デルタ関数

ホモロジー代数において、2つのアーベル圏AとBの間のδ-関手とは、 AからBへの関手の集合と、導来関手の持つ性質を一般化する射の集合である。普遍δ-関手とは、射を「次数0」を超えて拡張することに関連する特定の普遍性質を満たすδ-関手である。これらの概念は、アレクサンダー・グロタンディークが「東北論文」において導来関手に適切な設定を与えるために導入した。^{[ 1 ]}特に、導来関手は普遍δ-関手である。

ホモロジー δ 関手とコホモロジー δ 関手という用語は、射が「下向き」（ホモロジー的）になる場合と「上向き」（コホモロジー的）になる場合を区別するために用いられることがある。特に、これらの修飾語のどちらかは、しばしば明示されないものの、常に暗黙的に含まれる。

意味

2つのアーベル圏AとBが与えられたとき、 AとBの間の共変コホモロジーδ-関手は、非負整数でインデックス付けされた共変加法関手T ⁿ  : A → Bの族{ T ⁿ }であり、各短完全列に対して

${\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}$

射影の族

${\displaystyle \delta^{n}:T^{n}(M^{\prime \prime })\rightarrow T^{n+1}(M^{\prime })}$

次の 2 つの特性を満たす非負整数でインデックス付けされます。

1. 上記の短い完全シーケンスごとに、長い完全シーケンスが存在する。

   

2. 短完全列の各射に対して

   

   そして、各非負のnに対して、誘導された二乗

   

   は可換である（上の δ ^nはMの短い正確なシーケンスに対応するのに対し、下の δ n はNの短い正確なシーケンスに対応する）。

2つ目の性質は、δ-関手の関手性を表す。「コホモロジー的」という修飾語は、 δ ^{n が}Tの添字を乗じることを示す。AとBの間の共変ホモロジー的δ-関手も同様に定義され（通常は添え字を用いる）、ただし δ _nはT _n ( M '') → T _n-1 ( M' ) という射となる。AとBの間の反変コホモロジー的δ-関手とAとBの間の反変ホモロジー的δ-関手の概念も、それぞれ「矢印を反転」することで定義できる。

δ-関手の射影

δ-関手の射とは、各短完全列に対して、射 δ と可換となる自然変換の族である。例えば、 SとTで示される2つの共変コホモロジー的δ-関手の場合、 SからTへの射は、すべての短完全列に対して、 F _n  : S ⁿ → T ⁿとなる自然変換の族である。

${\displaystyle 0\rightarrow M^{\prime }\rightarrow M\rightarrow M^{\prime \prime }\rightarrow 0}$

次の図は可換です。

普遍δ関手

普遍δ-関手は、 （ AとBの間の）他の任意のδ-関手への射Fを与えることは、単にF _{0を与えることと同値であるという（}普遍）性質によって特徴付けられる。SがAとBの間の共変コホモロジーδ-関手を表す場合、Sは、AとBの間の任意の他の（共変コホモロジー）δ-関手Tが与えられ、任意の自然変換が与えられれ ば普遍的である。

${\displaystyle F_{0}:S^{0}\rightarrow T^{0}}$

正の整数でインデックスされた一意のシーケンスF _nが存在し、ファミリ{ F _n } _{n ≥ 0}はδ関数の射である。

参照

• 消去可能な関数

注記

1. グロタンディーク 1957

参考文献

• Grothendieck, Alexander (1957)、「Sur quelques point d'algebre homologique」、東北数学ジャーナル、第 2 シリーズ、9 ( 2–3 )、MR  0102537

• Lang, Serge (2002) 『代数学』第211巻（改訂第3版）第7節、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001
• ワイベル、チャールズ・A.（1994）「ホモロジー代数入門」第2.1節、ケンブリッジ高等数学研究第38巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55987-4、MR  1269324、OCLC  36131259