昇順連鎖条件

数学において、昇順連鎖条件( ACC ) と降順連鎖条件( DCC ) は、いくつかの代数構造、最も重要な特定の可換環のイデアルが満たす有限性特性である。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}これらの条件は、ダヴィド・ヒルベルト、エミー・ネーター、エミール・アルティンの著作における可換環の構造理論の発展に重要な役割を果たした。条件そのものは抽象的な形で述べることができるため、任意の半順序集合に対して意味をなす。この観点は、ガブリエルとレンシュラーによる抽象代数次元理論で有用である。

意味

半順序集合（poset）Pは、無限の厳密に昇順な列が存在しない場合、昇順連鎖条件（ACC） を満たすと言われる。

${\displaystyle a_{1}、{2}、{3}、 ...$

Pの元が存在する。^{[ 4 ]} 同様に、^{[ a ]}すべての弱上昇列

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots ,}$

Pの要素は最終的に安定し、つまり 正の整数nが存在し、

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$

同様に、Pの元が無限に厳密に下降する連鎖が存在しない場合、Pは下降連鎖条件(DCC)を満たすと言われる。^{[ 4 ]}同様に、すべての弱下降シーケンス

${\displaystyle a_{1}\geq a_{2}\geq a_{3}\geq \cdots }$

Pの要素は最終的に安定します。

コメント

• 従属選択公理を仮定すると、（無限個かもしれない）半集合P上の降順連鎖条件は、Pが整集合であることと同値である。すなわち、 Pの空でない部分集合はすべて最小元を持つ（これは最小条件または最小条件とも呼ばれる）。整集合である全順序集合は、整集合である。
• 同様に、昇順連鎖条件は、P が逆整基礎であることと同等です (ここでも従属選択を仮定)。つまり、Pの空でない部分集合には、最大要素 (最大条件または最大条件) があります。
• すべての有限 poset は昇順連鎖条件と降順連鎖条件の両方を満たしており、したがって well-founded かつ逆 well-founded です。

例

指輪について考えてみましょう

${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots \}}$

整数のイデアル。 の各イデアルは、ある数のすべての倍数から構成されます。例えば、イデアル ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle I=\{\dots ,-18,-12,-6,0,6,12,18,\dots \}}$

のすべての倍数から成る。 ${\displaystyle 6}$

${\displaystyle J=\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \}}$

を のすべての倍数からなるイデアルとします。のすべての倍数はの倍数でもあるため、このイデアルはイデアル に含まれます。同様に、のすべての倍数は の倍数でもあるため、このイデアルはイデアル に含まれます。しかし、この時点では、これより大きなイデアルは存在しません。 で「頂点に達している」のです。 ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

一般に、が に含まれ、が に含まれ、などとなる のイデアルが存在するとき、すべての となるイデアルが存在する。つまり、ある点以降、すべてのイデアルは互いに等しい。したがって、 のイデアルは、イデアルが集合の包含によって順序付けられるという昇順連鎖条件を満たす。したがって、はネーター環である。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\dots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{2}}$ ${\displaystyle I_{3}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

参照

• アルティニアン
• 主イデアルの上昇連鎖条件
• クルル次元
• 合同性の最大条件
• ネーター

注記

1. 証明：まず、正に増加する数列は明らかに安定化できない。逆に、安定化しない昇順数列があると仮定すると、明らかにその数列には正に増加する（必然的に無限である）部分数列が含まれる。

引用

1. ヘイズヴィンケル、グバレーニ、キリチェンコ、2004 年、p. 6、提案 1.1.4
2. フレイリーとカッツ、1967 年、p. 366、補題 7.1
3. ジェイコブソン 2009、142、147ページ
4. ヘイズウィンケル、580ページ

参考文献

• アティヤ、MF；マクドナルド、IG（1969）、可換代数入門、Perseus Books、ISBN 0-201-00361-9
• Hazewinkel, マイケル;グバレニ、ナディヤ。 Kirichenko、VV (2004)、代数、環およびモジュール、Kluwer Academic Publishers、ISBN 1-4020-2690-0
• ヘイズウィンケル、ミシェル。数学百科事典。クルーワー。ISBN 1-55608-010-7。
• ジョン・B・フレイリー; Victor J. Katz (1967)、抽象代数の最初のコース(第 5 版)、Addison-Wesley Publishing Company、ISBN 0-201-53467-3
• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数I、ドーバー、ISBN 978-0-486-47189-1

外部リンク

• 「上昇連鎖条件と最大条件の同値性は従属選択公理と同等ですか？」