二重メルセンヌ数

二重メルセンヌ素数
既知の項の数	4
推定される項数	4
最初の項	7, 127, 2147483647
知られている最大の項	170141183460469231731687303715884105727
OEIS指数	A077586; a( n ) = 2^(2^素数( n ) − 1) − 1;

数学において、二重メルセンヌ数とは、が素数である形のメルセンヌ数です $M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$ $p$

例

二重メルセンヌ数列の最初の4項は^{[ 1 ]}（OEISの列A077586）です

M_{M_{2}}=M_{3}=7

M_{M_{3}}=M_{7}=127

M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647

M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727

二重メルセンヌ素数

二重メルセンヌ数が素数である場合、二重メルセンヌ素数と呼ばれます。メルセンヌ数M _pが素数となるのはp が素数である場合のみであるため（証明についてはメルセンヌ素数を参照）、二重メルセンヌ数が素数となるのはM _p自身がメルセンヌ素数である場合のみです。M _pが素数となる最初のpの値については、p = 2、3、5、7でが素数であることが知られています。一方、 p = 13、17、19、31 ではの因数が明示的に求められています。 $M_{M_{p}}$ $M_{M_{p}}$ $M_{M_{p}}$

$p$	$M_{p}=2^{p}-1$	$M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1$	因数分解 $M_{M_{p}}$
2	3	素数	7
3	7	素数（トリプル）	127
5	31	素数	2147483647
7	127	素数（4倍）	170141183460469231731687303715884105727
11	素数ではない	素数ではない	47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × …
13	8191	素数ではない	338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × …
17	131071	素数ではない	231733529 × 64296354767 × …
19	524287	素数ではない	62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × 4565880376922810768406683467841114102689 × …
23	素数ではない	素数ではない	2351 × 4513 × 13264529 × 285212639 × 76899609737 × …
29	素数ではない	素数ではない	1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 52006801325877583 × 4126110275598714647074087 × …
31	2147483647	素数ではない（三重メルセンヌ数）	295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × …
37	素数ではない	素数ではない
41	素数ではない	素数ではない
43	素数ではない	素数ではない
47	素数ではない	素数ではない
53	素数ではない	素数ではない
59	素数ではない	素数ではない
61	2305843009213693951	未知

したがって、次の二重メルセンヌ素数の最小候補は、つまり2 ^{2305843009213693951} − 1です。約1.695 × 10 ^{694127911065419641であるため、この数は現在知られている}素数判定には大きすぎます。1 × 10 ³⁶未満の素因数はありません。^[²^] 既知の4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらく存在しません。^[¹^]^[³^] $M_{M_{61}}$

（pはn番目の素数）の最小の素因数は $M_{M_{p}}$

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (次の項は > 1 × 10 ^{36 ) (}OEISの配列A309130 )

カタラン・メルセンヌ数予想

再帰的に定義された数列

c_{0}=2

c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}

はカタラン・メルセンヌ数列と呼ばれる。^{[ 4 ]}この数列の最初の項（OEISでは数列A007013）は次の通りである。

c_{0}=2

c_{1}=2^{2}-1=3

c_{2}=2^{3}-1=7

c_{3}=2^{7}-1=127

c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727

c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.45431\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.70942}}

カタランはこの数列を、 1876年にルーカスがの素数性を発見した後に発見した。^[¹^]^[⁵^]^[⁶^]^{p. 22}カタランは、それらが「ある限界まで」素数であると推測した。最初の5つの項は素数であるが、それ以降の項が（合理的な時間内に）素数であると証明できる既知の方法はない。その理由は、それらの項が大きすぎるからである。しかし、が素数でない場合は、ある小さな素数を法として計算する（再帰的べき乗剰余を使用）ことで、これを発見できる可能性がある。結果の剰余が0の場合、はの因数を表し、したがってその素数性は反証される。はメルセンヌ数なので、そのような素因数はの形式でなければならない。さらに、が合成数であるときは合成数なので、数列に合成項が発見されると、数列にそれ以上素数が存在する可能性は排除される。 $M_{127}=c_{4}$ $c_{5}$ $c_{5}$ $p$ $p$ $c_{5}$ $c_{5}$ $p$ $2kc_{4}+1$ $2^{n}-1$ $n$

が素数であれば、新メルセンヌ予想にも矛盾する。は合成数であり、因数はであることが知られている。^[⁷^] $c_{5}$ ${\frac {2^{c_{4}}+1}{3}}$ $886407410000361345663448535540258622490179142922169401=5209834514912200c_{4}+1$

大衆文化において

フューチュラマ映画『十億の背中を持つ野獣』では、二重メルセンヌ数が「ゴールドバッハ予想の初等的証明」の中で短時間だけ登場します。映画では、この数は「火星素数」として知られています $M_{M_{7}}$

参照

参考文献

^ ^a ^b ^cクリス・コールドウェル著『メルセンヌ素数：歴史、定理、 Prime Pagesのリスト』
^ 「Double Mersenne 61 ファクタリングステータス」www.doublemersennes.org . 2022年3月31日閲覧。
^ IJ Good. メルセンヌ数に関する予想. 計算数学第9巻 (1955年) p. 120-121 [2012年10月19日閲覧]
^ワイスタイン、エリック W. 「カタロニア語 - メルセンヌ数」。マスワールド。
^ “提案者への質問” .ヌーベル対応数学。2 : 94–96。1876年。（おそらく編集者が収集したものと思われる）。92番の質問と同様に、ほぼすべての質問にエドゥアール・リュカスの署名が入っています。
Prouver que 2 ⁶¹ − 1 et 2 ¹²⁷ − 1 Sont des nombres プレミア。 (É.L.) (*)。
編集者ウジェーヌ・カタランが書いた脚注（星印で示されています）は次のとおりです。
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on accept que 2 ² − 1, 2 ³ − 1, 2 ⁷ − 1 Sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à unesuree limite, si 2 ⁿ − 1 est un nombre premier p , 2 ^p − 1 est un nombre premier p '、2 ^{p '} − 1 est un nombre premier p" など。 Cette proposition a quelque Analie avec le théorème suivant, énonce par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: S in est une puissance de 2, 2 ⁿ + 1 番目の名高いプレミア(EC) 。
^ LE Dickson, History of the theory of numbers. Volume 1: Divisibility and primality (1919). Published by Washington, Carnegie Institution of Washington.
^新しいメルセンヌ予想

参考文献

ディクソン、LE（1971）[1919]、『数論の歴史』、ニューヨーク：チェルシー出版。

外部リンク

[Caldwell-1] クリス・コールドウェル著『メルセンヌ素数：歴史、定理、 Prime Pagesのリスト』

[2] 「Double Mersenne 61 ファクタリングステータス」www.doublemersennes.org . 2022年3月31日閲覧。

[3] IJ Good. メルセンヌ数に関する予想. 計算数学第9巻 (1955年) p. 120-121 [2012年10月19日閲覧]

[4] ワイスタイン、エリック W. 「カタロニア語 - メルセンヌ数」。マスワールド。

[5] “提案者への質問” .ヌーベル対応数学。2 : 94–96。1876年。（おそらく編集者が収集したものと思われる）。92番の質問と同様に、ほぼすべての質問にエドゥアール・リュカスの署名が入っています。
Prouver que 2 ⁶¹ − 1 et 2 ¹²⁷ − 1 Sont des nombres プレミア。 (É.L.) (*)。
編集者ウジェーヌ・カタランが書いた脚注（星印で示されています）は次のとおりです。
(*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on accept que 2 ² − 1, 2 ³ − 1, 2 ⁷ − 1 Sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à unesuree limite, si 2 ⁿ − 1 est un nombre premier p , 2 ^p − 1 est un nombre premier p '、2 ^{p '} − 1 est un nombre premier p" など。 Cette proposition a quelque Analie avec le théorème suivant, énonce par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: S in est une puissance de 2, 2 ⁿ + 1 番目の名高いプレミア(EC) 。

[6] LE Dickson, History of the theory of numbers. Volume 1: Divisibility and primality (1919). Published by Washington, Carnegie Institution of Washington.

[Hoegge-7] 新しいメルセンヌ予想

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