位相群の拡張

数学、より具体的には位相群において、位相群の拡大、あるいは位相拡大とは、とが位相群であり、と がそれら の像にも開いている連続準同型であるような短い完全列 である 。^{[ 1 ]}したがって、位相群のすべての拡大は群の拡大である。 ${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$ ${\displaystyle H,X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

位相群の拡張の分類

位相的拡張は

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

そして

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i'}{\rightarrow }}X'{\stackrel {\pi '}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

図 1 の図が 可換となる位相同型が存在する場合、それらは同値 (または合同) です。${\displaystyle T:X\to X'}$

図1

位相的拡張は

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

は、自明な拡張と等しい場合、 分割拡張である（または分割する）。

${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i_{H}}{\rightarrow }}H\times G{\stackrel {\pi _{G}}{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

ここで、は最初の因子への自然な包含であり、は 2 番目の因子への自然な射影です。 ${\displaystyle i_{H}:H\to H\times G}$ ${\displaystyle \pi _{G}:H\times G\to G}$

位相拡張 が分割されるのは、連続準同型写像が存在し、その恒等写像が${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ ${\displaystyle R:X\rightarrow H}$ ${\displaystyle R\circ i}$ ${\displaystyle H}$

位相的拡張が分割されるのは、部分群が位相的直和である場合のみであることに注意する。${\displaystyle 0\rightarrow H{\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ ${\displaystyle i(H)}$ ${\displaystyle X}$

例

• 実数と整数を取ります。 自然包含と自然射影を取ります。すると${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \imath}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\stackrel {\imath }{\to }}\mathbb {R} {\stackrel {\pi }{\to }}\mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0}$

は位相アーベル群の拡大である。実際、これは非分割拡大の例である。

局所コンパクトアーベル群の拡張（LCA）

位相アーベル群の拡張は、局所コンパクトアーベル群と 相対開連続準同型である 短い 正確な列となる。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0}$ ${\displaystyle H,X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

• を局所コンパクトアーベル群の拡張とする

${\displaystyle 0\to H{\stackrel {\imath }{\to }}X{\stackrel {\pi }{\to }}G\to 0.}$

との ポンチャギン双対を取り、と の 双対写像を取ります。すると、列 ${\displaystyle H^{\wedge},X^{\wedge}}$ ${\displaystyle G^{\wedge}}$ ${\displaystyle H,X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle i^{\wedge}}$ ${\displaystyle \pi^{\wedge}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle 0\to G^{\wedge}{\stackrel {\pi ^{\wedge}}{\to }}X^{\wedge}{\stackrel {\imath ^{\wedge}}{\to }}H^{\wedge}\to 0}$

局所コンパクトアーベル群の拡張です。

位相アーベル群の単位円による拡張

位相的拡張の非常に特殊な種類は、 の形のものであり、は単位円であり、と は位相的アーベル群である。^{[ 3 ]}${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Sクラス（T）

位相アーベル群がクラスに属するのは、その形式のすべての位相的拡大が ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$

• あらゆる局所コンパクトアーベル群はに属します。言い換えれば、が局所コンパクトアーベル群であるあらゆる位相拡大は分解されます。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$ ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {T} {\stackrel {i}{\rightarrow }}X{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}G\rightarrow 0}$ ${\displaystyle G}$

• すべての局所プレコンパクトアーベル群は に属します。${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$

• バナッハ空間（特に位相アーベル群）は に属しません。${\displaystyle \ell^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {T} )}$

参考文献

1. カベロ・サンチェス、フェリックス (2003)。「準準同型性」。ファンダム。数学。178 (3): 255–270 .土井: 10.4064/fm178-3-5。Zbl  1051.39032。
2. Fulp, RO; Griffith, PA (1971). 「局所コンパクトアーベル群の拡張 I, II」(PDF) . Trans . Am. Math. Soc . 154 : 341– 356, 357– 363. doi : 10.1090/S0002-9947-1971-99931-0 . MR 0272870. Zbl 0216.34302 .  
3. ベロ、ヒューゴ・J.チャスコ、マリア・ヘスス。ドミンゲス、ザビエル (2013)。「単位円による位相アーベル群の拡張」 .概要応用アナル。記事 ID 590159。土井: 10.1155/2013/590159。Zbl 1295.22009。