メカトロニクス工学 において、デナビット・ハルテンベルグパラメータ （DHパラメータとも呼ばれる）は、空間 運動連鎖 またはロボットマニピュレータ のリンクに参照フレームを 接続するためのDH規則に関連付けられた4つのパラメータ です。
ジャック・デナビとリチャード・ハルテンバーグは、空間リンク の座標フレームを標準化するために1955年にこの規則を導入しました。[ 1 ] [ 2 ]
リチャード・ポールは1981年にロボットシステムの運動学的解析におけるその価値を実証しました。[ 3 ]
ロボット工学 アプリケーションにおいて参照フレームを 選択する際に一般的に用いられる慣習として、ジャック・デナビット とリチャード・S・ハルテンバーグ によって提唱されたデナビット・ハルテンバーグ（D-H）慣習が 変換 はジョイント[ Z ] に関連付けられ、もう1つはリンク[ X ]に関連付けられます。n個 の リンクからなる直列ロボットに沿った座標変換は、ロボットの運動学方程式を形成します。
[ T ] ＝ [ Z 1 ] [ X 1 ] [ Z 2 ] [ X 2 ] … [ X n − 1 ] [ Z n ] [ X n ] {\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{n}]\!} ここで[ T ] はエンドリンクの位置と方向を特徴付ける変換である。
座標変換[ Z ] および[ X ] を決定するために、リンクを接続するジョイントは、ヒンジ ジョイントまたはスライディング ジョイントとしてモデル化されます。各ジョイントには、ジョイント軸を形成し、2 つのリンクの相対的な動きを定義する、空間内の一意のラインS があります。一般的なシリアル ロボットは、ロボットの各ジョイントに 1 つずつ、 6 つのラインS i ( i = 1、2、...、6)のシーケンスによって特徴付けられます。ラインS i およびS i +1A i 、i +1があります。6 つのジョイント軸S i と 5 つの共通法線A i 、i +1S i に、 x 座標軸を共通の法線A i 、i +1
この規則により、共通の関節軸S iの 周りのリンクの動きをねじの変位 によって定義できます。
[ Z i ] = [ cos θ i − sin θ i 0 0 sin θ i cos θ i 0 0 0 0 1 d i 0 0 0 1 ] {\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}} ここで、θ i は の周りの回転、d i はZ 軸に沿ったスライド運動である。これらのパラメータは、ロボットの構造に応じて定数となる場合がある。この規則では、直列チェーンの各リンクの寸法は、ジョイントS i からS i +1 A i , i +1 の周りのねじの変位 によって定義され、これは次式で表される。
[ X i ] = [ 1 0 0 r i , i + 1 0 cos α i , i + 1 − sin α i , i + 1 0 0 sin α i , i + 1 cos α i , i + 1 0 0 0 0 1 ] , {\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},} ここで、α i 、i +1r i 、i +1
要約すると、参照フレームは次のように配置されます。
z 軸は関節軸の方向です。x軸は 共通法線 と平行です: （またはz n –1 z 軸が平行である場合）、d （下記）は自由パラメータです。 x n z n –1 からz n x n = z n × z n − 1 {\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}} 右手座標系 を選択すると、y 軸はx 軸とz 軸から導かれます。
4つのパラメータ 古典的なDH規則の4つのパラメータ、すなわちθ i 、 d i 、 a i 、 α iは赤い文字で示されています。これらの4つのパラメータを用いて、座標を O i –1 X i –1 Y i –1 Z i –1からO i X i Y i Z i に変換できます。 以下の4つの変換パラメータはD-Hパラメータとして知られている。[ 4 ]
d :共通法線に対する前のZ 方向のオフセットθ :古いx から新しいxまでの、前の z を中心とした角度r : 共通法線の長さ（別名a 、ただしこの表記を使用する場合は α と混同しないように注意）。回転関節を仮定すると、これは前述の z を中心とした半径となります。α : 古い Z 軸から新しいZ 軸までの共通法線周りの角度フレームレイアウトでは、前のx 軸と次のx 軸のどちらが共通法線に沿うかを選択できます。後者のシステムでは、複数のフレームが共通の祖先から逆方向に向くことができるため、チェーンの分岐をより効率的に行うことができます。一方、後者のレイアウトでは、祖先は1つの後継フレームにしか向かうことができません。したがって、一般的に使用される表記法では、ダウンチェーンの各x 軸が共通法線と共線に配置され、以下に示すような変換計算が行われます。
軸間の関係には制約があることに留意してください。
x n軸は z n -1 z n の 両方に垂直である x n軸は z n -1 軸z n 軸の両方 ジョイントn の原点はx n とz n y n は x n とz n
ねじの変位は、直線に沿った純粋な並進運動と直線の周りの純粋な回転運動の積に分けるのが一般的である。 [ 5 ] [ 6 ]
[ Z i ] = Trans Z i ( d i ) Rot Z i ( θ i ) , {\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),} そして
[ X i ] = Trans X i ( r i , i + 1 ) Rot X i ( α i , i + 1 ) . {\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(r_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).} この表記法を使用すると、各リンクは同時座標系から前の座標系への 座標変換 によって記述できます。
n − 1 T n = [ Z n − 1 ] ⋅ [ X n ] {\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=[Z_{n-1}]\cdot [X_{n}]} これは2つのねじ変位 の積であることに注意してください。これらの操作に関連する行列は次のとおりです。
Trans z n − 1 ( d n ) = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d n 0 0 0 1 ] {\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} Rot z n − 1 ( θ n ) = [ cos θ n − sin θ n 0 0 sin θ n cos θ n 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} Trans x n ( r n ) = [ 1 0 0 r n 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} Rot x n ( α n ) = [ 1 0 0 0 0 cos α n − sin α n 0 0 sin α n cos α n 0 0 0 0 1 ] {\displaystyle \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} これにより、次のようになります。
n − 1 T n = [ cos θ n − sin θ n cos α n sin θ n sin α n r n cos θ n sin θ n cos θ n cos α n − cos θ n sin α n r n sin θ n 0 sin α n cos α n d n 0 0 0 1 ] = [ R T 0 0 0 1 ] {\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R&&T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} ここで、 R は回転を記述する 3×3 サブ行列であり、 T は平行移動を記述する 3×1 サブ行列です。
一部の書籍では、連続する回転と並進のペア（ となど）の変換順序が逆になっています。これは（一般に行列の乗算は可換ではないにもかかわらず）可能です。なぜなら、並進と回転はそれぞれ同じ軸と を扱うからです。これらのペアの行列の乗算順序は関係ないため、結果は同じです。例えば、 です。 d n {\displaystyle d_{n}} θ n {\displaystyle \theta _{n}} z n − 1 {\displaystyle z_{n-1}} x n {\displaystyle x_{n}} Trans z n − 1 ( d n ) ⋅ Rot z n − 1 ( θ n ) = Rot z n − 1 ( θ n ) ⋅ Trans z n − 1 ( d n ) {\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})}
したがって、変換は次のように記述できます。n − 1 T n {\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}} n − 1 T n = Trans z n − 1 ( d n ) ⋅ Rot z n − 1 ( θ n ) ⋅ Trans x n ( r n ) ⋅ Rot x n ( α n ) {\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})} n − 1 T n = Rot z n − 1 ( θ n ) ⋅ Trans z n − 1 ( d n ) ⋅ Trans x n ( r n ) ⋅ Rot x n ( α n ) {\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})}
デナビット行列とハルテンベルク行列の使用 デナビット・ハルテンベルク記法は、マニピュレータの運動学方程式を記述するための標準的な（遠位的な）方法論を提供します。これは、ある物体の別の物体に対する姿勢（位置と向き）を行列で表すシリアルマニピュレータに特に有用です。
物体の位置は、 記号またはで示される位置行列によって表される。n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} T {\displaystyle T} M {\displaystyle M}
n − 1 T n = M n − 1 , n {\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=M_{n-1,n}} この行列は、点をフレームからn {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1}
M n − 1 , n = [ R x x R x y R x z T x R y x R y y R y z T y R z x R z y R z z T z 0 0 0 1 ] {\displaystyle M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} ここで、 の左上のサブ行列は2 つの物体の相対的な向きを表し、右上はそれらの相対的な位置、より具体的にはフレームnの要素で表されるフレーム n − 1 内の物体の位置を表します 。 3 × 3 {\displaystyle 3\times 3} M {\displaystyle M} 3 × 1 {\displaystyle 3\times 1}
物体に対する物体の位置は、物体に対する物体の姿勢を表す行列と物体に対する物体の姿勢を表す行列の積として得られる。k {\displaystyle k} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} i {\displaystyle i} k {\displaystyle k} j {\displaystyle j}
M i , k = M i , j M j , k {\displaystyle M_{i,k}=M_{i,j}M_{j,k}} デナビット行列とハルテンベルク行列の重要な性質は、逆行列が
M − 1 = [ R T − R T T 0 0 0 1 ] {\displaystyle M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} ここでは直交行列 の転置と逆行列です。つまり です。 R T {\displaystyle R^{T}} R {\displaystyle R} R i j − 1 = R i j T = R j i {\displaystyle R_{ij}^{-1}=R_{ij}^{T}=R_{ji}}
運動学 さらに物体の速度と加速度を表す行列を定義することができる。[ 5 ] [ 6 ] i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} k {\displaystyle k}
W i , j ( k ) = [ 0 − ω z ω y v x ω z 0 − ω x v y − ω y ω x 0 v z 0 0 0 0 ] {\displaystyle W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]} ここで、 は物体 の物体に対する角速度であり、すべての成分はフレーム で表されます。は物体の一点（極）の物体に対する速度です。極とは、フレーム の原点を通る点です。 ω {\displaystyle \omega } j {\displaystyle j} i {\displaystyle i} k {\displaystyle k} v {\displaystyle v} j {\displaystyle j} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j} i {\displaystyle i}
加速度行列は、速度の時間微分と速度の2乗の和として定義できる 。
H i , j ( k ) = W ˙ i , j ( k ) + W i , j ( k ) 2 {\displaystyle H_{i,j(k)}={\dot {W}}_{i,j(k)}+W_{i,j(k)}^{2}} 物体の点の座標系における速度と加速度は次のように評価できる。 i {\displaystyle i} j {\displaystyle j}
P ˙ = W i , j P {\displaystyle {\dot {P}}=W_{i,j}P} P ¨ = H i , j P {\displaystyle {\ddot {P}}=H_{i,j}P} また、次のことを証明することもできる。
M ˙ i , j = W i , j ( i ) M i , j {\displaystyle {\dot {M}}_{i,j}=W_{i,j(i)}M_{i,j}} M ¨ i , j = H i , j ( i ) M i , j {\displaystyle {\ddot {M}}_{i,j}=H_{i,j(i)}M_{i,j}} 速度行列と加速度行列は次の規則に従って加算される。
W i , k = W i , j + W j , k {\displaystyle W_{i,k}=W_{i,j}+W_{j,k}} H i , k = H i , j + H j , k + 2 W i , j W j , k {\displaystyle H_{i,k}=H_{i,j}+H_{j,k}+2W_{i,j}W_{j,k}} 言い換えると、絶対速度は親速度と相対速度の合計であり、加速度にはコリオリの項も存在します。
速度行列と加速度行列の成分は任意のフレームで表現され、次の規則に従ってあるフレームから別のフレームに変換されます。 k {\displaystyle k}
W ( h ) = M h , k W ( k ) M k , h {\displaystyle W_{(h)}=M_{h,k}W_{(k)}M_{k,h}} H ( h ) = M h , k H ( k ) M k , h {\displaystyle H_{(h)}=M_{h,k}H_{(k)}M_{k,h}}
ダイナミクス 力学では、慣性、線形および角運動量、および物体に適用される 力とトルクを記述するために、さらに 3 つの行列が必要です。J {\displaystyle J} Γ {\displaystyle \Gamma } Φ {\displaystyle \Phi }
慣性: J {\displaystyle J}
J = [ I x x I x y I x z x g m I y x I y y I y z y g m I z x I z y I z z z g m x g m y g m z g m m ] {\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]} ここで、は質量、は質量中心の位置を表し、項は慣性を表し、次のように定義されます。 m {\displaystyle m} x g , y g , z g {\displaystyle x_{g},\,y_{g},\,z_{g}} I x x , I x y , … {\displaystyle I_{xx},\,I_{xy},\ldots }
I x x = ∬ x 2 d m {\displaystyle I_{xx}=\iint x^{2}\,dm} I x y = ∬ x y d m I x z = ⋯ ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=\iint xy\,dm\\I_{xz}&=\cdots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}} 力とトルクを含む作用行列: Φ {\displaystyle \Phi } f {\displaystyle f} t {\displaystyle t}
Φ = [ 0 − t z t y f x t z 0 − t x f y − t y t x 0 f z − f x − f y − f z 0 ] {\displaystyle \Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]} 線形運動量と角運動量 を含む運動量行列Γ {\displaystyle \Gamma } ρ {\displaystyle \rho } γ {\displaystyle \gamma }
Γ = [ 0 − γ z γ y ρ x γ z 0 − γ x ρ y − γ y γ x 0 ρ z − ρ x − ρ y − ρ z 0 ] {\displaystyle \Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]} 全ての行列は、あるフレームのベクトル成分で表現されます。フレーム間の成分の変換は、以下の規則に従います。 k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} h {\displaystyle h}
J ( h ) = M h , k J ( k ) M h , k T Γ ( h ) = M h , k Γ ( k ) M h , k T Φ ( h ) = M h , k Φ ( k ) M h , k T {\displaystyle {\begin{aligned}J_{(h)}&=M_{h,k}J_{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Gamma _{(h)}&=M_{h,k}\Gamma _{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Phi _{(h)}&=M_{h,k}\Phi _{(k)}M_{h,k}^{T}\end{aligned}}} 記述された行列により、動的方程式を簡潔に記述できるようになります。
ニュートンの法則:
Φ = H J − J H t {\displaystyle \Phi =HJ-JH^{t}\,} 勢い:
Γ = W J − J W t {\displaystyle \Gamma =WJ-JW^{t}\,} これらの方程式の最初のものはニュートンの法則を表し、ベクトル方程式（力は質量と加速度に等しい）と（慣性と角速度の関数としての角加速度 ）を足したものに相当します。2 番目の方程式は、速度と慣性がわかっている場合に線形運動量と角運動量を評価できるようにします。 f = m a {\displaystyle f=ma} t = J ω ˙ + ω × J ω {\displaystyle t=J{\dot {\omega }}+\omega \times J\omega }
変更されたDHパラメータ 『ロボティクス入門：力学と制御（第3版）』 [ 7 ]
変更されたDHパラメータ 従来のDHパラメータと比較すると、フレームの座標は従来のDH規約における軸i ではなく、軸i −1上に置かれます。また、フレームの座標は従来のDH規約における軸i +1ではなく、軸i 上に置かれます 。 O i − 1 {\displaystyle O_{i-1}} O i {\displaystyle O_{i}}
もう 1 つの違いは、修正された規則に従って、変換行列が次の演算順序で与えられることです。
n − 1 T n = Rot x n − 1 ( α n − 1 ) ⋅ Trans x n − 1 ( a n − 1 ) ⋅ Rot z n ( θ n ) ⋅ Trans z n ( d n ) {\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{x_{n-1}}(\alpha _{n-1})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n-1}}(a_{n-1})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})} したがって、修正されたDHパラメータの行列は
n − 1 T n = [ cos θ n − sin θ n 0 a n − 1 sin θ n cos α n − 1 cos θ n cos α n − 1 − sin α n − 1 − d n sin α n − 1 sin θ n sin α n − 1 cos θ n sin α n − 1 cos α n − 1 d n cos α n − 1 0 0 0 1 ] {\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \alpha _{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]} いくつかの書籍（例：[ 8 ] n の長さとねじれを表すのに、リンクn − 1 の長さとねじれを表すのに、 と が使用されていることに 注意してください。結果として、は同じ添え字を持つパラメータでのみ形成されます。 a n {\displaystyle a_{n}} α n {\displaystyle \alpha _{n}} n − 1 T n {\displaystyle {}^{n-1}T_{n}}
DH条約とその相違点に関する調査が出版されている。[ 9 ] [ 10 ]
参照
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![{\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{n}]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/823a3854e8d8c79fd94561aef7528569527d8eac)
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![{\displaystyle \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f6829532da2c9b95b7838686240621a281d066b)
![{\displaystyle \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b9c367824bbe1639372c2a4805c99efd967a5f)
![{\displaystyle \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6323ca441a702b252b2d8521dde3ae9c1aa6b662)
![{\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R&&T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6963d0c47a3a894ff0719c8df348d188b996074e)
![{\displaystyle M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2b6bdf3074d61dcd61ae2d946bef0aaf151841a)
![{\displaystyle M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882df2d7cbe95a1b08c0fc516b7e2d247cf5f84d)
![{\displaystyle W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e502f568baa4e4d91f1733ea1f5f2ec0d0d41b42)
![{\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e4d57dfa7fdd307bc63672a6c3c467edf6b76c3)
![{\displaystyle \Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4368085c58c6e9ab64b78ecbb7cca5e33b54f820)
![{\displaystyle \Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73128fb4771872bdccff6c51dc5af41a17610bff)
![{\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \アルファ_{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c871f4e80e3c6be1cebb018cfb71de2f12e9e340)
