$

がカテゴリ変数である場合、信条集合は上の確率質量関数の集合として考えることができる。^{[ 4 ]}さらに も閉じていて凸である 場合、の関数の下限精度は次のように簡単に評価できる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\underline {E}}[f]=\min _{p\in \mathrm {ext} [K(X)]}\sum _{x}f(x)p(x)}$

ここで、は確率質量関数を表します。ブール変数上の信条集合は2つ以上の極点を持つことができないことは容易にわかります（ の閉凸集合は閉区間のみであるため）。一方、3つ以上の値を取ることができる変数上の信条集合は、任意の数の極点を持つことができます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

参照

• 不正確な確率
• デンプスター・シェーファー理論
• 確率ボックス
• ロバストベイズ分析
• 上限と下限の確率

参考文献

1. リーバイ、アイザック (1980).『知識の企業』 MITプレス、マサチューセッツ州ケンブリッジ。
2. Cozman, Fabio (1999).確率集合理論（および関連モデル）の要点Archived 2011-07-21 at the Wayback Machine .
3. ウォーリー、ピーター（1991年）『不正確な確率を用いた統計的推論』ロンドン：チャップマン・アンド・ホール、ISBN 0-412-28660-2。
4. トロファエス、マティアスCM;デ・クーマン、ガート (2014)。より低いプレビジョン。ISBN 9780470723777。

さらに読む

• アベラン、ホアキン。道徳、セラフィン (2005)。「資格セットの上位エントロピー。資格分類への応用」。近似推論の国際ジャーナル。39 ( 2–3 ): 235.土井: 10.1016/j.ijar.2004.10.001。