分割可能なグループ

数学、特に群論の分野において、可分群とは、すべての元が何らかの意味で正の整数で割り切れる、より正確には、すべての元が各正の整数nのn乗であるようなアーベル群のことである。可分群はアーベル群の構造を理解する上で重要であり、特に入射的なアーベル群であるため重要である。

意味

アーベル群が割り切れるとは、任意の正の整数および任意のに対して、 が存在するときである。[ 1 ] 同値な条件は、任意の正の整数 に対して である。なぜなら、任意のおよび に対してが存在するということは、 が成り立ち、逆はすべての群に対して真だからである。3 つ目の同値な条件は、アーベル群が割り切れる場合、かつその場合に限り、 がアーベル群のカテゴリにおいて入射的オブジェクトである場合である。このため、割り切れる群は入射的群と呼ばれることもある。 （G、+）{\displaystyle (G,+)}n{\displaystyle n}グラム∈G{\displaystyle g\in G}y∈G{\displaystyle y\in G}ny＝グラム{\displaystyle ny=g}n{\displaystyle n}nG＝G{\displaystyle nG=G}y{\displaystyle y}n{\displaystyle n}グラム{\displaystyle g}nG⊇G{\displaystyle nG\supseteq G}nG⊆G{\displaystyle nG\subseteq G}G{\displaystyle G}G{\displaystyle G}

アーベル群が素数に対して-割り切れるとは、任意の に対してとなるような が存在する場合である。同様に、アーベル群が- 割り切れるとは、 の場合に限ります。 p{\displaystyle p}p{\displaystyle p}グラム∈G{\displaystyle g\in G}y∈G{\displaystyle y\in G}py＝グラム{\displaystyle py=g}p{\displaystyle p}pG＝G{\displaystyle pG=G}

例

  • 有理数は 加算によって割り切れるグループを形成します。質問{\displaystyle \mathbb {Q} }
  • より一般的には、上の任意のベクトル空間の基礎となる加法群は割り切れる。質問{\displaystyle \mathbb {Q} }
  • 割り切れる群の商はすべて割り切れる。したがって、は割り切れる。質問/Z{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }
  • のp主成分はp準巡回群と同型であり、割り切れる。Z[1/p]/Z{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} }質問/Z{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }Z[p∞]{\displaystyle \mathbb {Z} [p^{\infty }]}
  • 複素数 の乗法群は割り切れる。C∗{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}
  • すべての存在的に閉じたアーベル群（モデル理論的な意味で）は分割可能です。

プロパティ

可分群の構造定理

G を可分群とする。すると、Gの捩れ部分群Tor( G )は可分となる。可分群は入射加群なので、 Tor( G ) はGの直和項となる。したがって、

G=Tor(G)⊕G/Tor(G).{\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}

可分群の商として、G /Tor( G ) は可分である。さらに、捩れがない。したがって、 Q上のベクトル空間であり、したがって、次の 集合Iが存在する。

G/Tor(G)=⨁i∈IQ=Q(I).{\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\bigoplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}

ねじれ部分群の構造は決定するのが難しいが、[ 6 ] [ 7 ]全ての素数 pに対して、Ip{\displaystyle I_{p}}

(Tor(G))p=⨁i∈IpZ[p∞]=Z[p∞](Ip),{\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\bigoplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}

ここで、はTor( G )のp主成分である。 (Tor(G))p{\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}}

したがって、Pが素数の集合である場合、

G=(⨁p∈PZ[p∞](Ip))⊕Q(I).{\displaystyle G=\left(\bigoplus _{p\in \mathbf {P} }\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})}\right)\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}

p  ∈  Pの集合IとI pの濃度は、群Gによって一意に決定されます。

注入エンベロープ

上述のように、任意のアーベル群A は、可分群Dに本質部分群として一意に埋め込むことができる。この可分群DはAの入射包であり、この概念はアーベル群の圏における 入射包である。

縮小アーベル群

アーベル群は、その唯一の可分部分群が {0} であるとき、縮約されているという。すべてのアーベル群は、可分部分群と縮約部分群の直和である。実際、どの群にも唯一の最大の可分部分群が存在し、この可分部分群は直和項である。[ 8 ]これは、整数Zなどの遺伝環の特殊な特徴である。環はノイザンであるため、入射加群の直和は入射的であり、環は遺伝的であるため、入射項の商は入射的であり、そのため、入射加群によって生成される任意の部分加群は入射的である。逆は ( Matlis 1958 )の結果である。つまり、すべての加群に唯一の最大入射部分加群がある場合、環は遺伝的である。

可算な簡約周期アーベル群の完全な分類はウルムの定理によって与えられる。

一般化

可分群を可分加群に一般化する定義はいくつかある。文献では、環R上の可分加群Mを定義するために、以下の定義が用いられてきた。

  1. Rのすべての非零rに対してrM = M が成り立つ。[ 9 ] （ rは零因子ではないことが要求される場合があり、一部の著者[ 10 ]はRが定義域であることを要求している。）
  2. 任意の主左イデアルRaに対して、RaからMへの準同型はRからMへの準同型に拡張される。[ 11 ] [ 12 ] （このタイプの可分モジュールは主入射モジュールとも呼ばれる。）
  3. Rの有限生成左イデアルLごとに、 LからMへの準同型はRからMへの準同型に拡張されます。

最後の2つの条件は、入射加群に対するベールの基準の「制限版」である。入射左加群はすべての左イデアルからRへの準同型写像を拡張するため、入射加群は第2の意味でも第3の意味でも明らかに分割可能である。

Rがさらに定義域である場合、3つの定義はすべて一致する。Rが主左イデアル定義域である場合、可分加群は単射加群と一致する。[ 13 ]したがって、主イデアル定義域である整数環Zの場合、Z加群（これはまさにアーベル群である）が可分となるのは、それが単射となる場合のみである。

Rが可換域ならば、Rの入射加群はRの可分加群と一致するのはRがデデキント域である場合に限る。[ 13 ]

参照

注記

  1. ^グリフィス、6ページ
  2. ^ホール、197ページ
  3. ^グリフィス、17ページ
  4. ^グリフィス、19ページ
  5. ^ラング、106ページ
  6. ^カプランスキー 1965 .
  7. ^フックス 1970 .
  8. ^グリフィス、7ページ
  9. ^ファイゲルストック 2006 .
  10. ^カルタン＆アイレンバーグ 1999 .
  11. ^ラム 1999 .
  12. ^ニコルソンとユーシフ、2003 年。
  13. ^ a bラム 1999、p.70—73。

参考文献

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