ディクスミア痕跡

数学において、ディクスミア・トレース（Dixmier trace ）は、ジャック・ディクスミア （1966 ）によって導入された、トレース類作用素の空間よりも広いヒルベルト空間上の線型作用素の空間上の非正規トレースである。ディクスミア・トレースは特異トレースの例である。

ディクスミアトレースの非可換幾何学への応用については、（Connes 1994）で説明されている。

意味

Hがヒルベルト空間ならば、 L 1,∞ ( H )はH上のコンパクト線型作用素Tの空間であり、ノルム

‖T‖1、∞＝すする北∑私＝1北μ私（T）ログ⁡（北）{\displaystyle \|T\|_{1,\infty }=\sup _{N}{\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}

は有限であり、ここでμ i ( T ) は降順に並べられた | T |の固有値である。

1つの北＝∑私＝1北μ私（T）ログ⁡（北）{\displaystyle a_{N}={\frac {\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}。

TのディクスミアトレースTr ω ( T )は、 L 1,∞ ( H ) の正作用素Tに対して次のように定義される。

Trω⁡（T）＝リムω1つの北{\displaystyle \operatorname {Tr} _{\omega }(T)=\lim _{\omega }a_{N}}

ここで、lim ωは通常の極限のスケール不変な正の「拡張」であり、すべての有界列に適用されます。言い換えると、lim ω は以下の性質を持ちます。

  • すべてのα n ≥ 0 の場合、 lim ω ( α n ) ≥ 0 (正)
  • lim ω ( α n ) = lim( α n ) 通常の極限が存在する場合は常に
  • lim ω ( α 1 , α 1 , α 2 , α 2 , α 3 , ...) = lim ω ( α n ) (スケール不変性)

このような拡張は数多く存在する（例えば、 α 1、α 2、α 4、α 8、…の バナッハ極限など）。したがって、ディクスミアトレースも多種多様である。ディクスミアトレースは線形であるため、線形性によってL 1,∞ ( H ) のすべての作用素に拡張される。ある作用素のディクスミアトレースが lim ωの選択に依存しない場合、その作用素は可測であると呼ばれる。

プロパティ

  • Tr ω ( T ) はTに関して線形です。
  • T ≥ 0 の場合、Tr ω ( T ) ≥ 0
  • Sが有界であればTr ω ( ST ) = Tr ω ( TS )
  • Tr ω ( T ) はH上の内積の選択に依存しません。
  • すべてのトレースクラス演算子Tに対してTr ω ( T ) = 0 ですが、 1 に等しいコンパクト演算子も存在します。

任意の有界増加有向正作用素族に対してφ (sup x α ) = sup  φ ( x α ) が成り立つとき、トレースφは正規トレースと呼ばれます。 上の任意の正規トレースは通常のトレースに等しいため、ディクスミアトレースは非正規トレースの例です。 L1、∞（H）{\displaystyle L^{1,\infty }(H)}

例

固有値が 1、1/2、1/3、... である コンパクトな自己随伴演算子のDixmier トレースは 1 になります。

正の演算子Tの固有値μ i が次のような性質を持つ とすると、

ζT（s）＝Tr⁡（Ts）＝∑μ私s{\displaystyle \zeta_{T}(s)=\operatorname{Tr}(T^{s})=\sum{\mu_{i}^{s}}}

Re( s )>1で収束し、s =1付近でs =1に最大で単純な極を持つ有理型関数に拡張される場合、 Tのディクスミアトレースはs =1における留数である（特にωの選択とは無関係である）。

Connes (1988)は、次数-dim(M)の多様体M上の擬微分作用素のWodzicki非可換剰余( Wodzicki 1984 )がそのDixmierトレースに等しいことを示した。

参考文献

参照

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