比率テスト

数学において、比検定は級数の収束を判定する検定（または「基準」）である。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n},}$

ここで、各項は実数または複素数であり、_{nが大きい場合、n}は非ゼロとなる。この検定法はジャン・ル・ロン・ダランベールによって初めて発表され、ダランベール比検定法またはコーシー比検定法と呼ばれることもある。^{[ 1 ]}

テスト

比率検定の決定図

通常のテスト形式では、限界値を利用する。

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.}$

1

比率テストでは次のことが述べられています。

• L < 1の場合、級数は絶対収束します。
• L > 1の場合、級数は発散します。
• L = 1 または極限が存在しない場合は、このケースを満たす収束級数と発散級数の両方が存在するため、テストは決定的ではありません。

限界Lが存在しない特定のケースでは、限界上側と限界下側を用いることで、比率検定を適用できる。検定基準を改良することで、 L = 1の場合でも検定が決定的なものとなる場合もある。より具体的には、

${\displaystyle R=\lim \sup \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

${\displaystyle r=\lim \inf \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ 。

比率テストでは次のことが言えます: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

• R < 1の場合、級数は絶対収束します。
• r > 1の場合、級数は発散します。または、すべての大きなn ( rの値に関係なく) に対して、級数も発散する場合と同等です。これは、 がゼロではなく増加しており、したがってn_がゼロに近づかないためです。${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle |a_{n}|}$
• それ以外の場合、テストは決定的ではありません。

( 1 ) の極限Lが存在する場合、 L = R = rが成立する。したがって、元の比検定は改良された検定の弱いバージョンである。

例

L < 1なので収束する

シリーズを検討してください

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}$

比率テストを適用して、限界を計算する。

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|={\frac {1}{e}}<1.}$

この限界は 1 未満なので、級数は収束します。

L > 1なので発散する

シリーズを検討してください

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}$

これを比率テストに当てはめてみると：

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=e>1.}$

したがって、この系列は分岐します。

L = 1なので決定的ではない

3つのシリーズを考えてみましょう

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1,}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}},}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}$

最初の級数（1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ）は発散し、2番目（バーゼル問題の中心となる級数）は絶対収束し、3番目（交代調和級数）は条件付き収束します。しかし、 3つの級数の項ごとの絶対値比は    それぞれ と   です。したがって、3つすべてにおいて、極限は1になります。これは、 L = 1のとき、級数は収束するか発散するかのどちらかであり、比の検定では決定的な結果が得られないことを示しています。このような場合、収束または発散を判断するには、より精密な検定が必要です。 ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle 1,}$   ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$

証拠

この例では、青い系列における隣接する項の比はL=1/2に収束します。r = (L+1)/2 = 3/4とします。すると、 n ≥ 2の全ての場合において、 青い系列は赤い系列r ^kによって支配されます。赤い系列は収束するので、青い系列も収束します。

以下は一般化比率検定の有効性の証明です。

と仮定します。また、にはゼロでない無限個の要素があると仮定します。そうでなければ、 級数 は単なる有限和なので収束します。すると、 が存在し、すべてのに対しておよびを満たす自然数が存在するようになります。なぜなら、そのようなものが存在しない場合は、任意の に対してを満たす任意に大きな が存在するためです。すると、を満たす部分列を見つけることができますが、これはとしてが の劣った極限であるという事実と矛盾し、 の存在を意味します。次に、 に対して となることに留意します。 およびとなることに留意してください。これは が発散することを意味し、したがって、級数はn 番目の項テストによって発散します。 次に と仮定します。上記の場合と同様に、に対してとなる自然数とを見つけることができる場合があります。すると 級数は公比 を持つ等比級数なので、これは有限です。和は有限和なので有界であり、これは級数が単調収束定理によって収束し、級数が絶対収束テストによって収束することを意味します。 限界が存在し、 に等しい場合、これは元の比率テストになります。 ${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \ell \in (1;r)}$ ${\displaystyle n_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle a_{n_{0}}\neq 0}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>\ell }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<\ell }$ ${\displaystyle \ell \in (1;r)}$ ${\displaystyle \left(a_{n_{k}}\right)_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n_{k}+1}}{a_{n_{k}}}}\right|\leq \ell <r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle n\geq n_{0}+1}$ ${\displaystyle |a_{n}|>\ell |a_{n-1}|>\ell ^{2}|a_{n-2}|>...>\ell ^{n-n_{0}}\left|a_{n_{0}}\right|}$ ${\displaystyle \ell >1}$ ${\displaystyle \ell ^{n}\to \infty }$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left|a_{n_{0}}\right|>0}$ ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle c\in (R;1)}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq c^{n-n_{1}}\left|a_{n_{1}}\right|}$ ${\displaystyle n\geq n_{1}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }|a_{n}|\leq \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\sum _{n=n_{1}}^{\infty }c^{n-n_{1}}|a_{n_{1}}|=\sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|+\left|a_{n_{1}}\right|\sum _{n=0}^{\infty }c^{n}.}$$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}}$ ${\displaystyle c\in (0;1)}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c^{n}={\frac {1}{1-c}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n_{1}-1}|a_{k}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle r=R=L}$

L = 1の拡張

前の例で見たように、比率の限界が1の場合には比率検定は決定的ではない可能性があります。しかし、比率検定を拡張することで、このようなケースに対処できる場合があります。^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

以下のすべてのテストにおいて、Σ a _nはa _nが正の和であると仮定する。これらのテストは、負の項が有限個含まれる任意の級数にも適用できる。そのような級数は次のように表される。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}}$

ここで、N_は最も高いインデックスを持つ負の項です。右辺の最初の式は有限となる部分和であるため、級数全体の収束は右辺の2番目の式の収束特性によって決定されます。この式は、n =1 から始まるすべての正の項からなる級数を形成するようにインデックスを再設定できます。

各テストでは、収束または発散を確立するために必要なパラメータの挙動を指定するテストパラメータ（ρ _{n ）を定義します。各テストには、 lim n->∞} ρ _nに制約を課す、より弱い形式のテストも存在します。

全てのテストには、 Σa _nの収束特性を記述できない領域があります。 実際、どの収束テストも級数の収束特性を完全に記述することはできません。^{[ 4 ] [ 10 ]}これは、 Σa _nが収束する場合、より緩やかに収束する 2 番目の収束級数 Σb _{n が}見つかる可能性があるためです。つまり、 lim _n->∞ (b _n /a _n ) = ∞ という特性を持ちます。 さらに、 Σa _nが発散する場合、より緩やかに発散する 2 番目の発散級数 Σb _{n が見つかる可能性があります。つまり、 lim n->∞} (b _n /a _n ) = 0という特性を持ちます。 収束テストは基本的に、 a _nの特定のファミリーの比較テストを使用するため、より緩やかに収束または発散する数列では失敗します。

ド・モルガン階層

オーガスタス・ド・モルガンは比率型検定の階層を提唱した^{[ 4 ] [ 9 ]}

以下の比検定パラメータ（）は、すべて一般に という形式の項を含みます。この項に を乗じて を得ることができます。この項は、検定パラメータの定義において前の項と置き換えても構いませんが、得られる結論は同じです。したがって、検定パラメータの形式がどちらの形式であるかによって、参考文献に区別はありません。 ${\displaystyle \rho _{n}}$ ${\displaystyle D_{n}a_{n}/a_{n+1}-D_{n+1}}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}-D_{n+1}a_{n+1}/a_{n}}$

1. ダランベールの比検定

ド・モルガン階層の最初のテストは、上で説明した比率テストです。

2. ラーベ検定

この拡張はJoseph Ludwig Raabeによるものです。定義:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$

（その他の用語については、Ali、Blackburn、Feld、Duris（なし）、Duris2 を参照）

このシリーズは：^{[ 7 ] [ 10 ] [ 9 ]}

• すべてのn>Nに対してc> 1が存在するときに収束します。${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• すべてのn>Nに対して発散します。${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

制限バージョンでは、^{[ 12 ]}シリーズは次のようになります。

• 収束する場合（ ρ = ∞の場合も含む）${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• の場合、発散します。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• ρ = 1の場合、テストは決定的ではありません。

上記の制限が存在しない場合は、上位と下位の制限を使用できる場合があります。^{[ 4 ]}このシリーズは次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• 発散する場合${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }\rho _{n}<1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

ラーベ検定の証明

を定義する場合、極限が存在すると仮定する必要はありません。 の場合、 は発散しますが、 の場合、合計は収束します。 ${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$ ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$

証明は基本的に との比較によって進みます。まず と仮定します。もちろん であれば が大きい に対して となるので、和は発散します。次に と仮定します。すべての に対してとなるような が存在し、つまり となります。したがって となり、 に対して となります。これは が発散することを示しているからです。 ${\displaystyle \sum 1/n^{R}}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<0}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq \limsup \rho _{n}<1}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\leq R}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq e^{R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{n}e^{-R/n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}\geq a_{N}e^{-R(1/N+\dots +1/n)}\geq ca_{N}e^{-R\log(n)}=ca_{N}/n^{R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R<1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

残りの半分の証明も全く同様で、不等式のほとんどを単に逆にしただけです。上で使用した単純な不等式の代わりに、予備的な不等式が必要です。とを固定します。 であることに注意してください 。したがって、 です。 ${\displaystyle 1+t<e^{t}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \log \left(1+{\frac {R}{n}}\right)={\frac {R}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)}$ ${\displaystyle \log \left(\left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\right)=R\left({\frac {1}{N}}+\dots +{\frac {1}{n}}\right)+O(1)=R\log(n)+O(1)}$ ${\displaystyle \left(1+{\frac {R}{N}}\right)\dots \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\geq cn^{R}}$

ここで と仮定します。第 1 段落と同様に論じ、前の段落で確立した不等式を使用すると、に対してとなるような が存在することがわかります。これは が収束することを示しているからです。 ${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle a_{n+1}\leq ca_{N}n^{-R}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle R>1}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

(発散を証明するより速い方法：。したがって であり、これは が に対して単調増加であることを意味します。 であるため、すべての に対してとなる定数が存在する必要があります。 したがって、およびは発散します。) ${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}\leq \left(1+{\frac {R}{n}}\right)\leq \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\displaystyle a_{n}n\leq a_{n+1}(n+1)}$ ${\displaystyle a_{n}n}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}>0}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle a_{n}n>\epsilon }$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle a_{n}\geq {\frac {\epsilon }{n}}}$ ${\displaystyle \sum a_{n}}$

3. ベルトラン検定

この拡張はJoseph BertrandとAugustus De Morganによるものです。

定義:

${\displaystyle \rho _{n}\equiv n\ln n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln n}$

ベルトランのテスト^{[ 4 ] [ 10 ]}は、このシリーズが次のようになると主張している。

• すべてのn>Nに対してc>1が存在するときに収束します。${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$
• すべてのn>Nに対して発散します。${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

制限バージョンの場合、シリーズは次のようになります。

• 収束する場合（ ρ = ∞の場合も含む）${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• の場合、発散します。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• ρ = 1の場合、テストは決定的ではありません。

上記の制限が存在しない場合は、上位と下位の制限を使用できる場合があります。^{[ 4 ] [ 9 ] [ 13 ]}このシリーズでは、次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• 発散する場合 ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

4. 拡張ベルトラン検定

この拡張はおそらく1941年にマーガレット・マーティンによって初めて登場した。^{[ 14 ]}クンマーのテストに基づき、技術的な仮定（例えば極限の存在など）のない短い証明は2019年にヴィアチェスラフ・アブラモフによって提供された。^{[ 15 ]}

を整数とし、を自然 対数の番目の反復、すなわちおよび任意の に対して とします。 ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

が大きい場合の比が、次のように表せる と仮定する。${\displaystyle a_{n}/a_{n+1}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}},\quad K\geq 1.}$

(空和は 0 であると仮定されます。 の場合には、この検定はベルトラン検定に簡約されます。) ${\displaystyle K=1}$

値は以下の形式で明示的に表すことができます。 ${\displaystyle \rho _{n}}$

${\displaystyle \rho _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n).}$

拡張ベルトラン検定は、級数が

• すべての に対して となるような が存在するとき収束します。${\displaystyle c>1}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle n>N}$
• すべての について のとき、発散します。${\displaystyle \rho _{n}\leq 1}$ ${\displaystyle n>N}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

限界版では、シリーズ

• 収束する場合（これには の場合も含まれます）${\displaystyle \rho =\lim _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$ ${\displaystyle \rho =\infty }$
• の場合、発散します。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• の場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle \rho =1}$

上記の限界が存在しない場合は、上下限値を使用することもできます。

• 収束する場合${\displaystyle \liminf \rho _{n}>1}$
• 発散する場合 ${\displaystyle \limsup \rho _{n}<1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

拡張ベルトラン検定の応用については、「出生-死亡プロセス」を参照してください。

5. ガウスの検定

この拡張はカール・フリードリヒ・ガウスによるものです。

a _n > 0 かつr > 1と仮定すると、すべてのnに対して次の式が成り立つような有界シーケンスC _{n が}見つかると仮定する。^{[ 5 ] [ 7 ] [ 9 ] [ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}=1+{\frac {\rho }{n}}+{\frac {C_{n}}{n^{r}}}}$

シリーズは次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle \rho >1}$
• 発散する場合${\displaystyle \rho \leq 1}$

6. クンマー検定

この延長はErnst Kummerによるものです。

ζ _{n を}正定数の補助列とする。定義

${\displaystyle \rho _{n}\equiv \left(\zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\right)}$

クマーのテストでは、このシリーズは次のように述べられています。^{[ 5 ] [ 6 ] [ 10 ] [ 11 ]}

• すべての n>N に対してが存在する場合、収束します。(これは と言うことと同じではないことに注意してください)${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \rho _{n}\geq c}$ ${\displaystyle \rho _{n}>0}$
• すべての n>N に対して発散する場合は発散します。${\displaystyle \rho _{n}\leq 0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$

制限版では、シリーズは次のようになります。^{[ 16 ] [ 7 ] [ 9 ]}

• 収束する場合（ ρ = ∞の場合も含む）${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• と が発散する場合は発散します。${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1/\zeta _{n}}$
• そうでなければ、テストは決定的ではない

上記の限界が存在しない場合は、上位と下位の限界を使用できる可能性があります。^{[ 4 ]}このシリーズは

• 収束する場合${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>0}$
• と が発散する場合は発散します。${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<0}$ ${\displaystyle \sum 1/\zeta _{n}}$

特殊なケース

ガウスの検定を除くド・モルガン階層のすべての検定は、クンマーの検定の特別なケースとして簡単に見ることができる。^{[ 4 ]}

• 比率検定ではζ _n =1とします。すると、

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)=1/\rho _{\text{Ratio}}-1}$

• ラーベ検定では、ζ _n =nとします。すると、

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\right)=\rho _{\text{Raabe}}-1}$

• ベルトラン検定では、ζ _n =n ln(n)とします。すると、

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right)-(n+1)\ln(n+1)}$

他の項と比較して無視できるほど大きいnについて、 とを近似すると、次のように書けます。 ${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+\ln(1+1/n)}$ ${\displaystyle \ln(1+1/n)\rightarrow 1/n}$ ${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}}$

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\ln(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\ln(n)-1=\rho _{\text{Bertrand}}-1}$

• 拡張ベルトラン検定では、大きなテイラー展開から次の近似値を得る。${\displaystyle \zeta _{n}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n).}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \ln _{(k)}(n+1)=\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),}$

ここで、空積は1であると仮定する。すると、

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n){\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\left[\prod _{k=1}^{K}\left(\ln _{(k)}(n)+{\frac {1}{n\prod _{j=1}^{k-1}\ln _{(j)}(n)}}\right)\right]+o(1)=n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-\sum _{j=1}^{K}\prod _{k=1}^{j}\ln _{(K-k+1)}(n)-1+o(1).}$

したがって、

${\displaystyle \rho _{\text{Kummer}}=\rho _{\text{Extended Bertrand}}-1.}$

これら 4 つのテストでは、ド・モルガン階層の上位にあるほど、級数の発散が緩やかになることに注意してください。 ${\displaystyle 1/\zeta _{n}}$

クンマー検定の証明

ならば、正の数を固定する。任意の自然数が存在する。${\displaystyle \rho _{n}>0}$ ${\displaystyle 0<\delta <\rho _{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta \leq \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}.}$

なので、すべての${\displaystyle a_{n+1}>0}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle 0\leq \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}.}$

特にすべてに対して、これはインデックスから始めて、 シーケンスが単調に減少し、正であることを意味し、特に、0で下に制限されることを意味します。したがって、極限 ${\displaystyle \zeta _{n+1}a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\zeta _{n}a_{n}=L}$ 存在します。

これは、正の 伸縮級数が

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(\zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}\right)}$ 収束する、

そしてすべての${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \delta a_{n+1}\leq \zeta _{n}a_{n}-\zeta _{n+1}a_{n+1}}$

正の系列に対する直接比較テストにより、系列 は収束します。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta a_{n+1}}$

一方、 ならば、 に対してが増加するようなNが存在する。特に、に対して が存在し、すべての に対して となるので、 と比較すると は発散する。 ${\displaystyle \rho <0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}}$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \zeta _{n}a_{n}>\epsilon }$ ${\displaystyle n>N}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}=\sum _{n}{\frac {a_{n}\zeta _{n}}{\zeta _{n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}{\frac {\epsilon }{\zeta _{n}}}}$

トンによるクンマー検定の修正

クンマーの定理の新しいバージョンはトンによって確立された。^{[ 6 ]さらなる議論と新しい証明については[ 8 ] [ 11 ] [ 17 ]}も参照のこと 。提供されたクンマーの定理の修正はすべての正の級数を特徴づけ、収束または発散は収束と発散の2つの必要十分条件の形で定式化できる。

• 級数が収束するには、次を満たす正の数列,が存在する必要がある。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\geq c>0.}$

• 級数が発散するのは、次を満たす正の数列,が存在する場合のみである。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}\leq 0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

最初の記述は次のように簡略化できる。^{[ 18 ]}

• 級数が収束するには、次を満たす正の数列,が存在する必要がある。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=1.}$

2 番目のステートメントも同様に簡略化できます。

• 級数が発散するのは、次を満たす正の数列,が存在する場合のみである。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}}$ ${\displaystyle n=1,2,\dots }$ ${\displaystyle \zeta _{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-\zeta _{n+1}=0,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty .}$

しかし、この場合の条件は元の主張に還元されるため、役に立たなくなる。${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\zeta _{n}}}=\infty }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\infty .}$

フリンクの比検定

クンマーの定理の枠組みの中で設定できるもう一つの比率検定は、 1948年にオーリン・フリンク^{[ 19 ]}によって提示された。

が のシーケンスであると仮定すると、 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

• ならば、級数は絶対収束します。${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}<{\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle \sum _{n}a_{n}}$
• すべての に対してとなるような が存在する場合、 は発散します。${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\Big (}{\frac {|a_{n+1}|}{|a_{n}|}}{\Big )}^{n}\geq {\frac {1}{e}}}$ ${\displaystyle n\geq N}$ ${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$

この結果は、 とのべき級数との比較に帰着し、ラーベ検定と関連していることがわかる。^{[ 20 ]}${\displaystyle \sum _{n}|a_{n}|}$ ${\displaystyle \sum _{n}n^{-p}}$

アリの2回目の比率テスト

より洗練された比率検定は第2の比率検定である: ^{[ 7 ] [ 9 ]} 定義: ${\displaystyle a_{n}>0}$

${\displaystyle L_{0}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle L_{1}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1})}$

2 回目の比率テストでは、シリーズは次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• 発散する場合${\displaystyle L>{\frac {1}{2}}}$
• その場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle L={\frac {1}{2}}}$

上記の限界が存在しない場合は、上限と下限を使用できる場合があります。定義：

${\displaystyle L_{0}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}$		${\displaystyle L_{1}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}$
${\displaystyle \ell _{0}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n}}{a_{n}}}}$		${\displaystyle \ell _{1}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{2n+1}}{a_{n}}}}$
${\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1})}$		${\displaystyle \ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1})}$

その後、シリーズは次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle L<{\frac {1}{2}}}$
• 発散する場合${\displaystyle \ell >{\frac {1}{2}}}$
• その場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{2}}\leq L}$

アリのm乗比検定

このテストは、2番目の比率テストを直接拡張したものです。^{[ 7 ] [ 9 ]}および正の値は次のように定義されます。 ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle L_{k}\equiv \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})}$

比率検定により、この系列は次のようになります。 ${\displaystyle m}$

• 収束する場合${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• 発散する場合${\displaystyle L>{\frac {1}{m}}}$
• その場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle L={\frac {1}{m}}}$

上記の限界が存在しない場合は、上限と下限を使用できる場合があります。定義： ${\displaystyle 0\leq k\leq m-1}$

${\displaystyle L_{k}\equiv \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}$
${\displaystyle \ell _{k}\equiv \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{mn+k}}{a_{n}}}}$
${\displaystyle L\equiv \max(L_{0},L_{1},\ldots ,L_{m-1})}$		${\displaystyle \ell \equiv \min(\ell _{0},\ell _{1},\ldots ,\ell _{m-1})}$

その後、シリーズは次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle L<{\frac {1}{m}}}$
• 発散する場合${\displaystyle \ell >{\frac {1}{m}}}$
• の場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle \ell \leq {\frac {1}{m}}\leq L}$

Ali--Deutsche Cohen のφ比テスト

この検定はth比検定の拡張版である。^{[ 21 ]}${\displaystyle m}$

シーケンスが正の減少シーケンスであると仮定します。 ${\displaystyle a_{n}}$

が存在するものとします。とし、 と仮定します。 ${\displaystyle \varphi :\mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle \alpha =\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\varphi (n)}}}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

また、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{\varphi (n)}}{a_{n}}}=L.}$

その後、シリーズは次のようになります。

• 収束する場合${\displaystyle L<\alpha }$
• 発散する場合${\displaystyle L>\alpha }$
• の場合、テストは決定的ではありません。${\displaystyle L=\alpha }$

参照

• ルートテスト
• 収束半径

脚注

1. ワイスタイン、エリック W. 「比率テスト」。マスワールド。
2. ルディン 1976、§3.34
3. アポストル 1974、§8.14
4. Bromwich, TJ I'A (1908).無限級数理論入門. マーチャントブックス.
5. クノップ、コンラッド（1954年）『無限級数の理論と応用』ロンドン：ブラック＆サン社
6. Tong, Jingcheng (1994年5月). 「Kummerの検定はすべての正の級数の収束または発散の特性を与える」.アメリカ数学月刊誌. 101 (5): 450–452 . doi : 10.2307/2974907 . JSTOR 2974907 . 
7. Ali, Sayel A. (2008). 「m次比検定：級数の新しい収束検定」 .アメリカ数学月刊誌. 115 (6): 514– 524. doi : 10.1080/00029890.2008.11920558 . S2CID 16336333. 2024年9月4日閲覧。 
8. サメルソン, ハンス (1995年11月). 「クンマーのテストについてさらに詳しく」.アメリカ数学月刊誌. 102 (9): 817–818 . doi : 10.2307/2974510 . JSTOR 2974510 . 
9. ブラックバーン、カイル (2012年5月4日). 「m番目の比収束テストとその他の非従来型収束テスト」(PDF) . ワシントン大学文理学部. 2018年11月27日閲覧。
10. Ďuriš、František (2009)。無限級数: 収束テスト(卒業論文)。カテドラ・インフォマティキ、ファクルタ・マテマティキ、フィジキ・ア・インフォマティキ、コメンスケホ大学、ブラチスラバ。2018 年11 月 28 日に取得。
11. Ďuriš, František (2018年2月2日). 「Kummerの収束検定と基本比較検定との関係について」. arXiv : 1612.05167 [ math.HO ].
12. ワイスタイン、エリック・W. 「ラーベのテスト」。マスワールド。
13. ワイスタイン、エリック・W. 「ベルトランのテスト」。マスワールド。
14. マーティン、マーガレット (1941). 「級数の収束に関する一連の極限検定」(PDF) .アメリカ数学会報. 47 (6): 452– 457. doi : 10.1090/S0002-9904-1941-07477-X .
15. Abramov, Vyacheslav M. (2020年5月). 「ベルトラン・ド・モルガン検定の拡張とその応用」.アメリカ数学月刊誌. 127 (5): 444– 448. arXiv : 1901.05843 . doi : 10.1080/00029890.2020.1722551 . S2CID 199552015 . 
16. ワイスタイン、エリック W. 「クンマーのテスト」。マスワールド。
17. Abramov, Vyacheslav, M. (2021年6月21日). 「トングの定理の簡単な証明」. arXiv : 2106.13808 [ math.HO ].
18. アブラモフ、ヴャチェスラフ M. (2022 年 5 月)。「収束する正の系列の合計の評価」(PDF)。数学研究所の出版物。ヌーベルシリーズ。111 (125): 41–53。土井: 10.2298/PIM2225041A。S2CID 237499616。 
19. フリンク、オーリン（1948年10月）「比の検定」アメリカ数学会報54 (10):953. doi : 10.1090 /S0002-9904-1948-09111-X .
20. マルセリ、スターク (1949)。 「フリンクの比率テストについて」。コロキウム数学。2 (1): 46–47 .土井: 10.4064/cm-2-1-46-47。
21. アリ、セイエル;コーエン、マリオン・ドイチェ (2012)。「ファイ比テスト」。数学の要素。67 (4): 164–168。土井: 10.4171/EM/206。

参考文献

• ダランベール、J. (1768)、Opuscules、vol. V 、171–183ページ 。
• アポストル、トム・M.（1974）、数学解析（第2版）、アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series、ニューヨーク: Dover Publications、Bibcode : 1956iss..book.....K、ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3、5.4。
• ルディン、ウォルター（1976年）、数学解析の原理（第3版）、ニューヨーク：マグロウヒル社、ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
• 「ベルトラン基準」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「ガウスの基準」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 「クンマー基準」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワトソン, GN; ウィテカー, ET (1963), 『現代分析論』（第4版）, ケンブリッジ大学出版局, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36、2.37。