ドクサスティック論理

ドクサスティック論理は、信念についての推論に関係する論理の一種です。

ドクサスティック（doxastic）という用語は、古代ギリシャ語のδόξα（doxa、「意見、信念」）に由来し、英語のdoxa（「世論、信念」）もこの語から借用されたものです。典型的には、ドクサスティック論理では という表記法が用いられ、「推論者は が真であると信じている」という意味になり、集合 はの信念の集合を表します。ドクサスティック論理では、信念は様相演算子として扱われます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {B} _{c}:\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$ ${\displaystyle c}$

命題を信じる人と、命題を導出する形式体系との間には、完全な類似性が存在する。ドクサスティック論理を用いることで、ゲーデルのメタ論理における不完全性定理の認識論的対応物、レーブの定理、その他のメタ論理的結果を信念という用語で表現することができる。 ^{[ 1 ]}

推論者の種類

信念セットの特性を示すために、レイモンド・スマリヤンは次のタイプの推論者を定義しています。

• 正確な推論者：^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}正確な推論者は決して誤った命題を信じない。（様相公理T）

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to p}$

• 不正確な推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}不正確な推論者は少なくとも１つの誤った命題を信じています。

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p}$

• 一貫性のある推論者：^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}一貫性のある推論者は、命題とその否定を同時に信じることはありません。（様相公理D）

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}_{c}\neg p\quad {\text{or}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to \neg {\mathcal {B}}_{c}\neg p}$

• 通常の推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}通常の推論者とは、信じていると同時に信じている者である(様相公理4 )。${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {BB}}p}$

これのバリエーションとしては、信じていないが、信じていないとも信じている人がいる（様相公理5）でしょう。 ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}_{c}p)}$

• 特異な推論者: ^{[ 1 ] [ 4 ]}特異な推論者は命題を信じながらも、信じていないとも信じている。特異な推論者は奇妙な心理学的現象のように見えるかもしれないが(ムーアのパラドックスを参照)、特異な推論者は必然的に不正確ではあるが、必ずしも矛盾しているわけではない。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• 通常の推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}通常の推論者とは、 を信じていると同時にも信じている人です 。${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• 再帰的推論者: ^{[ 1 ] [ 4 ]}再帰的推論者とは、あらゆる命題に対して、その推論者が信じる何らかの命題が存在する者のことである。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

タイプ4の反射的推論者（下記参照）が を信じるならば、 も信じるであろう。これは、推論者に関するレーブの定理の類似性である。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$ ${\displaystyle p}$

• 自惚れ屋の推論者：^{[ 1 ] [ 4 ]}自惚れ屋の推論者は、自分の信念が決して不正確ではないと信じています。

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

de re形式で書き直すと、これは論理的に次の式と等価になります。

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

これは次のことを意味します:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p)}$

これは、うぬぼれた推論者は常に安定した推論者であることを示しています (以下を参照)。

• 不安定な推論者：^{[ 1 ] [ 4 ]}不安定な推論者とは、ある命題を信じていると思い込んでいるものの、実際には信じていない人のことである。これは特異性と同じくらい奇妙な心理現象であるが、不安定な推論者は必ずしも矛盾しているわけではない。

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\wedge \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• 安定した推論者: ^{[ 1 ] [ 4 ]}安定した推論者は不安定ではありません。つまり、あらゆる命題に対して「もし私が信じているならば、私は信じている」という仮定が成り立ちます。安定性は正規性の逆であることに留意してください。推論者は、あらゆる命題に対して「もし私が信じていると信じるならば、私は本当に信じている」という仮定が成り立つとき、自分が安定していると信じていると言えます。これは、クリプキ意味論における稠密なアクセス可能性関係を持つことに対応し、正確な推論者は常に安定しています。${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• 穏健な推論者：^{[ 1 ] [ 4 ]}穏健な推論者とは、信じられている命題全てについて、自分が信じている場合にのみ、それを信じる者のことである。穏健な推論者は、自分が信じない限り、決して信じない。タイプ4の反射的推論者は、いずれも穏健である。（レーブの定理）${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• 奇妙な推論者: ^{[ 4 ]}奇妙な推論者はタイプG(下記参照)であり、矛盾していると信じていますが、この考えは間違っています。
• 臆病な推論者：^{[ 4 ]}臆病な推論者は、ある信念が矛盾した信念につながると信じている場合、信じません[信じることを「恐れる」 ]。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

合理性のレベルの向上

• タイプ1推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}タイプ1推論者は命題論理に関する完全な知識を持っています。つまり、遅かれ早かれすべてのトートロジー/定理（真理値表によって証明可能なあらゆる命題）を信じます。

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}_{c}p}$

記号は、命題計算で証明可能なトートロジー／定理を意味します。また、彼らの信念の集合（過去、現在、未来）は、可能性（ modus ponens ）の下で論理的に閉じています。もし彼らが信じるならば、彼らは（遅かれ早かれ）信じるでしょう。 ${\displaystyle \vdash _{PC}p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q}$

この規則は、信念が含意に分配されるということを述べているとも考えられ、論理的には

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$ 。

実際には、タイプ 1 推論システムの仮定でさえ、場合によっては強すぎる可能性があることに注意してください ( 「宝くじのパラドックス」を参照)。

• タイプ1*推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}タイプ1*推論者はすべてのトートロジーを信じます。彼らの信念集合（過去、現在、未来）は、可能性の法則の下で論理的に閉じており、任意の命題に対して、もし彼らが信じるならば、彼らは信じるでしょう。彼らが信じるならば、彼らは信じるでしょう。タイプ1*推論者は、タイプ1推論者よりも「少しだけ」自己認識を持っています。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q,}$ ${\displaystyle p\to q,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• タイプ 2 の推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}タイプ 1 の推論者であり、かつ任意の および に対して(正しく)「もし私が と の両方を信じることになったら、 を信じるだろう」と信じているなら、その推論者はタイプ 2 です。タイプ 1 であるため、論理的に同値な命題も信じています。タイプ 2 の推論者は、自分の信念が modus ponens の下で閉じていることを知っているのです。${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\to q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q).}$

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• タイプ3推論システム: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}推論システムがタイプ2の通常の推論システムである場合、その推論システムはタイプ3になります。

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p}$

• タイプ4の推論者: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}タイプ3であり、かつ自分が正常であると信じている場合、その推論者はタイプ4です。

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p)]}$

• タイプG推論者: ^{[ 1 ] [ 4 ]}自分は謙虚だと信じているタイプ4の推論者。

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p)]}$

自己実現的な信念

論理学者は、システムについて、反射性を、（システムの言語で）任意のものに対して、そのシステムで証明可能なものが存在することを意味すると定義する。レーブの定理（一般形）は、タイプ4の任意の反射システムに対して、がシステムで証明可能であれば、^{[ 1 ] [ 4 ]も証明可能であるというものである。}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$ ${\displaystyle p.}$

自分の安定性に対する信念の矛盾

タイプ4の一貫した反射的推論者が、自分たちが安定していると信じている場合、彼らは不安定になります。言い換えれば、タイプ4の安定した反射的推論者が、自分たちが安定していると信じている場合、彼らは矛盾することになります。なぜでしょうか？タイプ4の安定した反射的推論者が、自分たちが安定していると信じていると仮定します。私たちは、彼らが（遅かれ早かれ）すべての命題を信じる（したがって矛盾する）ことを示します。任意の命題を取ります。推論者は、したがって、レーブの定理により、彼らは信じるでしょう（彼らは命題がどこにあるかを信じているので、彼らは命題がどれであるかを信じるでしょう）。安定しているので、彼らは^{[ 1 ] [ 4 ]を信じるでしょう。}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$ ${\displaystyle p.}$

参照

• 認識論的様相論理
• 信念の修正
• 常識（論理）
• ジョージ・ブーロス
• ヤッコ・ヒンティッカ
• 様相論理
• レイモンド・スマリヤン

参考文献

1. 、レイモンド・M.、(1986) 「自分自身について推論する論理学者」、知識についての推論の理論的側面に関する1986年会議議事録、モントレー（カリフォルニア州）、モルガン・カウフマン出版社、サンフランシスコ（カリフォルニア州）、pp. 341–352
2. https://web.archive.org/web/20070930165226/http://cs.wwc.edu/KU/Logic/Book/book/node17.html信念、知識、そして自己認識
3. https://web.archive.org/web/20070213054220/http://moonbase.wwc.edu/~aabyan/Logic/Modal.html様相論理
4. 、レイモンド M.、(1987) Forever Undecided、Alfred A. Knopf Inc.
5. ロッド・ガール『可能世界』マギル・クイーンズ大学出版局（2003年）ISBN 0-7735-2668-4ISBN 978-0773526686

さらに読む

• Lindström, St.; Rabinowicz, Wl. (1999). 「DDL Unlimited. 内省的エージェントのための動的ドクサスティックロジック」. Erkenntnis . 51 ( 2–3 ): 353–385 . doi : 10.1023/A:1005577906029 . S2CID  116984078 .
• リンスキ, L. (1968). 「ドクサスティック論理の解釈について」.哲学ジャーナル. 65 (17): 500–502 . doi : 10.2307/2024352 . JSTOR  2024352 .
• Segerberg, Kr. (1999). 「デフォルト論理としての動的ドクサスティック論理」. Erkenntnis . 50 ( 2–3 ): 333–352 . doi : 10.1023/A:1005546526502 . S2CID  118747031 .
• Wansing, H. (2000). 「ドクサスティック論理からアクション論理への還元」. Erkenntnis . 53 ( 1–2 ): 267–283 . doi : 10.1023/A:1005666218871 . S2CID  58939606 .