判別式

数学において、多項式の判別式は係数に依存する量であり、根のいくつかの特質を計算せずに推論することを可能にする。より正確には、元の多項式の係数の多項式関数である。判別式は、多項式因数分解、数論、代数幾何学において広く用いられている。

二次多項式 の判別式は 1つの×2+b×+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c}

b2−41つのc、{\displaystyle b^{2}-4ac,}

二次方程式の平方根の下に現れる量。この判別式がゼロになるのは、多項式が二重根を持つ場合のみである。実係数の場合、多項式が 2 つの異なる実根を持つ場合は正、2 つの異なる複素共役根を持つ場合は負になる。[ 1 ]同様に、 3 次多項式の判別式がゼロになるのは、多項式が重根を持つ場合のみである。実係数の 3 次多項式の場合、多項式が 3 つの異なる実根を持つ場合は判別式が正、1 つの実根と 2 つの異なる複素共役根を持つ場合は負になる。 1つの≠0、{\displaystyle a\neq 0,}

より一般的には、正次数の一変数多項式の判別式がゼロとなるのは、多項式が重根を持つ場合のみである。実数係数で重根を持たない場合、非実根の数が4の倍数（0個を含む）であれば判別式は正となり、そうでない場合は負となる。

いくつかの一般化も判別式と呼ばれます。代数体 の判別式、二次形式の判別式、さらに一般的には、形式、同次多項式、または射影超曲面の判別式です(これら 3 つの概念は本質的に同等です)。

起源

「判別式」という用語は1851年にイギリスの数学者ジェームズ・ジョセフ・シルベスターによって造られた。[ 2 ]

意味

させて

あ（×）＝1つのn×n+1つのn−1×n−1+⋯+1つの1×+1つの0{\displaystyle A(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}

はn次 多項式（つまり）とし、係数は体 、あるいはより一般的には可換環 に属するものとする。Aとその導関数の合成式は、 1つのn≠0{\displaystyle a_{n}\neq 0}1つの0、…、1つのn{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}

あ′（×）＝n1つのn×n−1+（n−1）1つのn−1×n−2+⋯+1つの1、{\displaystyle A'(x)=na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots +a_{1},}

は整数係数を持つの多項式であり、 AとA ′のシルベスター行列の行列式である。シルベスター行列の1列目の非零要素は と であり、したがって結果はの倍数となる。したがって、判別式（その符号を除けば）はAとA'の結果のによる商として定義される。 1つの0、…、1つのn{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}1つのn{\displaystyle a_{n}}n1つのn、{\displaystyle na_{n},}1つのn。{\displaystyle a_{n}.}1つのn{\displaystyle a_{n}}

ディスク×⁡（あ）＝（−1）n（n−1）/21つのn解像度×⁡（あ、あ′）{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a_{n}}}\operatorname {Res} _{x}(A,A')}

ここで、結果の次数はの次数とみなして計算されます。これは、特性が を割り切る場合に発生します。 あ′{\displaystyle A'}n−1、{\displaystyle n-1,}n{\displaystyle n}

歴史的に、この符号は、多項式のすべての根が実数であるときに、実数上で判別式が正になるように選択されてきました。係数環に零因子 が含まれる場合、 による除算は明確に定義されない可能性があります。この問題は、行列式を計算する前に、シルベスター行列 — の最初の列で を 1 に置き換えることで回避できます。いずれの場合も、判別式は整数係数を持つ の 多項式です。1つのn{\displaystyle a_{n}}1つのn{\displaystyle a_{n}}1つの0、…、1つのn{\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}

語源による表現

上記の多項式が体 上で定義されている場合、その体の任意の代数的に閉じた拡大において、 n 個の根（すべてが必ずしも異なるとは限らない）が存在します。（係数が実数の場合、複素数体 上で根を取ることができ、その場合、代数の基本定理が適用されます。） r1、r2、…、rn{\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}

根に関して言えば、判別式は次のようになる。

ディスク×⁡（あ）＝1つのn2n−2∏私<j（r私−rj）2＝（−1）n（n−1）/21つのn2n−2∏私≠j（r私−rj）。\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(r_{i}-r_{j})^{2}=(-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}\prod _{i\neq j}(r_{i}-r_{j}).}

したがって、これはヴァンデルモンド多項式の平方に を掛けた値になります。 1つのn2n−2{\displaystyle a_{n}^{2n-2}}

この判別式の表現は、しばしば定義として用いられます。多項式が重根 を持つ場合、その判別式はゼロとなり、実係数の場合、すべての根が実数かつ単純 であれば、判別式は正となることが明確に示されます。前の定義とは異なり、この表現は明らかに係数 に関する多項式ではありませんが、これはガロア理論の基本定理、あるいは対称多項式の基本定理とヴィエタの公式から、この表現がAの根に関する対称多項式であることに着目することで導かれます。

低度

線形多項式（1次）の判別式が考慮されることはほとんどありません。必要な場合は、通常、判別式は1と定義されます（空積に関する通常の規則に従い、シルベスター行列の2つのブロックのうち1つが空であることを考慮する）。定数多項式（つまり、0次多項式）の判別式については、共通の規則はありません。

次数が小さい場合、判別式は比較的単純です（下記参照）。しかし、次数が大きい場合、扱いにくくなることがあります。例えば、一般的な4次式の判別式は16項[ 3 ] 、[ 5次式の判別式は59項[ 4 ]、[6次式の判別式は246項[ 5 ]です。 これはOEISシーケンスA007878です。

学位2

二次多項式は判別式を持つ 1つの×2+b×+c{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}

b2−41つのc。{\displaystyle b^{2}-4ac\,.}

判別式の平方根は、2次多項式の根を表す 2次式に現れます。

×1、2＝−b±b2−41つのc21つの。{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}

ここで、判別式がゼロになるのは、2つの根が等しい場合のみである。a、b、cが実数の場合、判別式が正であれば多項式は2つの異なる実根を持ち、判別式が負であれば2つの複素共役根を持つ。[ 6 ]

判別式は、2 と根の差の 2 乗の積です 。

a、b、cが有理数である場合、判別式は 2 つの根が有理数である場合にのみ有理数の 2 乗になります。

3度

3次方程式x 3 + bx 2 + cx + dの判別式の零点集合、すなわちb 2 c 2 − 4 c 3 − 4 b 3 d − 27 d 2 + 18 bcd = 0を満たす点。

3次多項式は判別式を持つ 1つの×3+b×2+c×+d{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}

b2c2−41つのc3−4b3d−271つの2d2+181つのbcd。{\displaystyle b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd\,.}[ 7 ] [ 8 ]

減算された3次多項式の特別な場合では、判別式は次のように簡略化される。 ×3+p×+q{\displaystyle x^{3}+px+q}

−4p3−27q2。{\displaystyle -4p^{3}-27q^{2}\,.}

判別式がゼロになるのは、少なくとも2つの根が等しい場合のみです。係数が実数で判別式がゼロでない場合、根が3つの異なる実数であれば判別式は正となり、実根が1つあり複素共役根が2つある場合は判別式は負となります。[ 9 ]

判別式と強く関連する量の平方根は、3次多項式 の根の公式に現れます。具体的には、判別式の-3倍、または有理数の平方との積（例えば、カルダノの公式 の場合、 1/18の平方）が、この量に当てはまります。

多項式が既約であり、その係数が有理数（または数体に属する）である場合、判別式が有理数（または数体からの数）の2乗となるのは、 3次方程式のガロア群が位数3の巡回群である場合に限ります。

4度

四次多項式x 4 + cx 2 + dx + eの判別式。この曲面は、多項式が重根を持つ点 ( c , d , e ) を表します。尖端は三重根を持つ多項式に対応し、自己交差は2つの異なる重根を持つ多項式に対応します。

4次多項式 は判別式を持つ 1つの×4+b×3+c×2+d×+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e\,}

2561つの3e3−1921つの2bde2−1281つの2c2e2+1441つの2cd2e−271つの2d4+1441つのb2ce2−61つのb2d2e−801つのbc2de+181つのbcd3+161つのc4e−41つのc3d2−27b4e2+18b3cde−4b3d3−4b2c3e+b2c2d2。{\displaystyle {\begin{aligned}&256a^{3}e^{3}-192a^{2}bde^{2}-128a^{2}c^{2}e^{2}+144a^{2}cd^{2}e\\[4pt]&\quad -27a^{2}d^{4}+144ab^{2}ce^{2}-6ab^{2}d^{2}e-80abc^{2}de\\[4pt]&\quad +18abcd^{3}+16ac^{4}e-4ac^{3}d^{2}-27b^{4}e^{2}+18b^{3}cde\\[4pt]&\quad -4b^{3}d^{3}-4b^{2}c^{3}e+b^{2}c^{2}d^{2}。\end{aligned}}}

負の4次多項式 は判別式を持つ ×4+c×2+d×+e{\displaystyle x^{4}+cx^{2}+dx+e\,}

16c4e−4c3d2−128c2e2+144cd2e−27d4+256e3。{\displaystyle {\begin{aligned}{}&16c^{4}e-4c^{3}d^{2}-128c^{2}e^{2}+144cd^{2}e-27d^{4}+256e^{3}.\end{aligned}}}

判別式がゼロになるのは、少なくとも2つの根が等しい場合のみです。係数が実数で判別式が負の場合、実根が2つと複素共役根が2つ存在します。逆に、判別式が正の場合、根はすべて実数か、すべて非実数のいずれかです。

プロパティ

判別式ゼロ

体上の多項式の判別式がゼロになるのは、多項式が何らかの体拡大において多重根を持つ場合のみです。

多項式とその導関数が定数でない共通約数を持つ 場合のみ、整数領域上の多項式の判別式はゼロになります。

特性0では、これは多項式が平方でない(つまり、非定数多項式の平方で割り切れる) と言うことと同じです。

非ゼロの特性pにおいて、判別式がゼロとなるのは、多項式が平方でないか、分離不可能な既約因子を持つ場合（つまり、既約因子が の多項式である場合）に限ります。 ×p{\displaystyle x^{p}}

変数の変化に対する不変性

多項式の判別式は、スケーリングを除けば、変数の任意の射影変換に対して不変である。射影変換は並進、相似、反転の積に分解できるため、より単純な変換については以下の式が得られる。ここで、 P ( x )はn次多項式を表し、その最高係数は である。 1つのn{\displaystyle a_{n}}

  • 翻訳による不変性:
ディスク×⁡（P（×+α））＝ディスク×⁡（P（×））{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P(x+\alpha ))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}
これは判別式の根による表現から得られる。
  • 相似性による不変性:
ディスク×⁡（P（α×））＝αn（n−1）ディスク×⁡（P（×））ディスク×⁡（αP（×））＝α2n−2ディスク×⁡（P（×））{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Disc} _{x}(P(\alpha x))&=\alpha ^{n(n-1)}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))\\\operatorname {Disc} _{x}(\alpha P(x))&=\alpha ^{2n-2}\operatorname {Disc} _{x}(P(x))\end{aligned}}}
これは、ルート、または判別式の準同次性に関する表現から生じます。
  • 反転による不変性:
ディスク×⁡（Pr（×））＝ディスク×⁡（P（×））{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x))=\operatorname {Disc} _{x}(P(x))}
ここで、 は Pの逆多項式を表す。つまり、 P（0）≠0。{\displaystyle P(0)\neq 0.}Pr{\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;}P（×）＝1つのn×n+⋯+1つの0、{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{0},}1つの0≠0、{\displaystyle a_{0}\neq 0,}
Pr（×）＝×nP（1/×）＝1つの0×n+⋯+1つのn。{\displaystyle P^{\mathrm {r} }\!\!\;(x)=x^{n}P(1/x)=a_{0}x^{n}+\cdots +a_{n}.}

環準同型に対する不変性

を可換環の準同型とする。多項式 φ:R→S{\displaystyle \varphi \colon R\to S}

あ＝1つのn×n+1つのn−1×n−1+⋯+1つの0{\displaystyle A=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}}

R [ x ]において、準同型はAに作用して多項式を生成する。 φ{\displaystyle \varphi }

あφ＝φ（1つのn）×n+φ（1つのn−1）×n−1+⋯+φ（1つの0）{\displaystyle A^{\varphi }=\varphi (a_{n})x^{n}+\varphi (a_{n-1})x^{n-1}+\cdots +\varphi (a_{0})}

S [ x ]で。

判別式は次の意味で不変 である。φ{\displaystyle \varphi }φ（1つのn）≠0、{\displaystyle \varphi (a_{n})\neq 0,}

ディスク×⁡（あφ）＝φ（ディスク×⁡（あ））。{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=\varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A)).}

判別式は行列式によって定義されるため、この特性は行列式の同様の特性から直接生じます。

ならば、ゼロになるかならないかのどちらかである。φ（1つのn）＝0、{\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}φ（ディスク×⁡（あ））{\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))}φ（1つのn）＝0、{\displaystyle \varphi (a_{n})=0,}

φ（ディスク×⁡（あ））＝φ（1つのn−1）2ディスク×⁡（あφ）。{\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=\varphi (a_{n-1})^{2}\operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi }).}

判別式がゼロであるかどうかだけを知りたい場合（代数幾何学では一般的にそうである）、これらの特性は次のように要約できます。

φ（ディスク×⁡（あ））＝0{\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}いずれか一方または両方である場合に限りディスク×⁡（あφ）＝0{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A^{\varphi })=0}deg⁡(A)−deg⁡(Aφ)≥2.{\displaystyle \deg(A)-\deg(A^{\varphi })\geq 2.}

これは、 が多重根（おそらく無限大）を持つ場合のみ、 であると解釈されることが多い。 φ(Discx⁡(A))=0{\displaystyle \varphi (\operatorname {Disc} _{x}(A))=0}Aφ{\displaystyle A^{\varphi }}

多項式の積

R = PQがxの多項式の積である場合、

discx⁡(R)=discx⁡(P)Resx⁡(P,Q)2discx⁡(Q)=(−1)pqdiscx⁡(P)Resx⁡(P,Q)Resx⁡(Q,P)discx⁡(Q),{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {disc} _{x}(R)&=\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)^{2}\operatorname {disc} _{x}(Q)\\[5pt]{}&=(-1)^{pq}\operatorname {disc} _{x}(P)\operatorname {Res} _{x}(P,Q)\operatorname {Res} _{x}(Q,P)\operatorname {disc} _{x}(Q),\end{aligned}}}

ここで、は変数xに関する結果を表し、pとqはそれぞれPとQの次数です。 Resx{\displaystyle \operatorname {Res} _{x}}

この特性は、結果式と判別式の式をそれぞれの多項式の根に代入することですぐに得られます。

均質性

判別式は係数において同次多項式であり、根においても同次多項式であるため、係数において 準同次です。

n次多項式の判別式は、係数が2 n − 2次同次です。これは2つの方法で説明できます。根と主項の公式で言えば、すべての係数にλを掛けても根は変化しませんが、主項にλが掛けられます。 (2 n − 1) × (2 n − 1)行列（シルベスター行列）をnで割った行列式として表現すると、行列式の要素は2 n − 1次同次であり、 n で割ると2 n − 2次になります。

n次多項式の判別式は、根に関してn次（n − 1）同次である。これは判別式を根で表すと定数と根の差の二乗の積となることから導かれる。 (n2)=n(n−1)2{\displaystyle {\binom {n}{2}}={\frac {n(n-1)}{2}}}

n次多項式の判別式は、任意のiに対して係数にn − iの重みが与えられている場合、係数においてn ( n − 1)次準同次である。また、任意のiに対して係数にiの重みが与えられている場合、判別式は同じ次数の準同次である。これは、根において同次かつ対称な多項式はすべて、根の基本対称関数において準同次多項式として表せるという一般的な事実から生じる。 xi{\displaystyle x^{i}}xi{\displaystyle x^{i}}

次の多項式を考えてみましょう

P=anxn+an−1xn−1+⋯+a0.{\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}.}

前述のことから、判別式に現れる すべての単項式 の指数は、次の2つの式を満たすことがわかる。a0i0,…,anin{\displaystyle a_{0}^{i_{0}},\dots ,a_{n}^{i_{n}}}

i0+i1+⋯+in=2n−2{\displaystyle i_{0}+i_{1}+\cdots +i_{n}=2n-2}

そして

i1+2i2+⋯+nin=n(n−1),{\displaystyle i_{1}+2i_{2}+\cdots +ni_{n}=n(n-1),}

そして方程式

ni0+(n−1)i1+⋯+in−1=n(n−1),{\displaystyle ni_{0}+(n-1)i_{1}+\cdots +i_{n-1}=n(n-1),}

これは、最初の式にnを掛けたものから 2 番目の式を引くことによって得られます。

これにより、判別式に取り得る項が制限されます。一般の二次多項式の場合、判別式は2次同次多項式となり、項数は2つだけです。一方、3変数の一般の2次同次多項式は6つの項を持ちます。一般の三次多項式の判別式は4変数の4次同次多項式となり、項数は上記の規則で許容される最大値である5つですが、4変数の一般の4次同次多項式は35の項を持ちます。 b2−4ac{\displaystyle b^{2}-4ac}

次数が高い場合、上記の規則を満たしながら判別式に現れない単項式が存在する可能性があります。最初の例は四次多項式です。この場合、単項式は判別式に現れずに規則を満たします。 ax4+bx3+cx2+dx+e{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e}bc4d{\displaystyle bc^{4}d}

本当のルーツ

このセクションでは、すべての多項式は実係数を持ちます。

§ 低次数において、判別式の符号は2次および3次の多項式の根の性質に関する有用な情報を与えることが述べられている。高次数では、判別式によって得られる情報は完全ではないが、それでも有用である。より正確には、 n次の多項式の場合、以下の式が成り立つ。

  • 多項式は、判別式がゼロの場合にのみ多重根を持ちます。
  • 判別式が正の場合、非実数根の数は 4 の倍数です。つまり、2 k組の複素共役根とn − 4 k個の実根が存在するような非負整数k ≤ n /4が存在します。
  • 判別式が負の場合、非実数根の数は 4 の倍数ではありません。つまり、2 k + 1組の複素共役根とn − 4 k + 2 個の実根が存在するような非負整数k ≤ ( n − 2)/4が存在します。

同次二変数多項式

させて

A(x,y)=a0xn+a1xn−1y+⋯+anyn=∑i=0naixn−iyi{\displaystyle A(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}y^{i}}

2つの不定値を持つn次の同次多項式とする。

今のところ、とが両方ともゼロでないと仮定すると、 a0{\displaystyle a_{0}}an{\displaystyle a_{n}}

Discx⁡(A(x,1))=Discy⁡(A(1,y)).{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A(x,1))=\operatorname {Disc} _{y}(A(1,y)).}

この量を 1 で表すとDisch⁡(A),{\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A),}

Discx⁡(A)=yn(n−1)Disch⁡(A),{\displaystyle \operatorname {Disc} _{x}(A)=y^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A),}

そして

Discy⁡(A)=xn(n−1)Disch⁡(A).{\displaystyle \operatorname {Disc} _{y}(A)=x^{n(n-1)}\operatorname {Disc} ^{h}(A).}

これらの特性のため、この量はAの判別式または同次判別式と呼ばれます。 Disch⁡(A){\displaystyle \operatorname {Disc} ^{h}(A)}

と がゼロになることが許される場合、多項式A ( x , 1)とA (1, y )の次数はn未満になることがあります。この場合、すべての多項式が次数nであるかのように判別式を計算する限り、上記の式と定義は有効です。つまり、判別式は と が不定であるものとして計算する必要があり、それらの実際の値は計算後に代入されます。同様に、 § 環準同型における不変性の式を使用する必要があります。 a0{\displaystyle a_{0}}an{\displaystyle a_{n}}a0{\displaystyle a_{0}}an{\displaystyle a_{n}}

代数幾何学での使用

代数幾何学における判別式の典型的な用途は、平面代数曲線、より一般的には代数超曲面を調べることである。そのような曲線または超曲面をVとすると、 Vは多変数多項式の零点集合として定義される。この多項式は、他の不定値の多項式を係数として持つ、不定値の 1 つにおける一変数多項式と見なすことができる。選択された不定値に関する判別式は、他の不定値の空間に超曲面Wを定義する。W の点は、 Vの点（無限遠点を含む）の投影とまったく同じであり、これらの点は特異点であるか、または選択された不定値の軸に平行な 接超平面を持つ。

例えば、f を実係数を持つ XとYの2変数多項式とすると、 f = 0は実平面代数曲線の暗黙方程式となります。f を、係数がXに依存するYの1変数多項式と見なすと、判別式は、特異点、Y軸に平行な接線を持つ点、およびY軸に平行ないくつかの漸近線のX座標を根とするXの多項式になります。言い換えると、 Y判別式とX判別式の根を計算すれば、変曲点を除く曲線の注目すべき点をすべて計算できます。

一般化

判別式の概念には2つのクラスがあります。最初のクラスは代数体 の判別式であり、これは二次体を含むいくつかのケースでは、体を定義する多項式の判別式となります。

第2クラスの判別式は、係数に依存する問題において、問題の退化した例や特異点が、係数における単一の多項式が消滅する特徴を持つ場合に生じる。これは、2つの根が崩壊するときに0となる多項式の判別式の場合に当てはまる。このような一般化された判別式が定義されるケースのほとんどは、以下の例である。

A を、特性0の体、または多項式の次数を割り切れない素特性を持つn個の不定値の同次多項式とします。多項式A は、 Aのn個の偏導関数が非自明な共通零点を持つ場合に限り、特異点を持つ射影超面を定義します。これは、これらの偏導関数の多変数結果式が零である場合に限り当てはまり、この結果式はAの判別式と見なすことができます。ただし、微分によって得られる整数係数のため、この多変数結果式はnのべき乗で割り切れる場合があり、判別式としては、ジェネリック係数で計算された結果式の原始部分を取った方が適切です。特性に対する制限は、そうでなければ偏導関数の共通零点が必ずしも多項式の零点とはならないために必要です (同次多項式のオイラーの恒等式を参照)。

次数dの同次二変数多項式の場合、この一般判別式は§ 同次二変数多項式で定義された判別式の積です。この一般定義の例として、他のいくつかの古典的な判別式については、次のセクションで説明します。 dd−2{\displaystyle d^{d-2}}

二次形式

二次形式はベクトル空間上の関数であり、ある基底上で2次 同次多項式によって定義されます。

Q(x1,…,xn) = ∑i=1naiixi2+∑1≤i<j≤naijxixj,{\displaystyle Q(x_{1},\ldots ,x_{n})\ =\ \sum _{i=1}^{n}a_{ii}x_{i}^{2}+\sum _{1\leq i<j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j},}

あるいは、行列形式では、

Q(X)=XAXT,{\displaystyle Q(X)=XAX^{\mathrm {T} },}

対称行列、行ベクトル、列ベクトルについて。2とは異なる特性を持つ場合、 [ 10 ] Qの判別式または行列式はAの行列式となる。[ 11 ]n×n{\displaystyle n\times n}A=(aij){\displaystyle A=(a_{ij})}1×n{\displaystyle 1\times n}X=(x1,…,xn){\displaystyle X=(x_{1},\ldots ,x_{n})}n×1{\displaystyle n\times 1}XT{\displaystyle X^{\mathrm {T} }}

Qのヘッセ行列式は判別式の積である。Qの偏微分の多変数終値はそのヘッセ行列式に等しい。したがって、二次形式の判別式は、上記の判別式の一般的な定義の特別な場合である。 2n{\displaystyle 2^{n}}

二次形式の判別式は、次の意味で変数の線型変換（つまり、二次形式が定義されているベクトル空間の基底の変更）に対して不変です。変数の線型変換は特異でない行列Sによって定義され、行列Aを に変更し、判別式にSの行列式の平方を乗じます。したがって、判別式は平方による乗算までのみ明確に定義されます。言い換えると、体K上の二次形式の判別式は、Kの乗法モノイドを非ゼロの平方の部分群で割った商であるK /( K × ) 2の元です（つまり、Kの2つの元は、一方が他方の非ゼロの平方による積である場合、同じ同値類にあります）。したがって、複素数では、判別式は 0 または 1 に等しくなります。実数 では、判別式は -1、0、または 1 に等しくなります。有理数では、判別式は一意の平方自由整数に等しくなります。 STAS,{\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S,}

ヤコビの定理によれば、2とは異なる特性を持つ体上の二次形式は、線形変数変換の後、対角形式で次のように 表すことができる。

a1x12+⋯+anxn2.{\displaystyle a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n}x_{n}^{2}.}

より正確には、二次形式は和として表される。

∑i=1naiLi2{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}L_{i}^{2}}

ここで、L iは独立な線形形式であり、nは変数の数です（一部のa i はゼロになる場合があります）。同様に、任意の対称行列Aに対して、 が対角行列となるような基本行列Sが存在します。この場合、判別式はa iの積であり、これはK /( K × ) 2のクラスとして明確に定義されます。 STAS{\displaystyle S^{\mathrm {T} }A\,S}

幾何学的には、3変数の二次形式の判別式は二次射影曲線の方程式である。判別式がゼロとなるのは、曲線が直線（おそらく体の代数的に閉じた拡大部分） に分解される場合のみである。

4変数の二次形式は、射影面の方程式です。曲面が特異点を持つのは、判別式が0の場合のみです。この場合、曲面は平面に分解されるか、唯一の特異点を持ち、円錐または円筒になります。実数部において、判別式が正の場合、曲面には実点がないか、またはあらゆる箇所で負のガウス曲率を持ちます。判別式が負の場合、曲面には実点があり、負のガウス曲率を持ちます。

円錐曲線

円錐曲線は、次の形式の 暗黙の方程式によって定義される平面曲線である。

ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,{\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dx+2ey+f=0,}

ここで、 a、b、c、d、e、fは実数です。

2 つの二次形式、つまり 2 つの判別式が円錐曲線に関連付けることができます。

最初の二次形式は

ax2+2bxy+cy2+2dxz+2eyz+fz2=0.{\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}+2dxz+2eyz+fz^{2}=0.}

その判別式は行列式である

|abdbcedef|.{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&d\\b&c&e\\d&e&f\end{vmatrix}}.}

円錐断面が 2 本の線、二重線、または 1 本の点に退化する場合には 0 になります。

2番目の判別式は、多くの初等教科書で唯一扱われている判別式であり、方程式の2次同次部分の判別式である。これは[ 12 ]に等しい。

b2−ac,{\displaystyle b^{2}-ac,}

円錐曲線の形状を決定します。この判別式が負の場合、曲線は実点を持たないか、楕円または円になります。あるいは、退化している場合は、1点になります。判別式が0の場合、曲線は放物線になります。退化している場合は、二重線または2本の平行線になります。判別式が正の場合、曲線は双曲線になります。退化している場合は、交差する2本の直線になります。

実二次曲面

3次元ユークリッド空間における実二次曲面は、3変数2次多項式の零点として定義できる曲面である。円錐曲線に関しては、自然に定義できる判別式が2つある。どちらも二次曲面の性質に関する情報を得るのに役立つ。

実二次曲面を定義する3変数2次多項式とする。最初に関連する二次形式は4変数に依存し、Pを斉次化することで得られる。 P(x,y,z){\displaystyle P(x,y,z)}Q4,{\displaystyle Q_{4},}

Q4(x,y,z,t)=t2P(x/t,y/t,z/t).{\displaystyle Q_{4}(x,y,z,t)=t^{2}P(x/t,y/t,z/t).}

その判別式を次のように表す。Δ4.{\displaystyle \Delta _{4}.}

2番目の二次形式は3つの変数に依存し、 Pの2次の項から構成されます。 Q3,{\displaystyle Q_{3},}

Q3(x,y,z)=Q4(x,y,z,0).{\displaystyle Q_{3}(x,y,z)=Q_{4}(x,y,z,0).}

その判別式を次のように表す。Δ3.{\displaystyle \Delta _{3}.}

であり、曲面が実数点を持つ場合、それは双曲放物面または一枚双曲面のいずれかです。どちらの場合も、これはすべての点で負のガウス曲率を持つ線織面です。 Δ4>0,{\displaystyle \Delta _{4}>0,}

曲面が楕円体、二枚双曲面、または楕円放物面のいずれかである場合、いずれの場合も、すべての点で正のガウス曲率を持ちます。 Δ4<0,{\displaystyle \Delta _{4}<0,}

曲面が特異点（おそらく無限遠点）を持つ場合。特異点が1つだけの場合、曲面は円筒または円錐です。特異点が複数ある場合、曲面は2つの平面、二重平面、または1本の直線で構成されます。 Δ4=0,{\displaystyle \Delta _{4}=0,}

の符号が0でない場合、 Pを−Pに変えても表面は変化せず、の符号が変化するため、有用な情報を提供しない。しかし、との場合、表面は放物面であり、の符号に応じて楕円または双曲面となる。Δ4≠0,{\displaystyle \Delta _{4}\neq 0,}Δ3,{\displaystyle \Delta _{3},}Δ3.{\displaystyle \Delta _{3}.}Δ4≠0{\displaystyle \Delta _{4}\neq 0}Δ3=0,{\displaystyle \Delta _{3}=0,}Δ4.{\displaystyle \Delta _{4}.}

代数体の判別式

代数体の判別式は、代数体（の 整数環）の大きさを測定します。

より具体的には、整数環の基本領域の体積の2乗に比例し、どの素数が分岐するかを規定します。

判別式は数体の最も基本的な不変量の一つであり、Kのデデキントゼータ関数の関数方程式やKの解析類数公式など、いくつかの重要な解析公式に現れる。エルミートの定理によれば、有界判別式の数体は有限個しか存在しないが、この量を決定することは未解決の問題であり、現在も研究が進められている。[ 13 ]

K を代数体とし、その整数環をO Kとする。b 1 , ..., b n を O K の整基底（つまり Z -加群としての基底）とし、{ σ 1 , ... , σ n }をKの複素数への埋め込み（つまりK → C へ の入射環準同型）の集合とする。Kの判別式は、 ( i , j )要素が σ i ( b j )であるn行n列の行列Bの行列式の平方である。記号的に、

ΔK=det(σ1(b1)σ1(b2)⋯σ1(bn)σ2(b1)⋱⋮⋮⋱⋮σn(b1)⋯⋯σn(bn))2.{\displaystyle \Delta _{K}=\det \left({\begin{array}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})&\cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _{n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{array}}\right)^{2}.}

K の判別式は、数体の拡大K / Lの判別式と区別するために、Kの絶対判別式と呼ばれることがあります。後者はLの整数環のイデアルであり、絶対判別式と同様に、どの素数がK / Lにおいて分岐するかを示します。これは、 L がQよりも大きい場合を考慮した絶対判別式の一般化です。実際、L  =  Qのとき、 K / Qの相対判別式は、 Kの絶対判別式によって生成されるZの主イデアルです。

基本判別式

二次体の研究において有用な特定の種類の判別式として、基本判別式があります。これは、以下の形式の表現である整二項二次形式の理論で用いられます。Q(x,y)=ax2+bxy+cy2{\displaystyle Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}

ここで、、、は整数です。の判別式は次のように与えられます。すべての整数が整二項二次形式の判別式として現れるわけではありません。整数が基本判別式となるのは、以下の条件のいずれかを満たす場合のみです。 a{\textstyle a}b{\textstyle b}c{\textstyle c}Q(x,y){\textstyle Q(x,y)}D=b2−4ac{\displaystyle D=b^{2}-4ac}D{\textstyle D}

  • ケース 1:は 1 を法とする 4 ( ) と合同であり、平方数ではないため、どの素数の平方でも割り切れません。D{\textstyle D}D≡1(mod4){\textstyle D\equiv 1{\pmod {4}}}
  • ケース 2:は整数の 4 倍( )に等しく、4 を法として 2 または 3 ( ) と同値であり、平方根がありません。D{\textstyle D}m{\textstyle m}D=4m{\textstyle D=4m}m{\textstyle m}m≡2,3(mod4){\textstyle m\equiv 2,3{\pmod {4}}}

これらの条件により、すべての基本判別式が特定のタイプの二次形式に一意に対応することが保証されます。

最初の 11 個の正の基本判別式は次のとおりです。

1、5、8、12、13、17、21、24、28、29、33（OEISの配列A003658 ）。​​​​​​​​​​​​​​​​

最初の 11 個の負の基本判別式は次のとおりです。

−3、−4、−7、−8、−11、−15、−19、−20、−23、−24、−31（OEISの配列A003657 ）。

二次数体

二次体とは、有理数の 2 次体拡大です。二次体の判別式は、二次形式の判別式と同様の役割を果たします。 Q{\textstyle \mathbb {Q} }

基本的な関係が存在します。整数が基本的な判別式となるのは、次の場合のみです。 D0{\textstyle D_{0}}

  • D0=1{\textstyle D_{0}=1}、 または
  • D0{\textstyle D_{0}}は二次式の判別式です。

各基本判別式 に対し、 を判別式とする二次体が（同型性を除いて）唯一存在する。これは二次形式論と二次体の研究を結びつける。 D0≠1{\textstyle D_{0}\neq 1}D0{\textstyle D_{0}}

素因数分解

基本判別式は、素因数分解によっても特徴付けられます。4を法として1と合同な素数と、4を法として3と合同な素数の加法逆数からなる集合を考えてみましょう。整数が基本判別式となるのは、互いに素であるの元同士の積である場合に限ります。 S{\textstyle S}−8,8,−4,{\displaystyle -8,8,-4,}S={−8,−4,8,−3,5,−7,−11,13,17,−19,...}{\displaystyle S=\{-8,-4,8,-3,5,-7,-11,13,17,-19,...\}}D≠1{\textstyle D\neq 1}S{\displaystyle S}

参考文献

  1. ^ 「判別式 | 数学」ブリタニカ百科事典。 2020年8月9日閲覧。
  2. ^シルベスター, JJ (1851). 「標準形式と超行列式の理論における注目すべき発見について」.哲学雑誌. 第4シリーズ. 2 : 391–410 .シルベスターは406 ページで「判別式」という言葉を作り出した。
  3. ^王東明（2004年）『エリミネーション・プラクティス：ソフトウェアツールとアプリケーション』インペリアル・カレッジ・プレス、第10章、180頁。ISBN 1-86094-438-8。
  4. ^ゲルファンド、イスラエル M. ;カプラノフ、ミハイル・Ｍ．ゼレビンスキー、アンドレイ V. (1994)。判別式、結果式、および多次元行列式。ビルクホイザー。 p. 1.ISBN​ 3-7643-3660-9. 2013年1月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  5. ^ディケンシュタイン、アリシア、エミリス、イオアニスZ. (2005).多項式方程式の解法：基礎、アルゴリズム、そして応用.シュプリンガー. 第1章、26ページ. ISBN 3-540-24326-7。
  6. ^アーヴィング、ロナルド・S. (2004).整数、多項式、環. Springer-Verlag New York, Inc. 第10.3章、153–154ページ. ISBN 0-387-40397-3。
  7. ^ 「Cubic Discriminant | Brilliant Math & Science Wiki」 . 2023年3月21日閲覧。
  8. ^ 「3次方程式の判別式」 2019年7月14日. 2023年3月21日閲覧。
  9. ^アーヴィング、ロナルド・S. (2004).整数、多項式、環. Springer-Verlag New York, Inc. 第10章 ex. 10.14.4 & 10.17.4, pp. 154–156. ISBN 0-387-40397-3。
  10. ^特性2では、二次形式の判別式は定義されておらず、 Arf不変量に置き換えられている。
  11. ^ Cassels, JWS (1978).有理二次形式. ロンドン数学会モノグラフ. 第13巻.アカデミック・プレス. p. 6. ISBN 0-12-163260-1. Zbl  0395.10029 .
  12. ^ Fanchi, John R. (2006). 『科学者とエンジニアのための数学復習』 John Wiley and Sons. sec. 3.2, p. 45. ISBN 0-471-75715-2。
  13. ^コーエン、アンリ、ディアス・イ・ディアス、フランシスコ、オリヴィエ、ミシェル (2002)、「判別式計算の概観」、フィーカー、クラウス、コーヘル、デイヴィッド・R. (編)、アルゴリズム数論、議事録、第5回国際シンポジウム、ANTS-V、シドニー大学、2002年7月、Lecture Notes in Computer Science、第2369巻、ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  80– 94、doi：10.1007/3-540-45455-1_7、ISBN 978-3-540-43863-2, ISSN  0302-9743 , MR  2041075
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