メルセンヌ素数
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メルセンヌ素数
名前の由来マラン・メルセンヌ
既知の用語の数52
推定される項数無限
の部分列メルセンヌ数
最初の学期3、7、31、127、8191​​​​​​​
最大の既知の用語2 136,279,841 − 1 (2024年10月12日)
OEIS指数
  • A000668
  • メルセンヌ素数（2^n - 1 の形式の素数）。

数学において、メルセンヌ素数（メルセンヌそくす）は、2のべき乗より1小さい素数です。つまり、ある整数nに対してM n = 2 n − 1の形の素数です。17世紀初頭にメルセンヌ素数を研究したフランスのミニストリー修道士、マラン・メルセンヌにちなんで名付けられました。 nが合成数であれば、 2 n − 1 も合成数です。したがって、メルセンヌ素数の同等の定義は、ある素数pに対してM p = 2 p − 1の形の素数である、ということです。

メルセンヌ素数を与える指数nは 2、3、5、7、13、17、19、31、... (OEIS のシーケンス A000043) であり、結果として得られるメルセンヌ素数は3、7、31、127、8191、131071、524287、2147483647、 ... ( OEISのシーケンスA000668 ) です。

素数である必要のないM n = 2 n − 1の形の数は、メルセンヌ数と呼ばれることがあります。しかし、メルセンヌ数は、nが素数であるという追加の条件付きで定義される場合もあります。指数nが素数である最小の合成メルセンヌ数は、 2 11 − 1 = 2047 = 23 × 89です。

メルセンヌ素数は、完全数との密接な関係から、古代から研究されてきました。ユークリッド・オイラーの定理は、偶数完全数とメルセンヌ素数の間に一対一の対応関係があることを主張しています。メルセンヌ数は素数であるか否かの判定が容易なため、既知の最大の素数の多くはメルセンヌ素数です。

2025年現在、52個のメルセンヌ素数が知られています。最大の素数である2の136,279,841 − 1はメルセンヌ素数です。[ 1 ] [ 2 ] 1997年以降、新たに発見されたメルセンヌ素数はすべて、分散コンピューティングプロジェクトであるGreat Internet Mersenne Prime Searchによって発見されています。2020年12月、1億未満の指数がすべて少なくとも1回はチェックされ、このプロジェクトにおける大きなマイルストーンが達成されました。[ 3 ]

メルセンヌ素数について

数学における未解決問題
メルセンヌ素数は無限に存在するのでしょうか?
数学におけるさらなる未解決問題

メルセンヌ素数に関する多くの根本的な疑問は未解決のままです。メルセンヌ素数の集合が有限か無限かさえ分かっていません。

レンストラ＝ポメランス＝ワグスタッフ予想は、メルセンヌ素数が無限に存在することを主張し、それらの増加順序と頻度を予測する。任意の数nに対して、平均して約p個の素数が存在し、そのn桁数は素数となる。ここで、γはオイラー＝マスケローニ定数である。 eγ⋅ログ2⁡（10）≈5.92{\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)\approx 5.92}Mp{\displaystyle M_{p}}

素指数を持つメルセンヌ数が無限個存在し、それらが合成数であるかどうかも分かっていませんが、これは素数に関する広く信じられている予想、例えば、3（mod 4 ）と合同なソフィー・ジェルマン素数が 無限に存在することから導かれます。これらの素数pについて、2 p + 1（これも素数です）はM pを割り切ります。例えば、23 | M 11、47 | M 23、167 | M 83、263 | M 131、359 | M 179 、383 | M 191 、479 | M 239 、503 | M 251 （ OEISのシーケンスA002515）などが挙げられます。これらの素数pについて、2 p + 1は 7 mod 8 と合同なので、 は 2 p + 1 を法として平方剰余となり、2 mod 2 p + 1 の乗法順序はを割り切れるはずです。pは素数なので、pか 1 でなければなりません。しかし、 であり、 1 には素因数がないので1 にはならず、 pでなければなりません。したがって、2 p + 1は を割り切れるので、素数にはなり得ません。最初の 4 つのメルセンヌ素数はM 2 = 3、M 3 = 7、M 5 = 31、およびM 7 = 127であり、最初のメルセンヌ素数はM 2から始まるので、すべてのメルセンヌ素数は 3 (mod 4) と合同です。 M 0 = 0とM 1 = 1以外のすべてのメルセンヌ数も 3 (mod 4) と合同です。したがって、メルセンヌ数 (  ≥ M 2 ) の素因数分解では 、3 (mod 4) と一致する素因数が少なくとも 1 つ存在する必要があります。 （2p+1）−12＝p{\textstyle {\frac {(2p+1)-1}{2}}=p}Φ1（2）＝1{\displaystyle \Phi _{1}(2)=1}Φp（2）＝2p−1{\displaystyle \Phi _{p}(2)=2^{p}-1}2p−1＝Mp{\displaystyle 2^{p}-1=M_{p}}

メルセンヌ数に関する基本定理は、 M p が素数であれば、指数p も素数でなければならないというものです。これは、次の恒等式から導か れます。これにより、 M 4 = 2 4 − 1 = 15 = 3 × 5 = (2 2 − 1) × (1 + 2 2 ) のような合成指数を持つメルセンヌ数は素数ではないことが示されます。 21つのb−1＝（21つの−1）⋅（1+21つの+221つの+231つの+⋯+2（b−1）1つの）＝（2b−1）⋅（1+2b+22b+23b+⋯+2（1つの−1）b）。{\displaystyle {\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}}

上記の例から、M pはすべての素数pに対して素数であると思われるかもしれないが、これは正しくなく、最小の反例はメルセンヌ数である。

M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 .

手近な証拠は、ランダムに選択されたメルセンヌ数が、同様の大きさの任意の奇数をランダムに選択した場合よりも素数である可能性がはるかに高いことを示唆している。[ 4 ]しかしながら、 M pの素値はpが増加するにつれてますますまばらになるように見える。例えば、pの最初の11個の素数のうち8個はメルセンヌ素数M p（メルセンヌの元のリストにおける正しい項）を生み出すが、 M p が素数となるのは最初の200万個の素数のうちわずか43個（最大32,452,843個）である。

メルセンヌ数は急速に増加するため、メルセンヌ素数の探索は困難な作業です。しかし、与えられたメルセンヌ数が素数かどうかを判定する単純で効率的なテスト、すなわちルーカス・レーマー素数判定（LLT）があります。このテストにより、メルセンヌ数の素数性は、同じサイズの他のほとんどの数よりもはるかに簡単に判定できます。既知の最大の素数の探索には、ある種のカルト的な支持があります。その結果、新たなメルセンヌ素数の探索に膨大な量のコンピュータ処理能力が費やされてきましたが、現在ではその多くが分散コンピューティングを用いて行われています。

メルセンヌ数を法とする演算は、バイナリコンピュータ上で特に効率的であり、パーク・ミラー乱数生成器のように素数を法とするものが求められる場合によく使用されます。メルセンヌ数位の原始多項式を求めるには、その数の因数分解を知る必要があるため、メルセンヌ素数を用いることで非常に高次の原始多項式を求めることができます。このような原始三項式は、メルセンヌツイスター、一般化シフトレジスタ、ラグドフィボナッチ生成器など、周期が非常に長い疑似乱数生成器で使用されます。

完全数

メルセンヌ素数M pは完全数と密接に関係しています。紀元前4世紀、ユークリッドは2 p − 1が素数ならば2 p − 1 (2 p − 1 ) は完全数であることを証明しました。18世紀、レオンハルト・オイラーは逆に、すべての偶数の完全数はこの形をとることを証明しました。[ 5 ]これはユークリッド・オイラーの定理として知られています。奇数の完全数が存在するかどうかは不明です。

歴史

2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311
最初の64個の素指数。メルセンヌ素数に対応するものは水色で太字で、メルセンヌが素数であると考えるものは赤色で太字で示されている。

メルセンヌ素数は、指数が 257 までのメルセンヌ素数のリストをまとめた 17 世紀のフランスの学者マラン・メルセンヌにちなんで名付けられました。1644 年にメルセンヌがリストした指数は次のとおりです。

2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257。

彼のリストは、当時知られていた素数を指数19まで再現していた。次の31番目の項目は正しかったが、その後リストは大きく不正確になった。メルセンヌはM 67とM 257（合成数）を誤って含め、M 61、M 89、M 107（素数）を省略したためである。メルセンヌはどのようにしてこのリストを作成したかについてほとんど言及していない。[ 6 ]

エドゥアール・リュカスは1876年にM 127 が確かに素数であることを証明しました。これは1951年にエメ・フェリエが卓上計算機を使用して、より大きな素数 を見つけるまで、75年間既知の最大の素数でした。[ 7 ] : 22ページ M 61は1883年にイヴァン・ミヘーヴィチ・ペルヴシンによって素数であると決定されましたが、メルセンヌはそれが合成数であると主張したため、ペルヴシン数と呼ばれることもあります。これは2番目に大きい既知の素数であり、1911年までその地位を維持しました。 1876年にルーカスは因数を見つけずにM 67 が合成数であることを実証することで、メルセンヌのリストの別の誤りを示しました。 1903年にフランク・ネルソン・コールが有名な講演をするまで、因数は見つかっていませんでした。[ 8 ]彼は一言も発することなく黒板に向かい、2を67乗し、1を引いて、147,573,952,589,676,412,927という数字を得ました。黒板の反対側では、193,707,721 × 761,838,257,287を掛けて同じ数字を得ましたが、その後、何も言わずに（拍手の中）席に戻りました。[ 9 ]彼は後に、この結果を見つけるのに「3年間の日曜日」を要したと述べています。[ 10 ]この数範囲のすべてのメルセンヌ素数の正しいリストが完成し、厳密に検証されたのは、メルセンヌがリストを発表してから約3世紀後のことでした。 （2148+1）/17{\displaystyle (2^{148}+1)/17}

メルセンヌ素数の探索

メルセンヌ素数を見つけるための高速アルゴリズムが利用可能であり、2024 年 10 月の時点で、既知の最大の素数7 つはメルセンヌ素数です。

最初の4つのメルセンヌ素数M 2 = 3、M 3 = 7、M 5 = 31、およびM 7 = 127は、古代から知られていました。5番目のM 13 = 8191は、1461年より前に匿名で発見されました。次の2つ ( M 17とM 19 ) は、1588年にピエトロ・カタルディによって発見されました。約2世紀後の1772年、M 31はレオンハルト・オイラーによって素数であると検証されました。次 (番号順ではなく歴史的な順) はM 127で、1876年にエドゥアール・リュカスによって発見され、その後M 61が1883年にイヴァン・ミヘーヴィチ・ペルヴシンによって発見されました。さらに2つ ( M 89とM 107 ) は、20世紀初頭にそれぞれ1911年と1914年にREパワーズによって発見されました。

メルセンヌ数の素数性を判定する現在最も効率的な方法は、ルーカス・レーマー素数性判定である。具体的には、素数p > 2に対して、M p = 2 p − 1が素数となるのは、 M p がS p − 2を割り切る場合のみである。ただし、 S 0 = 4であり、k > 0に対してS k = ( S k − 1 ) 2 − 2 である。

手計算の時代には、257までの未検証の指数はすべてルーカス・レーマー検定によって検定され、合成数であることが確認されました。注目すべき貢献は、引退したイェール大学物理学教授ホレス・スカダー・ウーラーによるもので、彼は指数157、167、193、199、227、そして229の計算を行いました。[ 11 ]これらの研究者にとって残念なことに、彼らが検定していた区間には、メルセンヌ素数間の相対的な差がこれまでで最大でした。次のメルセンヌ素数指数である521は、これまでの記録である127の4倍以上の大きさになります。

電子化時代における、既知の最大のメルセンヌ素数の桁数を年ごとに表したグラフ。縦軸は桁数の対数であり、素数の値の関数となっている。ログ⁡（ログ⁡（y））{\displaystyle \log(\log(y))}

メルセンヌ素数の探索は、電子デジタルコンピュータの導入によって革命をもたらした。アラン・チューリングは1949年にマンチェスター・マーク1で素数探索を行ったが[ 12 ] 、この手段によるメルセンヌ素数の特定に初めて成功したのは1952年1月30日午後10時、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）数値解析研究所の米国規格協会西部自動計算機（SWAC）を使用し、 DHレーマーの指導の下、 RMロビンソン教授が作成、実行したコンピュータ探索プログラムを用いて行われた。これは38年ぶりに特定されたメルセンヌ素数であった。次のメルセンヌ素数M 607は、その2時間弱後にコンピュータによって発見された。さらに数か月のうちに、 M 1279、M 2203、M 2281の3つの素数が 同じプログラムによって発見された。M 4,423は1,000桁を超える最初の素数として発見され、M 44,497は10,000桁を超える最初の素数として発見され、M 6,972,593は100万桁を超える最初の素数として発見されました。一般に、 M nの10進数表現の桁数は⌊ n × log 10 2⌋ + 1に等しく、ここで⌊ x ⌋ は床関数（または⌊log 10 M n ⌋ + 1） を表します。

2008年9月、UCLAの数学者たちは、巨大インターネット・メルセンヌ素数探索（GIMPS）に参加し、ほぼ1300万桁のメルセンヌ素数の発見により、電子フロンティア財団から10万ドルの賞金の一部を獲得しました。この賞金は2009年10月に最終的に承認され、1000万桁以上の桁数を持つ最初の素数に贈られます。この素数は2008年8月23日にDell OptiPlex 745で発見されました。これはUCLAで発見された8番目のメルセンヌ素数でした。[ 13 ]

2009年4月12日、GIMPSのサーバーログに、47番目のメルセンヌ素数が発見された可能性があると報告されました。この発見は2009年6月4日に初めて確認され、1週間後に確認されました。素数は2 42,643,801 − 1です。時系列的には47番目に発見されたメルセンヌ素数ですが、当時最大のメルセンヌ素数であった45番目よりも小さい値です。

2013年1月25日、セントラルミズーリ大学の数学者カーティス・クーパーは、 GIMPSサーバーネットワークによる検索の結果として、48番目のメルセンヌ素数2^ 57,885,161−1 （ 17,425,170桁の数）を発見した。 [ 14 ]

2016年1月19日、クーパーはGIMPSサーバーネットワークによる検索の結果として、49番目のメルセンヌ素数2の74,207,281-1（22,338,618桁の数）を発見したことを発表しました。[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]これは、クーパーと彼のチームが過去10年間に発見した4番目のメルセンヌ素数でした。

2016年9月2日、インターネットのメルセンヌ素数探索プロジェクトは、 M 37,156,667以下のすべてのテストの検証を完了し、45番目のメルセンヌ素数であることが正式に確認されました。[ 18 ]

2018年1月3日、テネシー州ジャーマンタウンに住む51歳の電気技師、ジョナサン・ペース氏が、GIMPSサーバーネットワークによる検索の結果、50番目のメルセンヌ素数である2の77,232,917-1（23,249,425桁の数）を発見したことが発表されました。[ 19 ]この発見は、同じ町にある教会の事務所にあるコンピューターによって行われました。[ 20 ] [ 21 ]

2018年12月21日、インターネット・メルセンヌ素数探索プロジェクト（GIMPS）が、24,862,048桁の新しい素数2^ 82,589,933−1を発見したと発表されました。この発見は、フロリダ州オカラのパトリック・ラロッシュ氏がボランティアで提供したコンピュータによって、2018年12月7日に行われました。[ 22 ]

2020年後半、GIMPSは、2017年のRobert Gerbiczの開発と、2018年にKrzysztof Pietrzakによって開発されたテストを検証する簡単な方法に基づいて、潜在的なメルセンヌ素数を除外するための新しい手法であるProbable prime (PRP)テストの使用を開始しました。エラー率が低く証明が容易なため、これにより、ルーカス・レーマーテストに比べて潜在的な素数を除外するための計算時間がほぼ半分に短縮されました（2人のユーザーがもう1人の結果を確認するために同じテストを実行する必要がなくなったため）。ただし、PRPテストに合格した指数は、依然として素数であることを確認する必要があります。[ 23 ]

2024年10月12日、カリフォルニア州サンノゼ在住のルーク・デュラントというユーザーが、現在知られている最大のメルセンヌ素数である2の136,279,841 − 1を発見しました。この素数は41,024,320桁です。これは指数が8桁を超える初のメルセンヌ素数です。この発表は2024年10月21日に行われました。[ 24 ]

メルセンヌ数に関する定理

メルセンヌ数は 0、1、3、7、15、31、63、... ( OEISのシーケンスA000225 ) です。

  1. aとp が自然数でa p − 1 が素数である場合、 a = 2またはp = 1 となります。
    • 証明: a ≡ 1 ( mod a − 1)。するとa p ≡ 1 ( mod a − 1)となるので、a p − 1 ≡ 0 ( mod a − 1)。したがってa − 1 | a p − 1。しかし、 a p − 1 は素数であるため、a − 1 = a p − 1またはa − 1 = ±1 となります。前者の場合、a = a pであるため、a = 0, 1 ( -1 も 0 も素数ではないため、これは矛盾です) またはp = 1となります。後者の場合、a = 2またはa = 0となります。ただし、 a = 0の場合、0 p − 1 = 0 − 1 = -1 となり、これは素数ではありません。したがって、a = 2 となります。
  2. 2 p − 1が素数であれば、pも素数です。
    • 証明：pが合成数であると仮定すると、 aおよびb > 1でp = abと書ける。すると2 p − 1 = 2 ab − 1 = (2 a ) b − 1 = (2 a − 1) ( (2 a ) b −1 + (2 a ) b −2 + ... + 2 a + 1 )となり、2 p − 1は合成数である。対偶により、2 p − 1が素数ならばpも素数である。
  3. pが奇数の素数である場合、 2 p − 1を割り切るすべての素数q は、必ず 1 と2 pの倍数でなければならない。これは2 p − 1が素数であっても成り立つ。
    • 例えば、2 5 − 1 = 31は素数であり、31 = 1 + 3 × (2 × 5)です。複合例としては、2 11 − 1 = 23 × 89があり、23 = 1 + (2 × 11)であり、89 = 1 + 4 × (2 × 11)です。
    • 証明:フェルマーの小定理により、qは2 q −1 − 1の因数です。qは2 p − 1の因数なので、すべての正の整数cに対して、qは2 pc − 1の因数でもあります。pは素数でqは2 1 − 1の因数ではないので、pはqが2 x − 1の因数となる最小の正の整数xでもあります。結果として、すべての正の整数xについて、pがxの因数である場合に限り、 qは2 x − 1の因数です。したがって、qは2 q −1 − 1の因数なので、pはq − 1の因数であり、q ≡ 1 (mod p )です。さらに、qは2 p − 1の因数であり、これは奇数なので、qは奇数です。したがって、q ≡ 1 (mod 2 p )です。
    • この事実は、素数が無限であることを主張するユークリッドの定理の証明につながります。これは、ユークリッドによって書かれた証明とは異なります。つまり、すべての奇数の素数pに対して、 2 p − 1を割り切るすべての素数はpよりも大きいため、特定の素数よりも大きな素数が常に存在します。
    • この事実から、 p > 2 のすべての素数に対して、何らかの整数kに対して、 2 kp +1より小さいかM pに等しい形式の素数が少なくとも 1 つ存在することがわかります。
  4. pが奇数の素数の場合、 2 p − 1を割り切るすべての素数qは±1 (mod 8)と合同です。
    • 証明: 2 p +1 ≡ 2 (mod q )なので、2 ⁠1/2⁠ (p+1)は2 の mod qの平方根です。二次の相互性、2 が平方根を持つすべての素数は、±1 (mod 8)。
  5. メルセンヌ素数はヴィーフェリッヒ素数にはなり得ません。
    • 証明： p = 2 m − 1がメルセンヌ素数である場合、合同式2 p −1 ≡ 1 (mod p 2 )は成立しないことを示す。フェルマーの小定理より、m | p − 1 。したがって、 p − 1 = mλと書くことができる。与えられた合同式が満たされる場合、p 2 | 2 mλ − 1となるので、0 ≡ ⁠2 mλ − 1/2 m − 1⁠ = 1 + 2 m + 2 2 m + ... + 2 ( λ − 1) m ≡ λ mod (2 m − 1)。したがってp | λとなり、 −1 = 0 (mod p)となり、これは不可能です。
  6. mとnが自然数であるとき、 mとnが互いに素であるためには、2 m − 1と2 n − 1が互いに素でなければならない。したがって、素数は最大で1つの素指数メルセンヌ数を割り切れる。[ 25 ]つまり、有害なメルセンヌ数の集合は互いに素である。
  7. pと2p +1が両方とも素数（つまりpがソフィー・ジェルマン素数）であり、pが3（mod 4）と合同である場合、2p +1は2p −1を割り切れる。[ 26 ]
    • 例: 11 と 23 はどちらも素数で、11 = 2 × 4 + 3なので、 23 は2 11 − 1を割り切ります。
    • 証明: q を2 p + 1とします。フェルマーの小定理により、2 2 p ≡ 1 (mod q )なので、2 p ≡ 1 (mod q )か2 p ≡ −1 (mod q )のいずれかです。後者が正しいと仮定すると、2 p +1 = (2 ⁠1/2⁠ ( p + 1) ) 2 ≡ −2 (mod q )qを法とする平方剰余になります。しかし、p3 (mod 4)と合同な、q7 (mod 8)と合同で、したがって 2 はq。また、q3 (mod 4)と合同なqを法とする平方非剰余なので、 −2 は剰余と非剰余の積であり、したがって非剰余であり、これは矛盾です。したがって、前者の合同は真でなければならず、2 p + 1M pを割り切ります。
  8. 素指数メルセンヌ数のすべての合成約数は、底 2 の強擬素数です。
  9. 1を除いて、メルセンヌ数は完全冪にはなり得ません。つまり、ミハイレスクの定理によれば、方程式2 m − 1 = n kには、 m > 1かつk > 1の整数m、n、kに対して解は存在しません。
  10. メルセンヌ数列はルーカス数列の族に属する。U n (3, 2)である。すなわち、メルセンヌ数m n = 3 m n −1 − 2 m n −2であり、 m 0 = 0かつm 1 = 1である。

既知のメルセンヌ素数のリスト

2024年現在、52個の既知のメルセンヌ素数は、次のpに対して2 p − 1です。

2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、216091、756839、859433、1257787、1398269、2976221、3021377、6972593、13466917、 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, 136279841. ( OEISの配列A000043 )

合成メルセンヌ数の因数分解

メルセンヌ素数は素数なので、1 とそれ自身でのみ割り切れます。ただし、すべてのメルセンヌ数がメルセンヌ素数というわけではありません。メルセンヌ数は特殊数体ふるいアルゴリズムの非常に良いテストケースであるため、このアルゴリズムで因数分解された最大の数はメルセンヌ数であることが多いです。2019年6月現在、2 1,193 − 1が記録保持者であり、[ 27 ]一度に複数の数を因数分解できる特殊数体ふるいの変種を使用して因数分解されています。詳細については、整数因数分解記録のリンクを参照してください。特殊数体ふるいは、複数の大きな因数を持つ数を因数分解できます。数に非常に大きな因数が1つしかない場合は、最初に小さな因数を見つけ、次に余因数に対して素数性テストを実行することで、他のアルゴリズムでより大きな数を因数分解できます。 2022年9月現在、完全に因数分解された最大の数（可能性のある素因数を許容）は2 12,720,787 − 1 = 1,119,429,257 × 175,573,124,547,437,977 × 8,480,999,878,421,106,991 × qである。ここでqは3,829,294桁の可能性のある素数である。これは「Funky Waddle」というニックネームを持つGIMPS参加者によって発見された。[ 28 ] [ 29 ] 2022年9月現在、メルセンヌ数M 1277は因数が知られていない最小の合成メルセンヌ数である。2 68未満の素因数は存在せず、[ 30 ] 10 65（約2 216 ）未満の因数を持つことは非常にまれである。[ 31 ]

以下の表は、指数pが素数 ( OEISのシーケンスA244453 ) である最初の 20 個の合成メルセンヌ数の因数分解を示しています。

pM p数字 M pの因数分解
11 2047 4 23 × 89
23 8388607 7 47 × 178,481
29 536870911 9 233 × 1,103 × 2,089
37 137438953471 12 223 × 616,318,177
41 2199023255551 13 13,367 × 164,511,353
43 8796093022207 13 431 × 9,719 × 2,099,863
47 140737488355327 15 2,351 × 4,513 × 13,264,529
53 9007199254740991 16 6,361 × 69,431 × 20,394,401
59 576460752303423487 18 179,951 × 3,203,431,780,337 (13桁)
67 147573952589676412927 21 193,707,721 × 761,838,257,287 (12桁)
71 2361183241434822606847 22 228,479 × 48,544,121 × 212,885,833
73 9444732965739290427391 22 439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13桁)
79 604462909807314587353087 24 2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13桁)
83 9671406556917033397649407 25 167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23桁)
97 158456325028528675187087900671 30 11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26桁)
101 2535301200456458802993406410751 31 7,432,339,208,719（13桁）×341,117,531,003,194,129（18桁）
103 10141204801825835211973625643007 32 2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22桁)
109 649037107316853453566312041152511 33 745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24桁)
113 10384593717069655257060992658440191 35 3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 (16桁)
131 2722258935367507707706996859454145691647 40 263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38桁)

最初の 500 個のメルセンヌ数の因数の数は、( OEISのシーケンスA046800 ) で確認できます。

自然界やその他の場所におけるメルセンヌ数

数学の問題「ハノイの塔」では、 n枚の円盤を使ったパズルを解くのに、間違いがないと仮定するとMnステップかかります。 [ 32 ]小麦とチェス盤の問題では、チェス盤全体の米粒の数はM64です。[ 33 ]

小惑星番号8191を持つ小惑星は、8191がメルセンヌ素数であるため、マリン・メルセンヌにちなんで8191メルセンヌと名付けられました。 [ 34 ]

幾何学において、偶数辺が2のべき乗（≥ 4）である 原始整数 直角三角形は、その内接円が常にメルセンヌ数となるような唯一の直角三角形を生成する。例えば、偶数辺が2 n  + 1の場合、原始三角形であるため、奇数辺は4 n  − 1、斜辺は4 n  + 1 、内接円は2 n  − 1となる。[ 35 ]

幾何学においても、基本正多面体とその双対（交代を除く）の切断操作によって形成される多面体族に属する多面体の数はM nに等しい（nは基本多面体の次元）。例えば、テッセラクトとその双対であるヘキサデカクロンは、切断操作によって形成される族にM 4 = 15個の異なる多面体を持つ。[ 36 ]

メルセンヌ・フェルマー素数

メルセンヌ・フェルマー数は次のように定義される。2 p r − 1/2 p r − 1 − 1⁠ で、 p は素数、 r は自然数であり、 MF( p , r )と表記される。r = 1のとき、メルセンヌ数である。p = 2 のとき、フェルマー数である。r > 1のメルセンヌ・フェルマー素数は、以下の数のみが知られている 。

MF(2, 2)、MF(2, 3)、MF(2, 4)、MF(2, 5)、MF(3, 2)、MF(3, 3)、MF(7, 2)、およびMF(59, 2)。[ 37 ]

実際、MF( p , r )= Φpr (2)であり、ここでΦは円分多項式である。

一般化

最も単純な一般化メルセンヌ素数はf (2 n )の形式の素数であり、ここでf ( x )は小さな整数係数を持つ低次多項式である。[ 38 ]一例としては2 64 − 2 32 + 1があり、この場合はn = 32、f ( x ) = x 2 − x + 1である。別の例としては2 192 − 2 64 − 1があり、この場合はn = 64、f ( x ) = x 3 − x − 1 である。

2 n − 1の形の素数をb n − 1の形の素数（b ≠ 2かつn > 1 ）に一般化しようとするのも自然なことです。しかし（上記の定理も参照）、b n − 1は常にb − 1で割り切れるので、後者が単位数でない限り、前者は素数ではありません。この問題は、 b を整数ではなく代数的整数とする ことで解決できます。

複素数

実数上の整数環において、b − 1が単位元ならば、bは 2 か 0 のいずれかとなる。しかし、2 n − 1は通常のメルセンヌ素数であり、式0 n − 1は何も興味深い結果をもたらさない（n > 0の場合には常に −1 となるため）。したがって、ガウス整数やアイゼンシュタイン整数のような、実数ではなく複素数上の「整数」環とみなすことができる。

ガウスメルセンヌ素数

ガウス整数環を考えると、 b = 1 + iかつb = 1 − iとなり、( WLOG ) でnに対して数(1 + i ) n − 1がガウス素数となる場合を求めることができ、このガウス素数はガウスメルセンヌ素数と呼ばれる。[ 39 ]

(1 + i ) n − 1は次のnに対してガウス素数である。

2、3、5、7、11、19、29、47、73、79、113、151、157、163、167、239、241、283、353、367、379、457、997、1367、3041、10141、14699、27529、49207、77291、85237、106693、160423、203789、364289、991961、1203793、1667321、3704053、4792057、...（配列A057429 OEISにおいて​

通常のメルセンヌ素数の指数列と同様に、この列には（有理）素数のみが含まれます。

すべてのガウス素数と同様に、これらの数のノルム（つまり絶対値の平方）は有理数素数です。

5、13、41、113、2113、525313、536903681、140737471578113、...（OEISの配列A182300）。

アイゼンシュタインのメルセンヌ素数

このようなメルセンヌ素数がアイゼンシュタイン素数でもある場合があり、その場合、 b = 1 + ωおよびb = 1 − ωの形をとります。このような数はアイゼンシュタイン・メルセンヌ素数と呼ばれます。

(1 + ω ) n − 1は次のnに対してアイゼンシュタイン素数である。

2、5、7、11、17、19、79、163、193、239、317、353、659、709、1049、1103、1759、2029、5153、7541、9049、10453、23743、255361、534827、2237561、…（OEISの配列A066408）

これらのアイゼンシュタイン素数のノルム（つまり絶対値の平方）は有理数素数です。

7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... ( OEISの配列A066413 )

整数を割る

レプニット素数

b n − 1は常にb − 1で割り切れるという事実に対処するもう一つの方法は、この因数を単に取り除き、nのどの値が

bn−1b−1{\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}

は素数です。(整数b は正でも負でもかまいません。) たとえば、b = 10とすると、次のn個の値が得られます。

2、19、23、317、1031、49081、86453、109297、270343、...（OEISのシーケンスA004023）は、素数 11、111111111111111111、111111111111111111111、...（OEISのシーケンスA004022）に相当します。

これらの素数はレプユニット素数と呼ばれます。別の例として、 b = −12とすると、n個の値は以下のようになります。

2、5、11、109、193、1483、11353、21419、21911、24071、106859、139739、...（OEISのシーケンスA057178）、素数-11、19141、57154490053、...に対応します。

完全べき乗ではない任意の整数bに対して、 nの値は無限に存在するという予想がある。b n − 1/b − 1⁠は素数です。（ bが完全べき乗のとき、 n の値は最大で 1 つしか存在しないことが示されます。⁠b n − 1/b − 1⁠は素数です）

最小のnは、 ⁠b n − 1/b − 1⁠は素数です（ b = 2から始まり、そのようなnが存在しない場合は0 になります）

2、3、2、3、2、5、3、0、2、17、2、5、3、3、2、3、2、19、3、3、2、5、3、0、7、3、2、5、2、7、0、3、13、313、2、13、3、349、2、3、2、5、5、19、2、127、19、0、3、4229、2、11、3、17、7、3、2、3、2、7、3、5、0、19、2、19、5、3、2、3、2、...（シーケンスOEISのA084740）

負の基数bの場合、（ b = −2から始まり、そのようなnが存在しない場合は0 となる）

3、2、2、5、2、3、2、3、5、5、2、3、2、3、3、7、2、17、2、3、3、11、2、3、11、0、3、7、2、109、2、5、3、11、31、5、2、3、53、17、2、5、2、103、7、5、2、7、1153、3、7、21943、2、3、37、53、3、17、2、7、2、3、0、19、7、3、2、11、3、5、2、...（シーケンスOEISのA084742 ）（このOEISシーケンスではn = 2が許可されていないことに注意してください）

最小の底bで、⁠b素数( n ) − 1/b − 1⁠素数です

2、2、2、2、5、2、2、2、10、6、2、61、14、15、5、24、19、2、46、3、11、22、41、2、12、22、3、2、12、86、2、7、13、11、5、29、56、30、44、60、304、5、74、118、33、156、46、183、72、606、602、223、115、37、52、104、41、6、338、217、...（シーケンスA066180のOEIS ）​

負の基数bの場合、

3、2、2、2、2、2、2、2、2、2、7、2、16、61、2、6、10、6、2、5、46、18、2、49、16、70、2、5、6、12、92、2、48、89、30、16、147、19、19、2、16、11、289、2、12、52、2、66、9、22、5、489、69、137、16、36、96、76、117、26、3、...（OEISのシーケンスA103795）

その他の一般化メルセンヌ素数

もう一つの一般化されたメルセンヌ数は

1つのn−bn1つの−b{\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}}}

ここで、 a、b は互いに素な整数で、a > 1 かつ− a < b < aです。( a n − b nは常にa − bで割り切れるので、素数を見つけるには割り算が必要です。) [ a ] どのn がこの数を素数にするか尋ねることができます。そのようなnは、それ自体が素数であるか 4 に等しい必要があり、a + b = 1かつa 2 + b 2が素数の場合にのみn が4 になることがわかります。[ b ]任意のrに対してaとbが両方とも完全r乗ではなく、−4 abが完全4 乗ではないような任意のペア( a、b )に対して、次の条件を満たすnの値が無限に存在すると予想されます。 ⁠a n − b n/a − b⁠は素数である。 [ c ]しかし、これは( a , b )の任意の単一の値に対して証明されていません。

詳細については、[ 40 ] [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]を参照。
1つのb⁠となる数na n − b n/a − b⁠は素数です（いくつかの大きな項はおそらく素数。これらのnは、 | b | ≤ 5または| b | = a − 1の場合は100000まで、 5 < | b | < a − 1の場合は20000までチェックされます） OEISシーケンス
2 1 2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、216091、756839、859433、1257787、1398269、2976221、3021377、6972593、13466917、 20996011、24036583、25964951、30402457、32582657、37156667、42643801、43112609、57885161、...、74207281、...、77232917、...、82589933、...、136279841、... A000043
2 −1 3、4 *、5、7、11、13、17、19、23、31、43、61、79、101、127、167、191、199、313、347、701、1709、2617、3539、5807、10501、10691、11279、12391、14479、42737、83339、95369、117239、127031、138937、141079、267017、269987、374321、986191、4031399、 ...、13347311、13372531、... A000978
3 2 2、3、5、17、29、31、53、59、101、277、647、1061、2381、2833、3613、3853、3929、5297、7417、90217、122219、173191、256199、336353、485977、591827、1059503、... A057468
3 1 3、7、13、71、103、541、1091、1367、1627、4177、9011、9551、36913、43063、49681、57917、483611、877843、... A028491
3 −1 2 *、3、5、7、13、23、43、281、359、487、577、1579、1663、1741、3191、9209、11257、12743、13093、17027、26633、104243、134227、152287、700897、1205459、... A007658
3 −2 3、4 *、7、11、83、149、223、599、647、1373、8423、149497、388897、... A057469
4 3 2、3、7、17、59、283、311、383、499、521、541、599、1193、1993、2671、7547、24019、46301、48121、68597、91283、131497、148663、184463、341233、... A059801
4 1 2（その他なし）
4 −1 2 *、 3 (その他なし)
4 −3 3、5、19、37、173、211、227、619、977、1237、2437、5741、13463、23929、81223、121271、... A128066
5 4 3、43、59、191、223、349、563、709、743、1663、5471、17707、19609、35449、36697、45259、91493、246497、265007、289937、... A059802
5 3 13、19、23、31、47、127、223、281、2083、5281、7411、7433、19051、27239、35863、70327、... A121877
5 2 2、5、7、13、19、37、59、67、79、307、331、599、1301、12263、12589、18443、20149、27983、... A082182
5 1 3、7、11、13、47、127、149、181、619、929、3407、10949、13241、13873、16519、201359、396413、1888279、... A004061
5 −1 5、67、101、103、229、347、4013、23297、30133、177337、193939、266863、277183、335429、... A057171
5 −2 2 *、3、17、19、47、101、1709、2539、5591、6037、8011、19373、26489、27427、... A082387
5 −3 2 *、3、5、7、17、19、109、509、661、709、1231、12889、13043、26723、43963、44789、... A122853
5 −4 4 *、5、7、19、29、61、137、883、1381、1823、5227、25561、29537、300893、... A128335
6 5 2、5、11、13、23、61、83、421、1039、1511、31237、60413、113177、135647、258413、... A062572
6 1 2、3、7、29、71、127、271、509、1049、6389、6883、10613、19889、79987、608099、... A004062
6 −1 2 *、3、11、31、43、47、59、107、811、2819、4817、9601、33581、38447、41341、131891、196337、... A057172
6 −5 3、4 *、5、17、397、409、643、1783、2617、4583、8783、... A128336
7 6 2、3、7、29、41、67、1327、1399、2027、69371、86689、355039、... A062573
7 5 3、5、7、113、397、577、7573、14561、58543、... A128344
7 4 2、5、11、61、619、2879、2957、24371、69247、... A213073
7 3 3、7、19、109、131、607、863、2917、5923、12421、… A128024
7 2 3、7、19、79、431、1373、1801、2897、46997、… A215487
7 1 5、13、131、149、1699、14221、35201、126037、371669、1264699、... A004063
7 −1 3、17、23、29、47、61、1619、18251、106187、201653、... A057173
7 −2 2 *、5、23、73、101、401、419、457、811、1163、1511、8011、... A125955
7 −3 3、13、31、313、3709、7933、14797、30689、38333、... A128067
7 −4 2 *、3、5、19、41、47、8231、33931、43781、50833、53719、67211、... A218373
7 −5 2 *、11、31、173、271、547、1823、2111、5519、7793、22963、41077、49739、... A128337
7 −6 3、53、83、487、743、… A187805
8 7 7、11、17、29、31、79、113、131、139、4357、44029、76213、83663、173687、336419、615997、... A062574
8 5 2、19、1021、5077、34031、46099、65707、... A128345
8 3 2、3、7、19、31、67、89、9227、43891、… A128025
8 1 3（その他なし）
8 −1 2 * (その他なし)
8 −3 2 *、5、163、191、229、271、733、21059、25237、... A128068
8 −5 2 *、7、19、167、173、223、281、21647、... A128338
8 −7 4 *、7、13、31、43、269、353、383、619、829、877、4957、5711、8317、21739、24029、38299、... A181141
9 8 2、7、29、31、67、149、401、2531、19913、30773、53857、170099、... A059803
9 7 3、5、7、4703、30113、… A273010
9 5 3、11、17、173、839、971、40867、45821、… A128346
9 4 2（その他なし）
9 2 2、3、5、13、29、37、1021、1399、2137、4493、5521、... A173718
9 1 （なし）
9 −1 3、59、223、547、773、1009、1823、3803、49223、193247、703393、... A057175
9 −2 2 *、3、7、127、283、883、1523、4001、... A125956
9 −4 2 *、3、5、7、11、17、19、41、53、109、167、2207、3623、5059、5471、7949、21211、32993、60251、... A211409
9 −5 3、5、13、17、43、127、229、277、6043、11131、11821、... A128339
9 −7 2 *、3、107、197、2843、3571、4451、…、31517、… A301369
9 −8 3、7、13、19、307、619、2089、7297、75571、76103、98897、... A187819
10 9 2、3、7、11、19、29、401、709、2531、15787、66949、282493、... A062576
10 7 2、31、103、617、10253、10691、… A273403
10 3 2、3、5、37、599、38393、51431、… A128026
10 1 2、19、23、317、1031、49081、86453、109297、270343、... A004023
10 −1 5、7、19、31、53、67、293、641、2137、3011、268207、... A001562
10 −3 2 *、3、19、31、101、139、167、1097、43151、60703、90499、... A128069
10 −7 2 *、3、5、11、19、1259、1399、2539、2843、5857、10589、...
10 −9 4 *、7、67、73、1091、1483、10937、... A217095
11 10 3、5、19、311、317、1129、4253、7699、18199、35153、206081、... A062577
11 9 5、31、271、929、2789、4153、… A273601
11 8 2、7、11、17、37、521、877、2423、... A273600
11 7 5、19、67、107、593、757、1801、2243、2383、6043、10181、11383、15629、... A273599
11 6 2、3、11、163、191、269、1381、1493、… A273598
11 5 5、41、149、229、263、739、3457、20269、98221、... A128347
11 4 3、5、11、17、71、89、827、22307、45893、63521、... A216181
11 3 3、5、19、31、367、389、431、2179、10667、13103、90397、... A128027
11 2 2、5、11、13、331、599、18839、23747、24371、293​​39、32141、67421、... A210506
11 1 17、19、73、139、907、1907、2029、4801、5153、10867、20161、293​​831、... A005808
11 −1 5、7、179、229、439、557、6113、223999、327001、... A057177
11 −2 3、5、17、67、83、101、1373、6101、12119、61781、... A125957
11 −3 3、103、271、523、23087、69833、... A128070
11 −4 2 *、7、53、67、71、443、26497、... A224501
11 −5 7、11、181、421、2297、2797、4129、4139、7151、29033、... A128340
11 −6 2 *、5、7、107、383、17359、21929、26393、...
11 −7 7、1163、4007、10159、…
11 −8 2 *、3、13、31、59、131、223、227、1523、...
11 −9 2 *、3、17、41、43、59、83、...
11 −10 53、421、647、1601、35527、... A185239
12 11 2、3、7、89、101、293​​、4463、70067、… A062578
12 7 2、3、7、13、47、89、139、523、1051、… A273814
12 5 2、3、31、41、53、101、421、1259、4721、45259、... A128348
12 1 2、3、5、19、97、109、317、353、701、9739、14951、37573、46889、769543、... A004064
12 −1 2 *、5、11、109、193、1483、11353、21419、21911、24071、106859、139739、... A057178
12 −5 2 *、3、5、13、347、977、1091、4861、4967、34679、... A128341
12 −7 2 *、3、7、67、79、167、953、1493、3389、4871、...
12 −11 47、401、509、8609、… A213216

*注意: b < 0かつnが偶数の場合、数値nは対応する OEIS シーケンスに含まれません。

a = b + 1 のとき、それは( b + 1) n − b nであり、連続する 2 つの完全なn乗の差です。また、 a n − b n が素数であれば、a − bで割り切れるので、a はb + 1でなければなりません。

( b + 1 ) n − b nが素数となる 最小のnは

2、2、2、3、2、2、7、2、2、3、2、17、3、2、2、5、3、2、5、2、2、229、2、3、3、2、3、3、2、2、5、3、2、3、2、2、3、3、2、7、2、3、37、2、3、5、58543、2、3、2、2、3、2、2、3、2、5、3、4663、54517、17、3、2、5、2、3、3、2、2、47、61、19、...（シーケンスOEISのA058013）

( b + 1) prime( n ) − b prime( n )が素数となる 最小のb は

1、1、1、1、5、1、1、1、5、2、1、39、6、4、12、2、2、1、6、17、46、7、5、1、25、2、41、1、12、7、1、7、327、7、8、44、26、12、75、14、51、110、4、14、49、286、15、4、39、22、109、367、22、67、27、95、80、149、2、142、3、11、...（OEISのシーケンスA222119）

参照

注記

  1. ^この数はルーカス数U n ( a + b , ab )と同じです。なぜならaとb は二次方程式x 2 − ( a + b ) x + ab = 0の根だ。
  2. ^以来⁠a 4 − b 4/a − b⁠ = ( a + b )( a 2 + b 2 )。したがって、この場合、ペア( a , b )は( x + 1, − x )でなければならず、 x 2 + ( x + 1) 2 は素数でなければなりません。つまり、 x は( OEISのシーケンスA027861 ) になければなりません。
  3. ^ aとb が両方とも完全r乗（ r > 1の場合）であるか、または−4 abが完全 4 乗である場合、この性質を持つnの値は最大で 2 つであることが示されます。これらの場合、 ⁠a n − b n/a − b⁠ は代数的に因数分解できます。

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