直接多重撮影法

数値常微分方程式として知られる数学の分野において、直接多重射影法は境界値問題を解く数値解法の一つである。この方法は、解を求める区間を複数の小さな区間に分割し、それぞれの小さな区間において初期値問題を解き、区間全体にわたって解を形成するために追加のマッチング条件を課す。この方法は、単一射影法と比較して、非線形性の分布と数値安定性において大幅な改善をもたらす。

単発射撃法

射撃法は、時刻t _aとt _bが分かっていて、 次のような境界値問題（BVP）を解くために使用できます。 $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{a})=y_{a},\quad y(t_{b})=y_{b},}$$ $${\displaystyle y(t),\quad t\in (t_{a},t_{b}).}$$

シングル シューティング法は次のように進行します。y ( t ; t ₀ , y ₀ ) を初期値問題 (IVP) の解とします。 関数F ( p ) をy ( t _b ; p ) と指定された境界値y _{b の}差として定義します: F ( p ) = y ( t _b ; p ) − y _b 。すると、境界値問題のすべての解 ( y _a、y _{b ) について、} y _a = y ₀が成り立ち、y _{b は}Fの根に対応します。この根は、特定の方法依存の前提条件が満たされていれば、任意の根を求める方法で解くことができます。これには多くの場合、 y _aとy _bの初期推定が必要になります。通常、解析的な根の探索は不可能であり、このタスクにはニュートン法などの反復法が使用されます。 $${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t)),\quad y(t_{0})=y_{0},\quad y'(t_{0})=p}$$

境界値問題の数値解法にシングルシューティングを適用すると、いくつかの欠点が生じます。

• 与えられた初期値y ₀に対して、 IVPの解は明らかに区間[ ta _、t _b ]上に存在しなければならないので、根が求められる関数Fを評価することができます。

非線形性が非常に高い、または不安定な常微分方程式の場合、初期推定値y _{0 は}、実際の解y _aに極めて近い値である必要があります。真の解からわずかにずれた初期値は、特異点の発生や常微分方程式の解法の破綻につながる可能性があります。しかしながら、反復解探索法においては、このような解を選択することは避けられません。

• 有限精度の数値計算では、全時間間隔にわたって ODE を解くことができる初期値を見つけることがまったく不可能になる場合があります。
• 常微分方程式の非線形性は実質的にFの非線形性となり、非線形系を解くことができる求根法が必要となる。このような手法は、非線形性が強くなるほど収束速度が遅くなる傾向がある。境界値問題ソルバーの性能は、この影響を受けやすい。
• 安定で条件の整った常微分方程式であっても、不安定で条件の整っていない境界値方程式となる場合があります。初期値推定値y ₀をわずかに変更するだけで、常微分方程式の解y ( t _b ; t _a , y _{0 ) に極めて大きな変化が生じ、ひいては根を求める関数}Fの値にも変化が生じる可能性があります。非解析的な求根法では、このような挙動に対処できないことがほとんどです。

複数回の射撃

直接多重シューティング法は、追加のグリッド ポイントを導入することによって 区間 [ t _a、t _b ] を分割します。この方法は、 0 ≤ k ≤ N − 1であるすべてのグリッド ポイントt _kでのy の値を何らかの方法で推測することから始まります。これらの推測を​​ y _kで表します。y ( t ; t _k、y _k ) がk番目のグリッド ポイントから発せられる解、つまり初期値問題の解 を表すものとします。 値y がグリッド ポイントで一致する 場合、これらすべての解をつなぎ合わせて連続的な軌道を形成できます。したがって、境界値問題の解は、次のN方程式系の解に対応します。 中央のN −2 方程式は一致条件であり、最初と最後の方程式は境界値問題からの条件y ( t _a ) = y _aおよびy ( t _b ) = y _bです。多重シューティング法は、この方程式系を解くことによって境界値問題を解決します。通常、後者のタスクには ニュートン法の修正が使用されます。$${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{N}=t_{b}.}$$ $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\quad y(t_{k})=y_{k}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y(t_{1};t_{0},y_{0})&=y_{1}\\&\;\,\vdots \\y(t_{N-1};t_{N-2},y_{N-2})&=y_{N-1}\\y(t_{N};t_{N-1},y_{N-1})&=y_{b}.\end{aligned}}}$$

複数の撮影と時間的並行撮影法

多重射撃法は、初期値問題の並列ソルバーを導出するために採用されてきた。^{[ 1 ]} 例えば、パラリアル並列時間積分法は、ヤコビ行列の特別な近似を用いた多重射撃アルゴリズムとして導出することができる。^{[ 2 ]}

参考文献

1. Kiehl, Martin (1994). 「初期値問題の解法のための並列多重射撃法」.並列コンピューティング. 20 (3): 275– 295. doi : 10.1016/S0167-8191(06)80013-X .
2. Gander, Martin J.; Vandewalle, Stefan (2007). 「パラリアル時間並列時間積分法の解析」. SIAM Journal on Scientific Computing . 29 (2): 556– 578. Bibcode : 2007SJSC...29..556G . CiteSeerX 10.1.1.92.9922 . doi : 10.1137/05064607X . 

• ステア、ジョセフ。 Bulirsch、Roland (2002)、数値解析入門(第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-95452-37.3.5節以降を参照してください。
• ボック、ハンス・ゲオルグ; プリット、カール・J. (1984)「最適制御問題の直接解のための多重射撃アルゴリズム」、第9回IFAC世界会議議事録、第9回IFAC世界会議：制御科学と技術の架け橋、ハンガリー、ブダペスト、1984年7月2日～6日、第17巻、ブダペスト、pp.  1603– 1608、doi : 10.1016/S1474-6670(17)61205-9
• モリソン, デイビッド・D.; ライリー, ジェームズ・D.; ザンカナロ, ジョン・F. (1962年12月) 「2点境界値問題に対する多重射撃法」(PDF) , Commun. ACM , 5 (12): 613– 614, doi : 10.1145/355580.369128 , S2CID  8774159