差分エンジン

ロンドン科学博物館の階差機関。バベッジの設計に基づいて作られた最初の機関。すべての列で同じ精度を持ちますが、多項式を計算する場合、高次の列の精度は低くなることがあります。

差分機関は、多項式関数を表にするために設計された自動機械式計算機です。1820年代にチャールズ・バベッジによって設計されました。差分機関という名称は、少数の多項式係数を用いて関数を補間または表にする方法である有限差分法に由来しています。工学、科学、航海術において用いられる最も一般的な数学関数の一部は、対数関数と三角関数で構成されており、これらは多項式で近似できるため、差分機関は多くの有用な表を計算することができます。

歴史

ロンドン科学博物館の階差機関のクローズアップ。数字ホイールと列間のセクターギアの一部が写っています。左側のセクターギアは、ダブルハイトの歯が非常にはっきりと見えます。中央右のセクターギアは機関の裏側を向いていますが、シングルハイトの歯がはっきりと見えます。ホイールが左右反転しており、左から右へカウントアップ、または左から右へカウントダウンしていることに注目してください。また、「6」と「7」の間にある金属製のタブにも注目してください。このタブは、加算ステップ（ステップ1とステップ3）で「9」が前面の「0」に渡る際に、背面のキャリーレバーを作動させます。

数学関数用の機械式計算機の概念は紀元前 2 世紀のアンティキティラ島の機械にまで遡ることができますが、近代初期の例は17 世紀の パスカルとライプニッツに起因します。

1784年、ヘッセン軍の技術者であったJHミュラーは加算機を考案・製作し、1786年に出版された本の中で差分機の基本原理を説明した（差分機に関する最初の文献は1784年のものである）。しかし、彼はこのアイデアを進めるための資金を得ることができなかった。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

チャールズ・バベッジの階差機関

チャールズ・バベッジは1819年頃に小型の階差機関の製作を開始し^{[ 4 ]}、1822年までに完成させた（階差機関0）。^{[ 5 ]}彼は1822年6月14日、王立天文学会に提出した論文「天文表および数学表の計算への機械の応用に関する覚書」の中でこの発明を発表した。^{[ 6 ]}この機械は10進法を採用し、ハンドルを回すことで駆動する。イギリス政府は階差機関の製作に興味を示した。表の作成には時間と費用がかかり、階差機関によって作業がより経済的になることを期待したからである。^{[ 7 ]}

1823年、イギリス政府はバベッジにプロジェクト開始資金として1700ポンドを与えた。バベッジの設計は実現可能だったが、当時の金属加工技術では、要求される精度と量の部品を経済的に製造することはできなかった。そのため、政府の当初の見積もりよりも実装費用がはるかに高くなり、成功の見込みも薄かった。1830年の階差機関1号の設計図によると、部品数は約25,000個、重量は4トン、^{[ 8 ]} 20桁の数字を6階差分で演算することになっていた。1832年、バベッジとジョセフ・クレメントは小型の実用モデル（設計の7分の1）を製作し、^{[ 5 ]} 6桁の数字を2階差分で演算した。^{[ 9 ] [ 10 ]}バイロン夫人は1833年に実際に動作するプロトタイプを見た時のことを次のように述べている。「先週の月曜日、私たちは二人で思考機械（と思われる）を見に行きました。それはいくつかの数を2乗、3乗し、二次方程式の根を解きました。」^{[ 11 ]}バイロン夫人の娘エイダ・ラブレスは後にこの差分機関に魅了され、ベルヌーイ方程式を解くための最初のコンピュータプログラムの作成に取り組むことになる。より大きな機関の開発は1833年に中断された。

1842年に政府がこの計画を断念するまでに、^{[ 10 ] [ 12 ]}バベッジは開発に1万7000ポンド以上を費やしていたが、それでも実用的なエンジンを完成させるには至らなかった。政府は機械の出力（経済的に生産された表）のみを評価し、機械自体の開発（予測不可能なコスト）には目を向けなかった。バベッジはこの窮状を認めようとしなかった。^{[ 7 ]}一方、バベッジの関心は解析機関の開発に移り、差分機関が最終的に成功するという政府の自信をさらに損なわせることとなった。解析機関としての概念を改良することで、バベッジは差分機関の概念を時代遅れにし、それを実装するプロジェクトは政府から見て完全な失敗に終わった。^{[ 7 ]}

未完成の階差機関1号は、1862年にロンドンのサウスケンジントンで開催された万国博覧会で一般公開されました。^{[ 13 ] [ 14 ]}

バベッジはその後、より汎用的な解析機関を設計したが、後に改良された「差分機関2号」（31桁の数字と7階差分）を設計した^{[ 9 ]。} 1846年から1849年の間にバベッジは、解析機関用に開発されたアイデアを利用して、新しい差分機関をより少ない部品でより速く計算することができた。^{[ 15 ] [ 16 ]}

シューツ計算エンジン

ロンドン科学博物館所蔵のゲオルク・ショイツの3番目の階差機関

1834年、バベッジの階差機関に着想を得たスウェーデンの発明家、ペル・ゲオルク・ショイツは、いくつかの実験モデルを製作しました。1837年、彼の息子エドヴァルドは金属製の実用モデルを製作することを提案し、1840年には5桁の数値と1階差分を含む級数を計算できる計算部を完成させました。これは後に3階差分まで拡張されました（1842年）。1843年には印刷部を追加し、モデルは完成しました。

1851年、政府の資金援助を受けて、より大型で改良された（15桁の数字と4階差分）機械の製造が始まり、1853年に完成した。この機械は1855年のパリ万国博覧会で実演され、 1856年にニューヨーク州アルバニーのダドリー天文台に売却された。1857年に納品され、販売された最初の印刷計算機となった。^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]} 1857年、英国政府は次のショイツの差分計算機を発注し、1859年に製作された。^{[ 20 ] [ 21 ]}基本的な構造は以前のものと同じで、重さは約10  cwt（1,100 ポンド、510  kg）だった。^{[ 19 ]}

その他

マルティン・ヴィバーグはシェウツの機械の構造を改良した（ 1859年頃、彼の機械はシェウツの機械と同じ30桁の6次演算能力を持つ）が、彼の装置は印刷された表（1860年に利息表、 1875年に対数表）の作成と出版にのみ使用された。^{[ 22 ]}

1862年頃、ロンドンのアルフレッド・ディーコンは小型の差分機関（20桁の数字と3階差分）を製作した。^{[ 17 ] [ 23 ]}

アメリカ人のジョージ・B・グラントは1869年、バベッジとシェウツ（シェンツ）の研究を知らずに計算機の開発に着手した。1年後（1870年）、彼は階差機関について学び、自ら計算機を設計し、1871年にその製作について記述した。1874年、ボストン木曜クラブは大型模型の製作資金を集め、1876年に完成した。この模型は精度を高めるために拡張可能で、重量は約2,000ポンド（910kg）であった。^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}

クリステル・ハマンは1909年に「バウシンガーとペータースの表」（「小数点以下8桁の対数三角関数表」）用の機械（16桁の数字と2階差分）を製作しました。この表は1910年にライプツィヒで初めて出版されました。重量は約40キログラム（88ポンド）でした。^{[ 23 ] [ 26 ] [ 27 ]}

バローズ社は1912年頃、航海暦局向けに2階差分エンジンとして使用される機械を製作した。^{[ 28 ] : 451 [ 29 ]}これは後に1929年にバローズクラス11（13桁の数字と2階差分、または11桁の数字と[少なくとも最大で]5階差分）に置き換えられた。^{[ 30 ]}

アレクサンダー・ジョン・トンプソンは1927年頃、対数表「Logarithmetica britannica」用の積分・差分計算機（13桁の数値と5階差分）を製作した。この計算機は、改造された4台のTriumphator計算機で構成されていた。^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

レスリー・コムリーは1928年にブルンスビガ・デュプラ計算機を2階（15桁）の差分エンジンとして使用する方法を説明した。 ^{[ 28 ]}また、1931年にはナショナル・アカウンティング・マシン・クラス3000を6階の差分エンジンとして使用できることも指摘した。^{[ 23 ] : 137–138}

2台の稼働可能な第2階差機関の建設

1980年代、オーストラリアのシドニー大学の准教授アラン・G・ブロムリーは、ロンドンの科学博物館図書館でバベッジの差分機関と解析機関の原図を研究した。 ^{[ 34 ]}この研究により、科学博物館は1985年から1991年にかけて、当時のコンピューター学芸員ドロン・スウェイド の指揮の下、実際に動作する差分機関2号の計算セクションを製作した。これは、1991年のバベッジ生誕200周年を祝うためだった。2002年には、バベッジが差分機関用に当初設計したプリンターも完成した。 ^{[ 35 ]}オリジナルの設計図をエンジニアリングメーカーが使用できるように変換した際に、バベッジの設計にいくつかの小さな誤りが明らかになり（おそらく設計図が盗難された場合の保護策として導入された）、^{[ 36 ]}修正する必要があった。階差機関とプリンターは19世紀の技術で実現可能な許容誤差内で製造され、バベッジの設計がジョージ王朝時代の工学技術を用いて動作可能であったかどうかという長年の議論に決着をつけた。この機械は8,000個の部品で構成され、重量は約5トンである。^{[ 37 ]}

プリンターの主な目的は、印刷機で使用するための定型版を作成することであり、柔らかい石膏に活字を押し付けて長い型を作ることによってこれを行います。バベッジは、以前の表の多くのエラーが人間の計算ミスではなく、手作業による植字工程でのミスから生じたことを認識していたため、エンジンの結果を大量印刷に直接伝えることを意図していました。^{[ 7 ]}プリンターの紙の出力は、主にエンジンの性能をチェックする手段です。

ネイサン・ミアボルドは、科学博物館の差分エンジンの出力機構の建設に資金を提供したほか、2台目の完全な差分エンジン2号の建設を委託し、2008年5月から2016年1月までカリフォルニア州マウンテンビューのコンピュータ歴史博物館に展示された。 ^{[ 37 ] [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}その後、シアトルのインテレクチュアル・ベンチャーズに移管され、メインロビーのすぐ外で展示されている。^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ]}

手術

カリフォルニア州マウンテンビューのコンピュータ歴史博物館にある、完全に動作する差分エンジン

マウンテンビューマシンの稼働

差分エンジンは、 1からNまでの番号が付けられた複数の列で構成されています。マシンは各列に1つの小数を格納できます。マシンは、列n  + 1の値を列nに加算して、新しいnの値を生成することしかできません。列Nには定数しか格納できず、列1には現在の反復における計算値が表示されます（場合によっては印刷もされます） 。

エンジンは、列に初期値を設定することでプログラムされます。列1は計算開始時の多項式の値に設定されます。列2は、Xの同じ値における多項式の1次導関数および高次導関数から導出された値に設定されます。列3からNまでの各列は、多項式の1次導関数および高次導関数から導出された値に設定されます。 ^{[ 44 ]}${\displaystyle (n-1)}$

タイミング

バベッジ設計では、主軸が1回転するごとに1回の反復（つまり、加算と桁上げの演算の1セット）が実行される。奇数列と偶数列は1サイクルで交互に加算を実行する。したがって、列の演算シーケンスは以下のようになる。^{[ 44 ]}${\displaystyle n}$

1. 列から値を受け取ってカウントアップする（加算ステップ）${\displaystyle n+1}$
2. カウントアップした値に対して繰り上がり伝播を実行する
3. ゼロまでカウントダウンし、列に追加します${\displaystyle n-1}$
4. カウントダウンした値を元の値にリセットします

手順 1、2、3、4 は奇数列ごとに発生し、手順 3、4、1、2 は偶数列ごとに発生します。

バベッジの当初の設計では、クランクが主軸に直接取り付けられていましたが、後に、機械をクランクするために必要な力が人間が快適に扱えるには大きすぎることが判明しました。そのため、実際に製作された2つのモデルでは、クランクに4:1の減速ギアが組み込まれ、1サイクルを完了するにはクランクを4回転させる必要がありました。

手順

各反復処理は新たな結果を生み出し、下図の右端に示されているハンドルを4回転させる4つのステップで完了します。4つのステップは以下のとおりです。

1. 偶数列（2、4、6、8）の値は、奇数列（1、3、5、7）の値に同時に加算されます。内部のスイープアームが各偶数列を回転させ、各ホイールの数字が0までカウントダウンします。ホイールが0になると、その値は奇数列と偶数列の間にあるセクターギアに転送されます。これらの値は奇数列に転送され、奇数列の値がカウントアップします。奇数列の値が「9」から「0」に変わると、キャリーレバーが作動します。
2. 奇数列では、アクティブ状態のキャリーレバーによって隣接する桁が1増加します。このキャリー操作は順次適用され、キャリーが伝播します。一方、偶数列は元の値に戻ります。
3. これはステップ1と似ていますが、奇数列（3、5、7）を偶数列（2、4、6）に加算する点が異なります。また、1列目の値はセクターギアによってエンジンの左端にある印刷機構に転送されます。偶数列の値が「9」から「0」に変化すると、キャリーレバーが作動します。多項式の結果である1列目の値は、接続された印刷機構に送られます。
4. これはステップ 2 に似ていますが、偶数列で繰り上がりを実行し、奇数列を元の値に戻します。

減算

このエンジンは負の数を10の補数として表現します。減算は負の数の加算に相当します。これは、現代のコンピュータが減算を行うのと同じ方法で、2の補数として知られています。

差分法

差分エンジンの原理は、ニュートンの差分商法である。多項式（およびその有限差分）の初期値が何らかの方法でXのある値に対して計算されれば、差分エンジンは有限差分法として知られる方法を用いて、任意の数の近傍値を計算することができる。例えば、二次多項式を考えてみよう。

${\displaystyle p(x)=2x^{2}-3x+2\,}$

p (0)、p (1)、p (2)、p (3)、p (4) などの値を表にまとめることを目標とする。以下の表は次のように構成されている。2列目には多項式の値、3列目には2列目の左隣の2つの値の差、4列目には3列目の左隣の2つの値の差が含まれている。

×	p ( x ) = 2 x ^2 − 3 x + 2	diff1( x ) = (  p ( x  +1) − p( x ))	diff2( x ) = ( diff1( x  +1) − diff1( x ) )
0	2	−1	4
1	1	3	4
2	4	7	4
3	11	11
4	22

3番目の数値列の数値は定数です。実際、n次の多項式から始めると、列番号n  + 1は常に定数になります。これがこの手法の成功の鍵となる重要な事実です。

この表は左から右へ作成されていますが、対角線に沿って右から左へ作成し続けることで、より多くの値を計算できます。p (5) を計算するには、最も低い対角線の値を使用します。4 列目の定数値 4 から始めて、列を下へコピーします。次に、3 列目を継続して、11 に 4 を加算して 15 にします。次に、2 列目を継続して、その前の値 22 を取り、3 列目の 15 を加算します。したがって、p (5) は 22 + 15 = 37 です。p (6) を計算するには、 p ( 5 ) の値に対して同じアルゴリズムを繰り返します。4 列目から 4 を取り、それを 3 列目の値 15 に加えて 19 にし、次にそれを 2 列目の値 37 に加えて 56 を取得し、これがp (6) です。このプロセスは無限に続けることができます。多項式の値は、乗算することなく生成されます。差分エンジンは加算のみを実行できればよいのです。ループごとに2つの数値（この例では1列目と2列目の最後の要素）を格納する必要があります。n次の多項式を表にするには、n個の数値を保持できる十分な記憶域が必要です。

1991年に完成したバベッジの差分機関2号は、それぞれ31桁の10進数を8個格納でき、7次多項式をその精度で計算できます。シェウツの最高峰の機械は、それぞれ15桁の数字を4個格納できました。^{[ 45 ]}

初期値

列の初期値は、最初に関数の N 個の連続する値を手動で計算し、バックトラック(つまり、必要な差を計算する) することによって計算できます。

Colは計算開始時の関数の値を取得します。Colはと…の差です 。 ^{[ 46 ]}${\displaystyle 1_{0}}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle 2_{0}}$ ${\displaystyle f(1)}$ ${\displaystyle f(0)}$

計算する関数が多項式関数である場合、次のように表される。

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,}$

初期値は、データ点を計算することなく、 定数係数a ₀、a ₁、a ₂、 ..., a _{nから直接計算できます。したがって、初期値は以下のようになります。}

• 列= a ₀${\displaystyle 1_{0}}$
• 列= a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ + ... + a _n${\displaystyle 2_{0}}$
• 列= 2 a ₂ + 6 a ₃ + 14 a ₄ + 30 a ₅ + ...${\displaystyle 3_{0}}$
• 列= 6 a ₃ + 36 a ₄ + 150 a ₅ + ...${\displaystyle 4_{0}}$
• 列= 24 a ₄ + 240 a ₅ + ...${\displaystyle 5_{0}}$
• 列= 120 a ₅ + ...${\displaystyle 6_{0}}$
• ${\displaystyle ...}$

デリバティブの使用

一般的に用いられる関数の多くは解析関数であり、テイラー級数などのべき級数として表現できます。初期値は任意の精度で計算できます。正しく計算されれば、エンジンは最初のNステップについては正確な結果を返します。それ以降は、エンジンは関数の 近似値のみを返します。

テイラー級数は、関数を一点における導関数の和として表す。多くの関数では、高次の導関数は容易に得られる。例えば、正弦関数は0における導関数の値はすべて0またはである。計算の開始点を0とすると、簡略化されたマクローリン級数が得られる。${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\ x^{n}}$

係数から初期値を計算する方法は、多項式関数の場合と同じです。多項式定数の係数は、以下の値を持ちます。

${\displaystyle a_{n}\equiv {\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}}$

曲線フィッティング

上記の方法の問題点は、誤差が蓄積され、級数が真の関数から乖離する傾向があることです。一定の最大誤差を保証する解決策は、曲線近似を用いることです。最小N個の値が、目的の計算範囲に沿って均等間隔で計算されます。ガウス縮約法のような曲線近似法を用いることで、関数のN -1次多項式補間が求められます。[ 46 ]最適^化された多項式を用いて、初期値は上記のように計算できます。

参照

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• ヨハン・ヘルフリッヒ・フォン・ミュラー
• コンピュータの歴史
• コンピューティングハードウェアの歴史
• 論理マシン
• マーティン・ウィバーグ
• 風車計算機
• 1950年以前のコンピュータハードウェアのタイムライン

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    • 「コンピュータ歴史博物館、バベッジの階差機関第2号の展示を延長」（プレスリリース）。コンピュータ歴史博物館。2009年3月31日。2016年1月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2009年11月6日閲覧。
38. 「バベッジ階乗差エンジン第2号」。コンピュータ歴史博物館。2018年10月26日閲覧。
39. テルディマン、ダニエル（2008年4月10日） 「チャールズ・バベッジの傑作階差エンジンがシリコンバレーに登場」CNETニュース。
40. Noack, Mark (2016年1月29日). 「コンピュータ博物館がバベッジエンジンに別れを告げる」 . Mv-voice.com . 2022年7月10日閲覧。
41. Boyle, Alan (2016年9月11日). 「Inside the Invention factory: Get a peek at Intellectual Ventures' lab」 . 2024年4月21日閲覧。
42. 「Intellectual Ventures on LinkedIn: #ivlab #coolscience」www.linkedin.com . 2024年4月21日閲覧。
43. Ventures, Intellectual (2016年9月1日). 「IVのお気に入りの発明：バベッジマシン」 . Intellectual Ventures . 2024年3月24日閲覧。
44. Lardner, D. (1834年7月). 「バベッジの計算機」 .エディンバラ・レビュー: 263–327 . 2022年10月11日閲覧。WikiSourceに掲載。また、『チャールズ・バベッジの著作集』第2巻、119ページ以降にも転載。
45. O'Regan, Gerard (2012). 『コンピューティングの簡潔な歴史』 Springer Science & Business Media. p. 201. ISBN 978-1-4471-2359-0。
46. Thelen, Ed (2008). 「バベッジ階乗差エンジン #2 – マシンの初期化方法 –」 .

さらに読む

• スナイダー、ローラ・J. (2011). 『哲学的朝食会：科学を変革し世界を変えた4人の傑出した友人たち』ブロードウェイ. ISBN 978-0-7679-3048-2。
• スウェード、ドロン（1996年9月）「チャールズ・バベッジの階差機関第2号 - 技術的説明」科学博物館技術史論文集第5号、ロンドン：国立科学産業博物館。 2009年1月11日閲覧。
• スウェイド、ドロン（2002年）『ディファレンス・エンジン：チャールズ・バベッジと世界初のコンピュータ構築への探求』ペンギン社（再版）ISBN 978-0-14-200144-8。
• ドロン、スウェイド (2001)。歯車脳。そろばん。ISBN 978-0-349-11239-8。
• Doron Swade、Nathan Myhrvold (2008年6月10日). Myhrvold & Swade Discuss Babbage's Difference Engine (講演：Len Shustek、イントロ；Doron Swade 7:35、Nathan Myhrvold 36:25；ディスカッション 46:45). コンピュータ歴史博物館.オリジナルより2021年12月11日アーカイブ。 2009年11月6日閲覧。
• キャンベル＝ケリー、マーティン (2003). 「階差機関：ミュラーからコムリーまで」 .数学表の歴史：シュメールからスプレッドシートまで. マイケル・R・ウィリアムズ. オックスフォード大学出版局. ISBN 9780198508410。
• Hollings, C., Martin, U., Rice, AC (2018). 『エイダ・ラブレス：コンピュータ科学者の誕生』 ボドリアン図書館.

外部リンク

• コンピュータ歴史博物館のバベッジと階差機関に関する展示
• メカノ階差エンジン #1
• メカノ階差エンジン #2
• バベッジの最初の階差機関 - どのように動作する予定だったのか
• バベッジの階差機関1号の支出分析
• アニメーションによる差分エンジンの仕組み
• シドニーのパワーハウス博物館にある階差機関No.1の標本
• 差分エンジンNo2のギガピクセル画像
• シューツ階差機関の動作動画。1856年にダドリー天文台の初代所長ベンジャミン・アプソープ・グールドによって購入された。グールドはバベッジの知人でもあった。階差機関は長年にわたりダドリー天文台で天文学的な計算を行い、現在はスミソニアン博物館の国立コレクションに収蔵されている。
• Babbage DE 2 とその構築に関するビデオへのリンク： 「コンピュータの歴史: さらに詳しく知るには」。www.computerhistories.org 。トピック 5 - 蒸気時代のコンピュータ (ハッカーではなくクラッカー)。