デルタ電位

量子力学において、デルタ電位は、ディラックのデルタ関数（一般化関数）によって数学的に記述されるポテンシャル井戸です。定性的には、一点を除き、どこでもゼロとなる電位に対応し、一点においては無限大の値をとります。これは、粒子が空間の二つの領域間を自由に移動でき、その間に障壁がある状況をシミュレートするために使用できます。例えば、電子は導電性物質内でほぼ自由に移動できますが、二つの導電性表面が近接している場合、それらの間の界面は電子に対して障壁として作用し、これはデルタ電位で近似できます。

デルタ電位井戸は有限電位井戸の極限ケースであり、井戸の幅を狭めて電位を増大させながら、井戸の幅と電位の積を一定に維持した場合に得られます。

この記事では、簡潔にするために 1 次元のポテンシャル井戸のみを検討しますが、分析はより多くの次元に拡張できます。

単一デルタ電位

ポテンシャルV ( x )における1次元粒子の波動関数ψ(x)に対する時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、ħが縮約プランク定数、Eが粒子の エネルギーで ある。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$

デルタ電位は、 δ ( x )がディラックのデルタ関数 である電位です。 $${\displaystyle V(x)=\lambda \delta (x),}$$

λが負の場合、デルタポテンシャル井戸、 λが正の場合、デルタポテンシャル障壁と呼ばれます。デルタは簡略化のため原点に発生すると定義されており、デルタ関数の引数がシフトしても、以下の結果は変わりません。

シュレーディンガー方程式を解く

出典: ^[1]

ポテンシャルは空間を2つの部分（x < 0とx > 0）に分割します。これらの各部分ではポテンシャルはゼロであり、シュレーディンガー方程式は 定数係数の線型微分方程式に帰着します。その解はe ^ikxとe ^{− ikx}の線型結合 です。ここで波数kはエネルギーと次の関係があります。 $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=-{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi ;}$$ $${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}.}$$

一般に、原点にデルタポテンシャルが存在するため、解の係数は両方の半空間で同じである必要はありません。 ここで、正のエネルギー（実数k ） の場合、e ^{ikx は}右に進む波を表し、e ^{− ikx}は左に進む波を表します。 $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{r}}e^{ikx}+A_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x<0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{ikx}+B_{\text{l}}e^{-ikx},&{\text{ if }}x>0,\end{cases}}}$$

波動関数が原点で連続であると仮定すると、係数間の関係が得られます。 $${\displaystyle \psi (0)=\psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)=A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$$

2つ目の関係式は、波動関数の微分を調べることで見つけることができます。通常、原点において微分可能性を課すこともできますが、デルタポテンシャルのためにこれは不可能です。しかし、シュレーディンガー方程式をx = 0 の周りで区間 にわたって積分すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi (x)\,dx.}$$

の極限では、この式の右辺はゼロになる。左辺は、 ψ の定義をこの式に 代入すると、 次のよう になる。${\displaystyle \varepsilon \to 0}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}[\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)]+\lambda \psi (0),}$$ $${\displaystyle \int _{-\varepsilon }^{+\varepsilon }\psi ''(x)\,dx=[\psi '(+\varepsilon )-\psi '(-\varepsilon )].}$$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}ik(-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l})+\lambda (A_{r}+A_{l})=0.}$$

境界条件は係数に次のような制約を与える。 $${\displaystyle {\begin{cases}A_{r}+A_{l}-B_{r}-B_{l}&=0,\\-A_{r}+A_{l}+B_{r}-B_{l}&={\frac {2m\lambda }{ik\hbar ^{2}}}(A_{r}+A_{l}).\end{cases}}}$$

束縛状態（E< 0)

デルタ関数ポテンシャルの束縛状態波動関数解のグラフはどこでも連続ですが、その導関数はx = 0では定義されません。

任意の1次元引力ポテンシャルには束縛状態が存在する。そのエネルギーを求めるには、E < 0の場合、k = i √ 2 m | E | / ħ = iκは虚数であることに注意する。また、上記の計算では正のエネルギーに対して振動していた波動関数は、xの指数関数的に増加または減少する関数となる（上記参照）。波動関数が無限遠で発散しないことを条件とすることで、項の半分が除去される。A r = B _l = 0 。すると_、波動関数は $${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}\psi _{\text{L}}(x)=A_{\text{l}}e^{\kappa x},&{\text{ if }}x\leq 0,\\\psi _{\text{R}}(x)=B_{\text{r}}e^{-\kappa x},&{\text{ if }}x\geq 0.\end{cases}}}$$

境界条件と正規化条件から、 λは負でなければならない、 つまり束縛状態は井戸にのみ存在し、障壁には存在しないことが導かれる。この波動関数のフーリエ変換はローレンツ関数である。 $${\displaystyle {\begin{cases}A_{\text{l}}=B_{\text{r}}={\sqrt {\kappa }},\\\kappa =-{\frac {m\lambda }{\hbar ^{2}}},\end{cases}}}$$

束縛状態のエネルギーは $${\displaystyle E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}=-{\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}.}$$

散乱（E> 0)

デルタポテンシャル井戸の透過確率（T）と反射確率（R）。エネルギーE > 0の単位は。破線：古典的な結果。実線：量子力学。${\displaystyle {\frac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}}}}$

正のエネルギーの場合、粒子は半空間（x < 0またはx > 0 ）を自由に移動できます。デルタ関数ポテンシャルで散乱されることもあります。

量子的なケースは、次のような状況で研究できる。粒子が左側から障壁に入射する（A _r）。この粒子は反射される（A _l）か、透過する（B _r）。左側からの入射における反射と透過の振幅を求めるには、上記の式にA _r = 1（入射粒子）、A _l = r（反射）、B _l = 0（右側からの入射粒子なし）、B _r = t （透過）を代入し、 rとtについて解く（tについては式は存在しない） 。結果は次のようになる。 $${\displaystyle t={\cfrac {1}{1-{\cfrac {m\lambda }{i\hbar ^{2}k}}}},\quad r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}.}$$

このモデルの鏡映対称性により、右からの入射振幅は左からの入射振幅と同じになります。その結果、 粒子が反射される確率はゼロではありません。これはλの符号に依存しません。つまり、障壁が粒子を反射する確率は井戸と同じです。これは古典力学との大きな違いです。古典力学では、障壁の反射確率は1（粒子は単に跳ね返る）、井戸の反射確率は0（粒子はそのまま井戸を通過する）となります。 $${\displaystyle R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}}$$

感染の確率は $${\displaystyle T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}.}$$

備考と応用

上記の計算は一見非現実的で、ほとんど役に立たないように思えるかもしれません。しかし、これは現実世界の様々なシステムに適したモデルであることが証明されています。

一例として、2つの導電性材料間の界面が挙げられます。これらの材料の大部分では、電子の運動は準自由であり、有効質量mを持つ上記のハミルトニアンにおける運動項によって記述できます。多くの場合、このような材料の表面は酸化物層で覆われているか、その他の理由により理想的ではありません。この薄い非導電性層は、上記のように局所デルタ関数ポテンシャルによってモデル化できます。すると、電子は一方の材料からもう一方の材料へとトンネル効果を生じ、電流が生じます。

走査トンネル顕微鏡（STM）の動作はこのトンネル効果を利用しています。この場合、障壁はSTMの先端と下にある物体との間の空気によって生じます。障壁の強さは、両者の距離が離れるほど分離が強くなることに関係しています。この状況のより一般的なモデルについては、有限ポテンシャル障壁（QM）を参照してください。デルタ関数ポテンシャル障壁は、そこで検討されているモデルの極限ケースであり、非常に高く狭い障壁を対象としています。

上記のモデルは1次元ですが、私たちの周囲の空間は3次元です。したがって、実際にはシュレーディンガー方程式を3次元で解く必要があります。一方、多くの系は1つの座標方向に沿ってのみ変化し、他の方向に沿っては並進不変です。したがって、シュレーディンガー方程式は、ここで検討している 型の波動関数の仮定によって簡約できます。 ${\displaystyle \Psi (x,y,z)=\psi (x)\phi (y,z)\,\!}$

あるいは、デルタ関数を一般化して、ある領域Dの表面上に存在するようにすることもできる（指示子のラプラシアンを参照）。^[2]

デルタ関数モデルは、実際にはダドリー・R・ハーシュバッハのグループによって開発された次元スケーリング法に従った水素原子の1次元バージョンです^{[3]デルタ関数モデルは、次のセクションに示すように、}水素分子イオンの1次元バージョンを表す二重井戸ディラックデルタ関数モデル で特に有用になります。

ダブルデルタ電位

核間距離R = 2の二重井戸型ディラックデルタ関数モデルの対称波動関数と反対称波動関数

二重井戸のディラックのデルタ関数は、対応するシュレーディンガー方程式によって二原子水素分子をモデル化します。 ここ で、ポテンシャルは となり、 は「核間」距離です。ディラックのデルタ関数（負）のピークはx = ± R /2にあります（図では茶色で表示）。このモデルと3次元の分子の対応関係を念頭に置いて、原子単位を使用し、 と設定します。ここに、正式に調整可能なパラメータがあります。単一井戸の場合から、解の 「仮説」は であると推測できます。 ディラックのデルタ関数のピークでの波動関数の一致により、行列式が生成されます 。 したがって、 は、 2つの解 を持つ擬似二次方程式 によって支配されていることがわかります。等しい電荷の場合（対称的な同核の場合）、λ = 1であり、擬似二次関数は に簡約されます。 "+" の場合は、中点について対称な波動関数（図では赤で表示）に対応し、A = Bとなり、geradeと呼ばれます。同様に、 "−" の場合は、中点について反対称な波動関数（図では緑で表示）であり、A = − Bとなり、ungeradeと呼ばれます。これらは、3 次元の 2 つの最低離散エネルギー状態の近似値を表し、その解析に有用です。対称電荷の場合のエネルギー固有値の解析解は^[4]で与えられ 、Wは標準のLambert W関数です。最低エネルギーは対称解 に対応することに注意してください。不等電荷の場合、そして 3 次元分子問題の場合、解はLambert W関数の一般化によって与えられます( Lambert W 関数 § 一般化を参照)。 $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$$ $${\displaystyle V(x)=-q\left[\delta \left(x+{\frac {R}{2}}\right)+\lambda \delta \left(x-{\frac {R}{2}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle 0<R<\infty }$ ${\displaystyle \hbar =m=1}$ ${\displaystyle 0<\lambda <1}$ $${\displaystyle \psi (x)=Ae^{-d\left|x+{\frac {R}{2}}\right|}+Be^{-d\left|x-{\frac {R}{2}}\right|}.}$$ $${\displaystyle {\begin{vmatrix}q-d&qe^{-dR}\\q\lambda e^{-dR}&q\lambda -d\end{vmatrix}}=0,\quad {\text{where }}E=-{\frac {d^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle d_{\pm }(\lambda )={\frac {1}{2}}q(\lambda +1)\pm {\frac {1}{2}}\left\{q^{2}(1+\lambda )^{2}-4\lambda q^{2}\left[1-e^{-2d_{\pm }(\lambda )R}\right]\right\}^{1/2},}$$ ${\displaystyle d=d_{\pm }}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q\left[1\pm e^{-d_{\pm }R}\right].}$$ ${\displaystyle {\ce {H2^+}}}$ $${\displaystyle d_{\pm }=q+W(\pm qRe^{-qR})/R,}$$ ${\displaystyle d_{+}}$

最も興味深いケースの一つは、qR  ≤ 1 のときであり、これは となる。したがって、 E = 0となる非自明な束縛状態解が得られる。これらの特定のパラメータに対しては、多くの興味深い特性が現れるが、その一つとして、透過係数がゼロエネルギーで1となるという特異な効果が挙げられる。^[5]${\displaystyle d_{-}=0}$

参照

• 自由粒子
• 箱の中の粒子
• 有限ポテンシャル井戸
• リング内の粒子
• 球対称ポテンシャル内の粒​​子
• 量子調和振動子
• 水素原子または水素類似原子
• リング導波管
• 1次元格子内の粒子（周期ポテンシャル）
• 水素分子イオン
• ホルスタイン・ニリング法
• 指標のラプラシアン
• 解析解を持つ量子力学系の一覧

参考文献

1. 「量子力学 - デルタポテンシャルを持つ波動関数」Physics Stack Exchange . 2021年3月29日閲覧。
2. Lange, Rutger-Jan (2012)、「ポテンシャル理論、経路積分、および指示薬のラプラシアン」、Journal of High Energy Physics、2012 (11): 1– 49、ar​​Xiv : 1302.0864、Bibcode :2012JHEP...11..032L、doi :10.1007/JHEP11(2012)032、S2CID  56188533
3. DR Herschbach、JS Avery、O. Goscinski（編）、Dimensional Scaling in Chemical Physics、Springer、（1992）。[1]
4. T. C. Scott, J. F. Babb, A. DalgarnoおよびJohn D. Morgan III、「交換力の計算：一般的な結果と特定のモデル」、J. Chem. Phys.、99、pp. 2841–2854、(1993)。
5. van Dijk, W.; Kiers, KA (1992). 「単純な1次元システムにおける時間遅延」. American Journal of Physics . 60 (6). American Association of Physics Teachers (AAPT): 520– 527. Bibcode :1992AmJPh..60..520V. doi :10.1119/1.16866. ISSN  0002-9505.

参考文献

• グリフィス、デイヴィッド・J. (2005).量子力学入門（第2版）. プレンティス・ホール. pp.  68– 78. ISBN 978-0-13-111892-8。
• 3次元の場合、「デルタ殻ポテンシャル」について調べてください。さらに詳しくは、K. Gottfried (1966) 『量子力学第1巻：基礎』第3章第15節を参照してください。

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズのデルタの潜在力に関するメディア