フィボナッチ多項式

数学において、フィボナッチ多項式はフィボナッチ数列の一般化とみなせる多項式列である。同様にルーカス数列から生成される多項式はルーカス多項式と呼ばれる。

意味

これらのフィボナッチ多項式は再帰関係によって定義される：[ 1 ]

Fn（×）＝{0、もし n＝01、もし n＝1×Fn−1（×）+Fn−2（×）、もし n≥2{\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n=0\\1,&{\mbox{if }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2\end{cases}}}

ルーカス多項式は、異なる初期値で同じ再発式を使用する：[ 2 ]

Ln（×）＝{2、もし n＝0×、もし n＝1×Ln−1（×）+Ln−2（×）、もし n≥2.{\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{if }}n=0\\x,&{\mbox{if }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{if }}n\geq 2.\end{cases}}}

負のインデックスについては[ 3 ]で定義できる。

F−n（×）＝（−1）n−1Fn（×）、{\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),}
L−n（×）＝（−1）nLn（×）。{\displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}

フィボナッチ多項式は、およびを伴う直交多項式のシーケンスを形成します。 あn＝Cn＝1{\displaystyle A_{n}=C_{n}=1}Bn＝0{\displaystyle B_{n}=0}

例

最初のいくつかのフィボナッチ多項式は次のとおりです。

F0（×）＝0{\displaystyle F_{0}(x)=0\,}
F1（×）＝1{\displaystyle F_{1}(x)=1\,}
F2（×）＝×{\displaystyle F_{2}(x)=x\,}
F3（×）＝×2+1{\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}
F4（×）＝×3+2×{\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}
F5（×）＝×4+3×2+1{\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}
F6（×）＝×5+4×3+3×{\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}

最初のいくつかのルーカス多項式は次のとおりです。

L0（×）＝2{\displaystyle L_{0}(x)=2\,}
L1（×）＝×{\displaystyle L_{1}(x)=x\,}
L2（×）＝×2+2{\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}
L3（×）＝×3+3×{\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}
L4（×）＝×4+4×2+2{\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}
L5（×）＝×5+5×3+5×{\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}
L6（×）＝×6+6×4+9×2+2.{\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}

プロパティ

  • F nの次数はn − 1であり、 L n の次数はnです。
  • フィボナッチ数とルーカス数は、 x  = 1 で多項式を評価することによって復元されます。ペル数は、F n をx = 2で評価することによって復元されます 。
  • これらの数列の通常の生成関数は以下の通りである: [ 4 ]
    ∑n＝0∞Fn（×）tn＝t1−×t−t2{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}
    ∑n＝0∞Ln（×）tn＝2−×t1−×t−t2。{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}
  • 多項式はルーカス列で次のよう に表すことができる。
    Fn（×）＝あなたn（×、−1）、{\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}
    Ln（×）＝Vn（×、−1）。{\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}
  • これらはチェビシェフ多項式 で 表現され、Tn（×）{\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(x)}あなたn（×）{\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}(x)}
    Fn（×）＝私n−1⋅あなたn−1（−私×2）、{\displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}}_{n-1}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}
    Ln（×）＝2⋅私n⋅Tn（−私×2）、{\displaystyle L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal {T}}_{n}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}
ここで、虚数単位は です。私{\displaystyle i}

アイデンティティ

ルーカス数列の特別なケースとして、フィボナッチ多項式は次のようないくつかの恒等式を満たす。[ 3 ]

Fメートル+n（×）＝Fメートル+1（×）Fn（×）+Fメートル（×）Fn−1（×）{\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}
Lメートル+n（×）＝Lメートル（×）Ln（×）−（−1）nLメートル−n（×）{\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{mn}(x)\,}
Fn+1（×）Fn−1（×）−Fn（×）2＝（−1）n{\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}
F2n（×）＝Fn（×）Ln（×）。{\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}

ビネの式に似た閉じた形式の表現は次の通りである: [ 3 ]

Fn（×）＝α（×）n−β（×）nα（×）−β（×）、Ln（×）＝α（×）n+β（×）n、{\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}

どこ

α（×）＝×+×2+42、β（×）＝×−×2+42{\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}

は、（ tにおける） 解である。

t2−×t−1＝0。{\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}

ルーカス多項式n > 0の場合、

Ln（×）＝∑け＝0⌊n/2⌋nn−け（n−けけ）×n−2け。{\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{nk}}{\binom {nk}{k}}x^{n-2k}.}

フィボナッチ多項式と標準基底多項式の関係は[ 5 ]で与えられる。

×n＝Fn+1（×）+∑け＝1⌊n/2⌋（−1）け[（nけ）−（nけ−1）]Fn+1−2け（×）。{\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x)。}

例えば、

×4＝F5（×）−3F3（×）+2F1（×）{\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}
×5＝F6（×）−4F4（×）+5F2（×）{\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,}
×6＝F7（×）−5F5（×）+9F3（×）−5F1（×）{\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}
×7＝F8（×）−6F6（×）+14F4（×）−14F2（×）{\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}

組み合わせ解釈

フィボナッチ多項式の係数は、左揃えのパスカルの三角形から対角線に沿って読み取ることができます（赤で示されています）。係数の和がフィボナッチ数です。

F ( n , k ) がF n ( x )におけるx kの係数である場合、すなわち

Fn(x)=∑k=0nF(n,k)xk,{\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}

すると、F ( n , k ) は、 n −1 × 1 の長方形を 2 × 1 のドミノと 1 × 1 の正方形で敷き詰め、ちょうどk個の正方形が使用される方法の数です。 [ 1 ]同様に、F ( n , k ) は、 n −1 を1 と 2 のみを含む順序付き和として書き、1 がちょうどk回使用される方法の数です。たとえば、F(6,3)=4 と 5 は、1 と 2 のみを含む和で 1 が 3 回使用される 4 通りの方法、1+1+1+2、1+1+2+1、1+2+1+1、2+1+1+1 で表すことができます。このような和で 1 と 2 が両方使用される回数を数えると、次のことがわかります。 F(n,k)={(12(n+k−1)k)if n≢k(mod2),0else.{\displaystyle F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{if }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{cases}}}

これにより、右に示すように パスカルの三角形から係数を読み取る方法が提供されます。

参考文献

  1. ^ a bベンジャミン＆クイン p. 141
  2. ^ベンジャミン＆クイン p. 142
  3. ^ a b cシュプリンガー
  4. ^ワイスタイン、エリック W. 「フィボナッチ多項式」。マスワールド。
  5. ^証明は、 Algebra Solutions Packet (著者なし)の 5 ページ目から始まります。

さらに読む

  • Hoggatt, VE ; Bicknell, Marjorie (1973). 「フィボナッチ多項式の根」. Fibonacci Quarterly . 11 : 271–274 . ISSN  0015-0517 . MR  0332645 .
  • Hoggatt, VE; Long, Calvin T. (1974). 「一般化フィボナッチ多項式の割り切れる性質」. Fibonacci Quarterly . 12 : 113. MR  0352034 .
  • リッチ、パオロ・エミリオ (1995)。 「一般化されたルーカス多項式とフィボナッチ多項式」。パルマ大学マテマティカ大学。 V. Ser. 4 : 137–146。MR 1395332 。 ​​
  • Yuan, Yi; Zhang, Wenpeng (2002). 「フィボナッチ多項式に関するいくつかの恒等式」. Fibonacci Quarterly . 40 (4): 314. MR  1920571 .
  • Cigler, Johann (2003). 「q-フィボナッチ多項式」.フィボナッチ・クォータリー(41): 31–40 . MR  1962279 .
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