ディクソン多項式

数学において、ディクソン多項式（D _n ( x , α )と表記される）は、 LE Dickson  ( 1897 )によって導入された多項式列を形成する。これは、Brewer ( 1961 )によるブリューワー和の研究において再発見され、稀ではあるが、ブリューワー多項式と呼ばれることもある。

複素数に対して、ディクソン多項式は変数を変更したチェビシェフ多項式と本質的に等価であり、実際、ディクソン多項式はチェビシェフ多項式と呼ばれることもあります。

ディクソン多項式は一般的に有限体上で研究されますが、その場合、チェビシェフ多項式と同値ではない場合があります。ディクソン多項式が注目される主な理由の一つは、αを固定した場合、有限体の置換として作用する多項式である置換多項式の例を数多く与えることです。

意味

第一種

整数n > 0およびαが単位元を 持つ可換環R（有限体F _q = GF( q )として選ばれることが多い）において、 R上のディクソン多項式（第一種）は^{[ 1 ]}で与えられる。

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha)=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha)^{i}x^{n-2i}\,.}$

最初のいくつかのディクソン多項式は

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha)&=x\\D_{2}(x,\alpha)&=x^{2}-2\alpha \\D_{3}(x,\alpha)&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha)&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^{2}\\D_{5}(x,\alpha)&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

これらはn ≥ 2の再帰関係によっても生成される。

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha)=xD_{n-1}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2}(x,\alpha)\,,}$

初期条件はD ₀ ( x , α ) = 2およびD ₁ ( x , α ) = xです。

係数はOEISの複数の箇所で与えられている^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}が、最初の2つの項にはわずかな違いがある。

第二種

第二種ディクソン多項式E _n ( x , α )は次のように定義される。

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.}$

これらはあまり研究されておらず、第一種ディクソン多項式と似た性質を持つ。第二種ディクソン多項式の最初のいくつかは

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{aligned}}}$

これらはn ≥ 2の再帰関係によっても生成される。

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

初期条件はE ₀ ( x , α ) = 1、E ₁ ( x , α ) = xです。

係数はOEISにも記載されています。^{[ 6 ] [ 7 ]}

プロパティ

D _nは関数方程式を満たす唯一のモニック多項式である 。

${\displaystyle D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}\right)^{n},}$

ここ^でα∈Fqで_ありu ≠ 0∈Fq2_である。^{[ ₈ ]}​

これらはまた、構成規則も満たしている。^{[ 8 ]}

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}$

E nも関数方程式を_満たす^{[ 8 ]}

${\displaystyle E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha }{y}}\right)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,}$

y ≠ 0、y ² ≠ α、α ∈ F _q、y ∈ F _{q ²}の場合。

ディクソン多項式y = D _nは常微分方程式の解である。

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,}$

ディクソン多項式y = E _nは微分方程式の解である 。

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.}$

それらの通常の生成関数は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.\end{aligned}}}$

他の多項式へのリンク

上記の再帰関係により、ディクソン多項式はルーカス列となる。具体的には、α = −1の場合、第一種ディクソン多項式はフィボナッチ多項式であり、第二種ディクソン多項式はルーカス多項式となる。

上記の合成規則により、αがべき等である場合、第一種ディクソン多項式の合成は可換である。

• パラメータα = 0を持つディクソン多項式は単項式を与えます。

${\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,.}$

• パラメータα = 1のディクソン多項式は、第一種チェビシェフ多項式T _n ( x ) = cos ( n arccos x )と次式で関連付けられる^{[ 1 ]}

${\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.}$

• ディクソン多項式D _n ( x , α ) は追加の冪等性を持つ環上で定義できるため、D _n ( x , α )はチェビシェフ多項式とは関係がないことがよくあります。

順列多項式とディクソン多項式

置換多項式（与えられた有限体に対して）は、有限体の元の置換として機能する多項式です。

ディクソン多項式Dn ( x ,α) （αを固定したxの関数として考えると）は_、 nがq2−1と^互いに素である場合に限り、q元の体に対する置換多項式である。^{[ 9 ]}

フリード (1970) は、無限個の素体に対する置換多項式である任意の整多項式は、ディクソン多項式と線型多項式（有理係数）の合成であることを証明した。この主張はシューア予想として知られるようになったが、実際にはシューアはこの予想を立てていなかった。フリードの論文には多くの誤りが含まれていたため、ターンワルド (1995)によって訂正された説明が示され、その後ミュラー (1997) はシューアの議論に沿ったより簡潔な証明を示した。

さらに、ミュラー（1997）は、有限体F _q上の任意の置換多項式において、次数がqと互いに素であり、かつqより小さいことを証明した^{。1/4⁠ は}ディクソン多項式と線形多項式の組み合わせでなければなりません。

一般化

有限体上の両種のディクソン多項式は、 （k + 1）種ディクソン多項式と呼ばれる一般化ディクソン多項式の列の最初の要素と考えることができる。 ^{[ 10 ]}具体的には、α ≠ 0 ∈ F _q （ q = p ^{e ）}で、ある素数pと任意の整数n ≥ 0かつ0 ≤ k < pに対して、F _q上の（k + 1）種n次ディクソン多項式（ D _{n , k} ( x , α ) ）は次のように定義される^{[ 11 ]}

${\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}$

そして

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n-ki}{n-i}}{\binom {n-i}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α )かつD _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α )であり、この定義はディクソンの元の多項式を統合し一般化していることを示しています。

ディクソン多項式の重要な性質は一般化できる：^{[ 12 ]}

• 再帰関係：n ≥ 2の場合、

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,,}$

初期条件はD _{0, k} ( x , α ) = 2 − kおよびD _{1, k} ( x , α ) = xです。

• 関数方程式：

${\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n}}{y^{n}}}+\left({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\right){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n-1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

ここでy ≠ 0、y ² ≠ αです。

• 生成関数:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,.}$

注記

1. リドルとニーダーライター、1983 年、p. 355
2. OEIS A132460を参照
3. OEIS A213234を参照
4. OEIS A113279を参照
5. OEIS A034807を参照。こちらは記号はないが、多くの参照がある。
6. OEIS A115139を参照
7. OEIS A011973を参照。これも標識はないが、多くの参照がある。
8. マレン＆パナリオ 2013、p. 283
9. Lidl & Niederreiter 1983、p. 356
10. 王, Q.; ユカス, JL (2012)、「有限体上のディクソン多項式」、有限体とその応用、18 (4): 814– 831、doi : 10.1016/j.ffa.2012.02.001
11. マレン & パナリオ 2013、p. 287
12. マレン & パナリオ 2013、p. 288

参考文献

• Brewer, BW (1961)、「ある特性和について」、アメリカ数学会誌、99 (2): 241– 245、doi : 10.2307/1993392、ISSN  0002-9947、JSTOR  1993392、MR  0120202、Zbl  0103.03205
• Dickson, LE (1897). 「素数の文字の冪乗における置換の解析的表現と線型群I, IIに関する考察」Ann. of Math . 11 (1/6). The Annals of Mathematics: 65–120 , 161–183 . doi : 10.2307/1967217 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4zh9cw1v . ISSN  0003-486X . JFM  28.0135.03 . JSTOR  1967217 .
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• リドル、ルドルフ；ニーダーライター、ハラルド（1983年）有限体．数学とその応用百科事典第20巻（第1版）．アディソン・ウェスレー．ISBN 978-0-201-13519-0. Zbl  0866.11069 .
• マレン、ゲイリー・L. (2001) [1994]、「ディクソン多項式」、数学百科事典、EMSプレス
• マレン、ゲイリー・L.; パナリオ、ダニエル (2013)、『有限体ハンドブック』、CRC Press、ISBN 978-1-4398-7378-6
• ミュラー、ペーター (1997). 「シュール予想のヴァイル境界自由証明」 .有限体とその応用. 3 : 25–32 . doi : 10.1006/ffta.1996.0170 . Zbl  0904.11040 .
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