位相群の直和

数学において、位相群は2つの部分群の位相的直和^{[ 1 ]}と呼ばれ、写像が 位相同型である場合、それは同相写像であり群同型であることを意味する。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}}$$

意味

より一般的には、写像の 有限集合の部分群の直和は 位相同型と呼ばれます。 ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}}$$

位相群が部分群の族の位相的直和である場合、特に、抽象群（位相を持たない）として、それはまた（通常の方法で）族の直和でもある。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ ${\displaystyle H_{i}.}$

位相的直和項

位相群が与えられたとき、その部分群がの位相的直和である（またはから位相的に分離する）とは、 が の直和である別の部分群が存在し、 がの部分群の直和である場合に限ります。${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\leq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$

部分群が位相的な直和項である場合、かつその場合に限り、位相群の拡張は 分割されます。ここで、は自然な包含であり、は自然な射影です。 ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

例

が単位円を部分群として含む局所コンパクトアーベル群であるとする。すると、 は の位相的直和項となる。実数についても同様の主張が成り立つ。^{[ 2 ]}${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

参照

• 補完部分空間 – 関数解析における概念
• 直和 – 抽象代数におけるオブジェクトを「より複雑な」オブジェクトに合成する演算
• 加群の直和 – 抽象代数における演算

参考文献

1. E. ヒューイットと KA ロス、抽象高調波解析。 Vol. I、第 2 版、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、115、Springer、ベルリン、1979。MR0551496 (81k:43001)
2. アーマコスト、デイヴィッド・L. 局所コンパクトアーベル群の構造. 純粋・応用数学のモノグラフと教科書, 68. マルセル・デッカー社, ニューヨーク, 1981. vii+154 pp. ISBN 0-8247-1507-1MR0637201 (83時間:22010)