主イデアルの上昇連鎖条件

抽象代数学において、上昇連鎖条件は、環の主左イデアル、主右イデアル、または主両側イデアルの半集合（包含によって部分的に順序付けられている）に適用できます。主イデアルの上昇連鎖条件（ ACCPと略記）は、環内に指定された型（左イデアル／右イデアル／両側イデアル）の主イデアルの無限厳密上昇連鎖が存在しない場合に満たされます。言い換えれば、すべての上昇連鎖は最終的に定数になります。

これらの半順序集合にも、対応する降順連鎖条件を適用できますが、これらの環は既に左完全環または右完全環と呼ばれているため、現時点では「DCCP」という用語を使用する必要はありません。（以下の§非可換環を参照してください。）

ネーター環（例えば主イデアル領域）は典型的な例ですが、いくつかの重要な非ネーター環も (ACCP) を満たします。特に、一意の因数分解領域や左完全環または右完全環がこれに該当します。

可換環

ノイザン整域における非零の非単位元は、既約因数分解できることはよく知られている。この証明は、(ACC) ではなく (ACCP) のみに依存するため、(ACCP) を含む任意の整域において、既約因数分解が存在します。(言い換えると、(ACCP) を含む任意の整域は原子です。しかし、( Grams 1974 )で示されているように、その逆は偽です。)このような因数分解は一意ではない可能性があります。因数分解の一意性を確立する通常の方法は、ユークリッドの補題を使用します。この補題では、因数は既約であるだけでなく素数である必要があります。実際、次のような特徴付けがあります。A を整域とします。このとき、以下は同値です。

Aは UFD です。
A は(ACCP) を満たし、Aのすべての既約数は素数です。
Aは(ACCP) を満たすGCD 領域です。

いわゆる永田基準は、(ACCP)を満たす整域Aに対して成り立つ。Sを素元によって生成されるAの乗法的に閉部分集合とする。局所化S ⁻¹AがUFDならば、AもUFDである。^[¹^]（この逆は自明であることに注意。）

整域Aが(ACCP)を満たすのは、多項式環A [ t ]が(ACCP)を満たす場合のみである。^{[ 2 ]} Aが整域でない場合は同様のことが言える。 ^{[ 3 ]}

すべての有限生成イデアルが主である整域（つまりベズー域）が(ACCP)を満たすのは、それが主イデアル域である場合に限る。^{[ 4 ]}

整数定数項を持つすべての有理多項式の環Z + X Q [ X ]は、主イデアルの連鎖に対して(ACCP)を満たさない整数領域（実際にはGCD領域）の例である。

(X)\subset (X/2)\subset (X/4)\subset (X/8),...

終了しません。

非可換環

非可換な場合には、右ACCPと左ACCPを区別することが必要になります。前者は、昇順連鎖条件を満たすためにxRの形のイデアルの半集合のみを必要とし、後者はRxの形のイデアルの半集合のみを検査します。

Hyman Bassの( Bass 1960 )定理は、現在「Bass の定理 P」として知られているが、環Rの主左イデアルに対する下降連鎖条件は、 R が右完全環であることと同値であることを示した。D. Jonah は ( Jonah 1970 ) で、ACCP と完全環の間には左右反転の関係があることを示した。Rが右完全 (右 DCCP を満たす) であればR は左 ACCP を満たし、対称的に、Rが左完全 (左 DCCP を満たす) であれば R は右 ACCP を満たすことが示された。逆は成り立たず、上記の「左」と「右」の切り替えはタイプミスではない。

ACCPがRの右側か左側のどちらで成立するかにかかわらず、Rには非ゼロ直交冪等性の無限集合が存在せず、Rはデデキント有限環であることが示唆される。^{[ 5 ]}

脚注

^永田 1975、補題2.1。
^ギルマー、ロバート (1986)、「可換モノイド環の特性E 」、群群環と半群環 (ヨハネスブルグ、1985)、ノースホランド数学研究会、第126巻、アムステルダム：ノースホランド、pp. 13– 18、ISBN 978-0-08-087237-7、MR 0860048。
^ハインツァー＆ランツ 1994 .
^証明：ベズー整域において、ACCP は有限生成イデアル上の ACC と同値であるが、これはすべてのイデアル上の ACC と同値であることが知られている。したがって、この整域はネーター整域かつベズー整域であり、したがって主イデアル整域である。
^ラム 1999、230–231ページ。

参考文献

バス、ハイマン（1960）、「有限次元と半一次環のホモロジー的一般化」、アメリカ数学会誌、95（3）：466–488、doi：10.1090/s0002-9947-1960-0157984-8、ISSN 0002-9947、MR 0157984
グラムズ、アン（1974）、「原子環と主イデアルの上昇連鎖条件」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、75（3）：321-329、Bibcode：1974PCPS...75..321G、doi：10.1017/s0305004100048532、MR 0340249、S2CID 120558655
ハインツァー, ウィリアム J.; ランツ, デイヴィッド C. (1994)、「多項式環におけるACCP：反例」、アメリカ数学会紀要、121 (3): 975– 977、doi : 10.2307/2160301、ISSN 0002-9939、JSTOR 2160301、MR 1232140
ジョナ、デイヴィッド（1970）「主右イデアルの最小条件を満たす環は、主左イデアルの最大値を満たす」Mathematische Zeitschrift、113（2）：106– 112、doi：10.1007/bf01141096、ISSN 0025-5874、MR 0260779、S2CID 121739821
Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings , Graduate Texts in Mathematics No. 189, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5、MR 1653294
永田正義 (1975)、「いくつかの種類の単純環拡大」(PDF)、ヒューストン数学ジャーナル、1 (1): 131– 136、ISSN 0362-1588、MR 0382248

[FOOTNOTENagata1975Lemma_2.1-1] 永田 1975、補題2.1。

[2] ギルマー、ロバート (1986)、「可換モノイド環の特性E 」、群群環と半群環 (ヨハネスブルグ、1985)、ノースホランド数学研究会、第126巻、アムステルダム：ノースホランド、pp. 13– 18、ISBN 978-0-08-087237-7、MR 0860048。

[FOOTNOTEHeinzerLantz1994-3] ハインツァー＆ランツ 1994 .

[4] 証明：ベズー整域において、ACCP は有限生成イデアル上の ACC と同値であるが、これはすべてのイデアル上の ACC と同値であることが知られている。したがって、この整域はネーター整域かつベズー整域であり、したがって主イデアル整域である。

[FOOTNOTELam1999230–231-5] ラム 1999、230–231ページ。

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