二重バブル定理
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二重の泡。下の小さな泡と大きな泡を隔てる表面が、大きな泡の方に膨らんでいることに注目してください。

極小曲面に関する数学理論において、二重バブル定理は、与えられた二つの体積を囲み、かつ分離し、かつ表面積が最小となる形状は、標準的な二重バブル、すなわち共通の円上で120°の角度で交わる三つの球面であると述べている。二重バブル定理は19世紀に定式化され、真であると考えられ、1989年までに「真剣な研究の焦点」となったが[ 1 ]、2002年まで証明されなかった。

証明は複数の要素を組み合わせている。整流性流のコンパクト性（曲面の一般化された定義）は、解が存在することを示している。対称性の議論は、解が回転面である必要があることを証明し、さらに、滑らかな部分の数が有限に制限できる。ジーン・テイラーによるプラトーの法則の証明は、これらの部分がどのように形作られ、互いに接続されなければならないかを記述し、最後の事例分析は、このように接続された回転面の中で、標準的な二重バブルだけが局所的に最小の面積を持つことを示す。

二重気泡定理は等周不等式を拡張したもので、これによれば、任意の面積の最小周囲長の囲みは円であり、任意の単一体積の最小表面積の囲みは球である。2つの体積の最適囲みに関する同様の結果は、表面エネルギーの重み付き形式、曲面のガウス測度、および任意の次元のユークリッド空間に一般化される。

声明

等周不等式によれば、任意の領域の最小周囲長の囲みは円であり、任意の単一の体積の最小表面積の囲みは球である。2つの体積を囲む有界表面積の形状の存在は明白である。単にそれらを2つの別々の球で囲むだけでよい。2つの体積を囲み、可能な限り最小の表面積を持つ何らかの形状が存在するはずであることはそれほど明白ではない。むしろ、一連の形状が最小値（またはゼロ）に達することなく収束する場合もある。この問題は、定義上の難しい問題も引き起こす。形状、形状の表面積、およびそれが囲む体積とは、滑らかでなかったりフラクタルであったりする場合に何を意味するのか？とはいえ、整流理論を用いて最適囲みの問題を厳密に定式化し、整流空間におけるコンパクト性を用いて、すべての2つの体積に最小面積の囲みがあることを証明することは可能である。[ 2 ]

ユークリッド平面上の3つの異なる面積の組み合わせを持つ二重バブル。これらをそれぞれ、垂直対称線を回転軸として3次元的に回転させると、回転面として3次元の二重バブルが生成されます。

プラトーの法則によれば、任意の体積または体積セットを囲む最小面積の区分的に滑らかな形状は、一定の平均曲率の表面が3つで出会い、120°（ラジアン）の二面角を形成する、シャボン玉でよく見られる形をとらなければならないとされています。 [ 2 ]標準的な二重泡では、3つの球のパッチがこの角度で共有円に沿って出会います。これらの球面のうち2つは二重泡の外側の境界を形成し、内部の3つ目の球面は2つの体積を互いに分離します。物理的な泡では、ヤング・ラプラス方程式によれば、球の半径は球が分離する体積間の圧力差に反比例します。[ 3 ]圧力と半径のこの関係は、標準的な二重泡では、 3つの球面の3つの半径、、が次式に従うという事実に数学的に反映されています。ここで、は2つの外側の泡のうち小さい方の半径です。[ 4 ] 2つの体積と2つの外半径が等しい特殊なケースでは、この式を用いて中間半径を計算すると、ゼロ除算になります。この場合、中間面は平坦な円板となり、無限半径の球面の一部と解釈できます。二重泡定理によれば、任意の2つの体積に対して、標準的な二重泡はそれらを囲む最小面積の形状であり、これより小さい総面積で同じ量の空間を囲む面の集合は他に存在しません。[ 1 ]2π/3{\displaystyle 2\pi /3}r1{\displaystyle r_{1}}r2{\displaystyle r_{2}}r3{\displaystyle r_{3}}1r1＝1r2+1r3、{\displaystyle {\frac {1}{r_{1}}}={\frac {1}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{3}}},}r1{\displaystyle r_{1}}

同様に、ユークリッド平面において、与えられた二つの領域を囲む曲線系の最小周囲長は、半径の関係が同じで、同じ角度120°で交わる三つの円弧によって形成される。二つの等しい面積の場合、中央の円弧は直線分に縮退する。[ 5 ]標準的な三次元二重バブルは、この二次元二重バブルの回転面と見ることができる。 [ 6 ]より高い次元では、二つの体積の最適な囲みは、同じ角度120°で交わる三つの超球面のパッチによって形成される。 [ 1 ] [ 7 ]

歴史

球の表面積がその体積に対して最小となるという三次元等周不等式は、アルキメデスによって定式化されたが、厳密に証明されたのは19世紀になってヘルマン・シュワルツによるものだった。19世紀にはジョセフ・プラトーが二重泡を研究し、二重泡定理の正しさは、CV・ボーイズが1912年版のシャボン玉に関する著書の中で証明なしに仮定された。[ 8 ] [ 4 ]プラトーは複合シャボン玉の滑らかな表面の形状と接続を記述するプラトーの法則を定式化した。これは1976年にジーン・テイラーによって最小体積の囲みに対して数学的に証明された。[ 9 ]

1989年までに、二重バブル問題は「真剣な研究の焦点」となった。[ 1 ] 1991年、ウィリアムズ大学の学部生だったジョエル・フォイジーは、二重バブル予想の2次元版を証明した学部生チームのリーダーだった。[ 5 ] [ 8 ]フォイジーは学部論文で、3次元二重バブル予想の正確な記述を初めて提示したが、証明することはできなかった。[ 10 ]

二重バブル予想の制限されたケース（二つの等しい体積の場合）の証明は、 1995年にジョエル・ハスとロジャー・シュラフリーによって発表され、2000年に出版された。[ 11 ] [ 12 ]ハッチングス、モーガン、リトレ、ロスによる完全な予想の証明は2000年に発表され、2002年に出版された。 [ 6 ] [ 10 ] [ 13 ] 4次元の場合の初期の研究の後、[ 14 ]より高次元への完全な一般化が2008年にライチャートによって出版され、[ 7 ] 2014年にローラーは、より高次元と表面エネルギーの重み付き形式の両方に一般化する二重バブル定理の代替証明を発表した。[ 1 ]ガウス測度などの、囲む表面のサイズの他の測度を考慮した問題のバリエーションも研究されている。[ 15 ]

証拠

ブライアン・ホワイトの補題によれば、最小面積の二重バブルは回転面である必要がある。もしそうでない場合、ハムサンドイッチ定理と同様の議論を用いて、両方の体積を二等分する2つの直交平面を見つけ、4つの象限のうち2つの象限の面を他の象限の面の反射に置き換え、反射面の特異点を滑らかにすることで、総面積を縮小することができる。[ 8 ]この補題に基づき、マイケル・ハッチングスは、非標準的な最適二重バブルの可能な形状を、トロイダルチューブの層で構成されるように制限することができた。[ 16 ]

さらに、ハッチングスは、非標準だが最小となる二重バブル内のトロイドの数は、2 つの体積の関数で制限できることを示した。特に、2 つの等しい体積の場合、唯一の可能な非標準二重バブルは、単一の中心バブルとその赤道の周りの単一のトロイドで構成される。この問題の簡略化に基づいて、ジョエル・ハスとロジャー・シュラフリーは、この二重バブル予想の証明を、1995 年のパーソナル コンピュータで 20 分かかる大規模なコンピュータ化されたケース分析に縮小することができた。 [ 8 ] [ 12 ]完全な二重バブル予想の最終的な証明でも、問題を有限のケース分析に縮小するハッチングスの方法を使用しているが、コンピュータ計算の使用を避け、代わりにすべての可能な非標準二重バブルが不安定であることを示すことによって機能する。つまり、任意の小さな量でそれらを摂動することで、より小さい面積を持つ別の表面を生成できる。この結果を証明するために必要な摂動は、慎重に選択された一連の回転である。最小面積の表面が存在し、他の候補となる表面はどれも最小面積を持たないため、最小面積の表面は標準的な二重バブルのみとなる。[ 8 ] [ 2 ]

3つの領域における曲線短縮流の極限形状、2つの無限領域を持つ縮退した平面二重バブル

ジョン・M・サリバンは、任意の次元において、最大個の体積（必ずしも等しいとは限らない）の最小の囲みは、単体の立体投影の形をとると予想した。[ 17 ]特に、この場合、バブル間のすべての境界は球面のパッチとなる。この予想の特殊なケースである2次元の3つのバブルについては証明されている。この場合、3つのバブルは6つの円弧と直線分によって形成され、正四面体の辺と同じ組み合わせパターンで交わる。[ 18 ]フランク・モーガンは、3次元の3つの体積の場合さえ「アクセス不可能」と呼んだが[ 19 ]、2022年には、すべての次元における3つの体積の場合の証明と、高次元における追加の部分的な結果が発表された。[ 20 ] [ 21 ]数値実験により、3次元の6つ以上の体積の場合、バブル間の境界の一部は球面ではない可能性があることが示されている。[ 17 ]d{\displaystyle d}d+1{\displaystyle d+1}

平面上に無限個の等しい領域がある場合、これらの領域を分ける曲線の最小長さの集合は六角形のタイリングであり、これはミツバチが蜂の巣を作るときに使うことで知られており、その最適性（ハニカム予想）は2001年にTCヘイルズによって証明された。[ 22 ]同じ問題を3次元で解くと、その最適解は分かっていない。ケルビン卿は、二切頂立方ハニカムと組み合わせ的に等価な構造によって最適解が与えられると予想したが、この予想はウィア・フェラン構造の発見によって反証された。ウィア・フェラン構造とは、セルあたりの平均表面積を小さくして、空間を2つの異なる形状の等体積セルに分割する構造である。[ 23 ]

研究者たちはまた、一対の泡が合体して二重泡になる物理的プロセスのダイナミクスを研究してきた。[ 24 ] [ 25 ]このトピックは、連続的に変化するさまざまなプロセスの下での曲線と曲面の動的挙動に関する、微分幾何学におけるより一般的なトピックに関連している。 たとえば、曲線短縮フローは、平面上の曲線が曲率に比例した速度で移動するプロセスである。 線で分離された 2 つの無限領域があり、その間に 3 番目の有限領域がある場合、それらの境界上の曲線短縮フロー (有限領域の面積を保存するように再スケール) は、退化した二重泡、つまり2 つの境界のない領域の間の線に沿ったvesica piscisという極限形状に収束する。 [ 26 ]

参考文献

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