ダンスキンの定理

凸解析において、ダンスキンの定理は、次の形の 関数の導関数に関する情報を提供する定理です$${\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}$$

この定理は最適化に応用され、ミニマックス問題を解く際に用いられることがある。JM Danskinが1967年のモノグラフ^{[ 1 ]}で示した元の定理は、方向微分可能関数（必ずしも凸関数ではない）の最大値の方向微分を求める公式を与えている。

より一般的な条件への拡張は 1971 年に Dimitri Bertsekas によって証明されました。

記述

次のバージョンは「非線形計画法」（1991年）で証明されています。^{[ 2 ] は}2つの引数を持つ連続関数であり、 はコンパクト集合 であると仮定 します${\displaystyle \phi (x,z)}$ $${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\times Z\to \mathbb {R} }$$ ${\displaystyle Z\subset \mathbb {R} ^{m}}$

これらの条件下では、ダンスキンの定理は関数の 凸性と微分可能性に関する結論を与える 。これらの結果を述べるために、最大化点の集合を次のように 定義する。$${\displaystyle f(x)=\max _{z\in Z}\phi (x,z).}$$ ${\displaystyle Z_{0}(x)}$ $${\displaystyle Z_{0}(x)=\left\{{\overline {z}}:\phi (x,{\overline {z}})=\max _{z\in Z}\phi (x,z)\right\}.}$$

ダンスキンの定理は次のような結果をもたらします。

凸性

${\displaystyle f(x)}$ 任意の に対してが凸である場合、は凸です${\displaystyle \phi (x,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\in Z}$

方向半微分

方向における の半微分は、で与えられます。ここで は、方向における関数の方向微分です${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \partial _{y}\f(x),}$ $${\displaystyle \partial _{y}f(x)=\max _{z\in Z_{0}(x)}\phi '(x,z;y),}$$ ${\displaystyle \phi '(x,z;y)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

微分

${\displaystyle f(x)}$ が単一の要素からなる場合、は で微分可能です。この場合、の微分（または がベクトルの場合の の勾配）は次のように与えられます${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z_{0}(x)}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial \phi (x,{\overline {z}})}{\partial x}}.}$$

方向微分がない例

ダンスキンの主張において重要なのは、この簡単な例で説明されているように、 は半微分可能であり、 は方向微分可能ではないと結論付けることです。 とすると、は で半微分可能ですが、 では方向微分を持ちません。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z=\{-1,+1\},\ \phi (x,z)=zx}$ ${\displaystyle f(x)=|x|}$ ${\displaystyle \partial_{-}f(0)=-1,\partial_{+}f(0)=+1}$ ${\displaystyle x=0}$

劣微分

がすべてのについて に関して微分可能であり、がすべてのについて に関して連続である場合、の劣微分はで与えられます。ここで は凸包演算を示します${\displaystyle \phi (x,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\in Z,}$ ${\displaystyle \partial \phi /\partial x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \partial f(x)=\mathrm {conv} \left\{{\frac {\partial \phi (x,z)}{\partial x}}:z\in Z_{0}(x)\right\}}$$ ${\displaystyle \mathrm {conv} }$

拡大

ディミトリ・P・ベルツェカスによる1971年の博士論文（命題A.22）^{[ 3 ]}は、より一般的な結果を証明している。これは、が微分可能であることを必要としない。代わりに、がコンパクト集合の各に対して拡張された実数値閉凸関数であり、の有効定義域の内部が空でないこと、が集合上で連続であることを仮定する。すると、におけるすべてのに対して、におけるの副微分は次のように与えられる。 ここで、における任意のに対して、におけるの副微分である。${\displaystyle \phi (\cdot,z)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot,z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \phi}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f))\times Z.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {dom} (f)),}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle \partial f(x)=\operatorname {conv} \left\{\partial \phi (x,z):z\in Z_{0}(x)\right\}}$$ ${\displaystyle \partial \phi (x,z)}$ ${\displaystyle \phi (\cdot,z)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Z.}$

参照

• 最大値定理
• 包絡線定理
• ホテリングの補題

参考文献

1. ダンスキン、ジョン・M. (1967).マックス・ミニ理論と兵器配分問題への応用. ニューヨーク: シュプリンガー
2. Bertsekas, Dimitri P. (1999).非線形計画法（第2版）. マサチューセッツ州ベルモント. ISBN 1-886529-00-0。
3. Bertsekas, Dimitri P. (1971).不確実性の集合メンバーシップ記述による不確実システムの制御(PDF) (PhD). マサチューセッツ州ケンブリッジ: MIT