菱形

菱形
2つの異なる方向の菱形
タイプ	四辺形、台形、平行四辺形、凧形
エッジと頂点	4
シュレーフリ記号	{ } + { } {2 α }
コクセター・ディンキン図
対称群	二面角（D 2）、[2]、（*22）、次数4
エリア	${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}}}$ （対角線の積の半分）
プロパティ	凸状、等軸
デュアルポリゴン	矩形

ひし形は正方形を特別な例として持ち、また、ひし形と平行四辺形の特別な例でもあります。

幾何学において、菱形（ひしがた、複数形：rhombiまたはrhombuses）は、正四辺形、すなわち4辺の長さがすべて同じ四辺形です。菱形の別名には、ダイヤモンド、ロゼンジ、カリソンなどがあります。

すべてのひし形は単純多角形（自己交差を持たない）です。ひし形は平行四辺形と凧形（凧形）の特殊なケースです。直角を持つひし形は正方形です。^{[ a ]}正方形でないひし形には、向かい合う2つの鋭角と向かい合う2つの鈍角があります。

語源

菱形の名称はギリシャ語のῥόμβος rhómbosに由来し、回転するもの、例えば牛追い棒やボタン式回転木馬の古代の前身などを意味する。^{[ 2 ]}この語はユークリッドとアルキメデスの両者によって使用されており、彼らはまた、共通の底面を共有する2つの直円錐である双円錐に対して「立体菱形」という用語を使用した。^{[ 3 ]}平面菱形は双円錐の断面である。

ダイヤモンドという名前は、八面体のダイヤモンド宝石の形に由来しています。トランプのダイヤモンドのマークもこの形にちなんで名付けられており、もともとはフランス語で「正方形」を意味する「 carreaux」と呼ばれていました。^{[ 4 ]}ポリオミノに似た形状ですが正三角形で構成されたポリアモンドにおいて、ダイヤモンドは角度が60度のひし形です。

ロゼンジの語源は定かではありません。ラウジナジと呼ばれるアーモンド菓子の形、あるいは墓石の形に由来すると考えられています。ロゼンジは、45度の角度を持つひし形を指すことが多いです。

カリソンはひし形をしたフランスのお菓子の一種です。^{[ 5 ]}

特徴づけ

ダイヤモンド型の構図のICM写真。

単純四辺形（自己交差しない四辺形）が菱形となるのは、次のいずれかに該当する場合のみである。 ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• 対角線が内角を二等分する平行四辺形
• 少なくとも2つの連続する辺の長さが等しい平行四辺形
• 対角線が垂直な平行四辺形（直交対角平行四辺形）
• 4辺の長さが等しい四辺形（定義上）
• 対角線が垂直で互いに二等分する四辺形
• 各対角線が2つの反対の内角を二等分する四辺形
• 四角形ABCDの平面上に点Pがあり、4つの三角形ABP、BCP、CDP、DAPがすべて合同である^{[ 8 ]}
• 三角形ABC、BCD、CDA、DABの内接円が共通点を持つ四辺形ABCD ^{[ 9 ]}

基本的なプロパティ

すべての菱形は、向かい合う頂点の組を結ぶ2本の対角線と、2本の平行な辺を持ちます。合同な三角形を用いることで、菱形がこれらの対角線それぞれに関して対称であることを証明できます。したがって、任意の菱形は以下の性質を持ちます。

• ひし形の対角の大きさは等しい。
• ひし形の 2 つの対角線は直交します。つまり、ひし形は直角対角四辺形です。
• 対角線は向かい合う角を二等分します。

最初の性質は、すべての菱形が平行四辺形であることを意味します。したがって、菱形は平行四辺形のすべての性質を備えています。例えば、対辺は平行であり、隣接する角は補角であり、2つの対角線は互いに二等分し、中点を通る任意の直線は面積を二等分し、辺の平方の和は対角線の平方の和に等しくなります（平行四辺形の法則）。したがって、すべての菱形において、共通辺をa、対角線をpとqと表記すると、

${\displaystyle \displaystyle 4a^{2}=p^{2}+q^{2}.}$

すべての平行四辺形が菱形であるとは限りませんが、対角線が直交する平行四辺形（2つ目の性質）はすべて菱形です。一般に、対角線が直交し、そのうちの1つが対称軸である四辺形は凧形です。すべての菱形は凧形であり、凧形でありながら平行四辺形でもある四辺形は菱形です。

菱形は接線四辺形である。^{[ 10 ]}つまり、菱形には4辺すべてに接する 内接円がある。

ひし形。黒い点で示された各角は直角です。高さhは、隣接していない2辺間の垂線距離で、内接する円の直径に等しくなります。長さpとqの対角線は、赤い点線で示されています。

対角線

対角線p = ACとq = BDの長さは、菱形の辺aと1つの頂点角αで次のよう に表すことができます。

${\displaystyle p=a{\sqrt {2+2\cos {\alpha }}}}$

そして

${\displaystyle q=a{\sqrt {2-2\cos {\alpha }}}.}$

これらの式は余弦定理の直接的な結果です。

内半径

rで表される内接円の半径（菱形に内接する円の半径）は、対角線pとqを使って次のように表すことができます^{[ 10 ]}

${\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}},}$

あるいは辺の長さaと任意の頂角αまたはβを用いて次のように表される。

${\displaystyle r={\frac {a\sin \alpha}{2}}={\frac {a\sin \beta}{2}}.}$

エリア

すべての平行四辺形と同様に、ひし形の面積Kは底辺と高さ( h )の積です。底辺とは、単に辺の長さa のことです。

${\displaystyle K=a\cdot h.}$

面積は、底 の二乗に任意の角度の正弦を 掛けて表すこともできます。

${\displaystyle K=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}$

または高さと頂角の観点から：

${\displaystyle K={\frac {h^{2}}{\sin \alpha }},}$

または対角線p、qの積の半分として：

${\displaystyle K={\frac {p\cdot q}{2}},}$

または、半周と菱形に内接する円の半径（内接円半径）を 掛け合わせた値として表されます。

${\displaystyle K=2a\cdot r.}$

もう一つの方法は、平行四辺形の場合と共通で、隣接する 2 辺をベクトルとして考え、双ベクトルを形成することです。この場合、面積は双ベクトルの大きさ (2 つのベクトルのベクトル積の大きさ) となり、これが2 つのベクトルの直交座標の行列式K = x ₁ y ₂ – x ₂ y ₁となります。

二重特性

菱形の双対多角形は長方形である：^{[ 11 ]}

• ひし形はすべての辺が等しく、長方形はすべての角度が等しいです。
• ひし形は対角が等しく、長方形は対辺が等しいです。
• 菱形には内接円があり、長方形には外接円があります。
• ひし形は、向かい合う頂点の各ペアを通る対称軸を持ちますが、長方形は向かい合う辺の各ペアを通る対称軸を持ちます。
• ひし形の対角線は等しい角度で交差しますが、長方形の対角線は長さが等しくなります。
• ひし形の辺の中点を結んでできる図形は長方形であり、その逆もまた同様である。

デカルト方程式

原点を中心とし、対角線が軸上にある菱形の辺は、次の式を満たすすべての点（x、y） から構成される。

${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|\!=1.}$

頂点は と にあります。これは、指数が 1 である超楕円の特殊なケースです。 ${\displaystyle (\pm a,0)}$ ${\displaystyle (0,\pm b).}$

その他の特性

• 5 つの 2D格子タイプのうちの 1 つは、中心長方形格子とも呼ばれる菱形格子です。
• Rhombi は、60° の菱形の rhombille タイリングを含む 3 つの異なる方法で、2D 平面を端から端まで周期的にタイリングできます。

位相的な正方形のタイルとして		30～60度のロンビルタイル として

• 菱形の三次元類似物としては、回転面としての両錐体と双円錐があります。

多面体の面のように

菱形を持つ凸多面体には、超立方体の射影外殻として見ることができる菱形ゾノヘドロン無限集合が含まれます。

• 菱面体（菱形六面体とも呼ばれる）は、直方体（直方体とも呼ばれる）に似た三次元図形ですが、3 組の平行面が長方形ではなく最大 3 種類の菱形になっています。
• 菱形十二面体は、 12 個の合同な菱形を面として持つ凸多面体です。
• 菱形三十面体は、黄金菱形（対角線が黄金比になっている菱形）を30面持つ凸多面体です。
• 大菱形三十面体は、30 個の交差する菱形の面を持つ非凸等面体、等軸多面体です。
• 菱形六十面体は、菱形三十面体の星型です。非凸で、60個の黄金菱形面を持ち、正二十面体対称性を有します。
• 菱形十面体は、90個の菱形面から構成される多面体で、各頂点には3個、5個、または6個の菱形が接しています。幅広の菱形が60個、細長い菱形が30個あります。
• 菱形二十面体は、20個の菱形面から構成される多面体で、各頂点は3個、4個、または5個の菱形面と接しています。極軸上に10面、赤道に沿って10面あります。

すべて菱形の面を持つ多面体の例

等面体		等面体黄金菱形		2面体	3面体
三角台形	菱形十二面体	菱形三十面体	菱形二十面体	菱形十面体	菱面体

参照

• 人体解剖学におけるミカエリスの菱形
• 菱形、平行六面体または平行四辺形のいずれかで、菱形でも長方形でもない。
• 菱形アンテナ
• 菱形チェス
• コロンビアの北サンタンデール県の旗。菱形の4つの星が描かれている。
• 超楕円（角が丸い菱形を含む）

注記

1. ユークリッドのオリジナルの定義や一部の英語辞書の菱形の定義では正方形は除外されているが、現代の数学者は正方形を含む定義を好む。 ^{[ 1 ]}

参考文献

1. De Villiers, Michael (1994年2月). 「四辺形の階層的分類の役割と機能」. 『数学学習のために』 . 14 (1): 11–18 . JSTOR  40248098 .
2. ῥόμβος Archived 2013-11-08 at the Wayback Machine、Henry George Liddell、Robert Scott、『A Greek-English Lexicon』、Perseus に掲載。
   ホーレン、ジェラルド・ヴァン（1951年）「Choes and Anthesteria」ブリルアーカイブ。 2022年8月22日閲覧。
   参照: ρέμβω Archived 2013-11-08 at the Wayback Machine、Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon、Perseus
3. 「菱形の起源」 2015年4月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2005年1月25日閲覧。
4. マレー、ジェームズ AH編 (1897). 「ダイヤモンド」 . 『歴史原理に関する新英語辞典』. 第3巻、第1部. オックスフォード: クラレンドン・プレス. pp.  314– 315.
5. アルシーナ、クラウディ、ネルセン、ロジャー・B.（2015年12月31日）『数学的宇宙の旅：21世紀の立体幾何学』アメリカ数学会ISBN 9781614442165。
6. Zalman UsiskinとJennifer Griffin、「四辺形の分類。定義の研究 」、Information Age Publishing、2008年、55-56頁。
7. Owen Byer、Felix Lazebnik、 Deirdre Smeltzer、「ユークリッド幾何学の方法」、Wayback Machineで2019年9月1日にアーカイブ、アメリカ数学会、2010年、53ページ。
8. パリ・パンフィロス (2016)、「菱形の特徴づけ」、フォーラム幾何学論文集16、pp. 331–336、 [1] 2016年10月23日アーカイブ、 Wayback Machine
9. 「IMOmath、「第26回ブラジル数学オリンピック2004」」（PDF）。2016年10月18日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） 。 2020年1月6日閲覧。
10. Weisstein, Eric W. 「Rhombus」 . MathWorld .
11. de Villiers, Michael、「等角環状多角形と等辺外接多角形」、 Mathematical Gazette 95、2011年3月、102-107。

外部リンク

• 平行四辺形とひし形 – アニメーションコース（作図、円周、面積）
• 菱形の定義、インタラクティブ アプレットによる Math Open Reference。
• 菱形の面積、数学オープンリファレンス- インタラクティブアプレットを使用して、菱形の面積を計算する3つの異なる方法を示します。