エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理は、オーストリアの理論物理学者パウル・エーレンフェストにちなんで名付けられ、位置演算子xと運動量演算子pの期待値の時間微分と、スカラーポテンシャル内を運動する質量を持つ粒子に働く力の期待値とを関連付けるものである。^[1] ${\displaystyle F=-V'(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

${\displaystyle m{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle =\langle p\rangle ,\;\;{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =-\left\langle V'(x)\right\rangle ~.}$

エーレンフェストの定理は、任意の量子力学的 演算子の期待値と、その演算子のシステムのハミルトニアンとの交換子の期待値 との間のより一般的な関係の特別な場合である^{[2] [3]}

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ~,}$

ここで、Aは何らかの量子力学的演算子であり、⟨ A ⟩はその期待値です。

これは量子力学のハイゼンベルク描像において最も顕著であり、ハイゼンベルクの運動方程式の期待値そのものに相当します。これは対応原理を数学的に裏付けています。

その理由は、エーレンフェストの定理が、交換子の代わりに ポアソン括弧を用いるハミルトン力学のリウヴィルの定理と密接に関連しているためである。ディラックの経験則によれば、交換子を含む量子力学の記述は、交換子をポアソン括弧にiħを乗じたものに置き換えた古典力学の記述に対応する。このため、ハミルトニアンが座標と運動量に関して最大​​で2次式である限り、演算子の期待値は対応する古典運動方程式に従う。そうでない場合、変動が小さい限り、発展方程式は依然として近似的に成立する可能性がある。

古典物理学との関係

一見すると、エーレンフェストの定理は量子力学の期待値がニュートンの古典的な運動方程式に従うと言っているように見えるかもしれないが、実際はそうではない。^[4]このペアがニュートンの運動の第二法則を満たす場合、第二方程式の右辺は でなければならないが、 これは通常 と同じではない。 たとえば、ポテンシャルが 3 次 (つまり に比例) の場合、は 2 次 ( に比例) である。つまり、ニュートンの運動の第二法則の場合、右辺は の形になるが、エーレンフェストの定理では の形になる。これら 2 つの量の差は における不確実性の 2 乗であるため、ゼロではない。 ${\displaystyle (\langle x\rangle ,\langle p\rangle )}$ $${\displaystyle -V'\left(\left\langle x\right\rangle \right),}$$ $${\displaystyle -\left\langle V'(x)\right\rangle .}$$ ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle \langle x\rangle ^{2}}$ ${\displaystyle \langle x^{2}\rangle }$ ${\displaystyle x}$

例外は、古典的な運動方程式が線形、つまりが二次方程式でが線形の場合に発生します。この特殊なケースでは、とは一致します。したがって、量子調和振動子の場合、期待される位置と期待される運動量は、古典的な軌道に正確に従います。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$

一般的なシステムでは、波動関数が点 の周囲に高度に集中している場合、と はほぼ同じになります。これは、どちらも にほぼ等しいためです。その場合、期待される位置と期待される運動量は、少なくとも波動関数が所定の位置に局在している限り、古典的な軌道を近似的にたどります。 ^[5]${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle V'\left(\left\langle x\right\rangle \right)}$ ${\displaystyle \left\langle V'(x)\right\rangle }$ ${\displaystyle V'(x_{0})}$

シュレーディンガー描像における導出

ある系が現在量子状態 Φにあると仮定する。Aの期待値の瞬間時間微分、すなわち定義により 空間全体にわたって積分する値を知りたいとする。シュレーディンガー方程式を適用すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle A\rangle &={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi \,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi \,d^{3}x+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\\&=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi \,d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)\,d^{3}x\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }$$

複素共役をとると^[6] $${\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}$$

ハミルトニアンはエルミートなので、 H = H  ^∗となることに注意。これを上の式に代入すると、

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~d^{3}x+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}$$

多くの場合 (常にではありませんが)、演算子Aは時間に依存しないため、その導関数はゼロになり、最後の項は無視できます。

ハイゼンベルク描像における微分

ハイゼンベルク描像では、導出は単純です。ハイゼンベルク描像では、系の時間依存性を状態ベクトルではなく作用素に移します。ハイゼンベルクの運動方程式から始めると、 エーレンフェストの定理は、ハイゼンベルク方程式を右からと左から 射影するか、期待値を取るだけで得られます。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {\partial A(t)}{\partial t}}+{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H],}$$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \Psi |}$ $${\displaystyle \left\langle \Psi \left|{\frac {d}{dt}}A(t)\right|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \left|{\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right|\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi \left|{\frac {1}{i\hbar }}[A(t),H]\right|\Psi \right\rangle ,}$$

⁠を引くかもしれないd/dt⁠ は最初の項から除外されます。これは、ハイゼンベルク描像では状態ベクトルがもはや時間に依存しないためです。したがって、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A(t)\rangle =\left\langle {\frac {\partial A(t)}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle [A(t),H]\right\rangle .}$$

一般的な例

ポテンシャル内で移動する質量を持つ粒子の非常に一般的な例では、ハミルトニアンは単純に、 x が粒子の位置である 場合に次のようになります。$${\displaystyle H(x,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)}$$

運動量pの期待値の瞬間的な変化を知りたいとします。エーレンフェストの定理を用いると、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle ,}$$

演算子pはそれ自身と可換であり、時間依存性を持たないからである。^[7]右辺を展開し、pを−iħ∇に置き換える と、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}{\frac {\partial }{\partial x}}(V(x,t)\Phi )~dx~.}$$

2番目の項に 積の法則を適用すると、$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle p\rangle &=\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx-\int \Phi ^{*}V(x,t){\frac {\partial }{\partial x}}\Phi ~dx\\&=-\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right)\Phi ~dx\\&=\left\langle -{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)\right\rangle =\langle F\rangle .\end{aligned}}}$$

序論で説明したように、この結果は、この対がニュートンの第二法則を満たすとは言っていません。なぜなら、式の右辺は ではなく だからです。しかしながら、序論で説明したように、空間的に高度に局在した状態の場合、期待される位置と運動量は近似的に古典的な軌道を辿ります。これは対応原理の例として理解できます。 ${\displaystyle (\langle X\rangle ,\langle P\rangle )}$ ${\displaystyle \langle F(x,t)\rangle ,}$ ${\displaystyle F(\langle X\rangle ,t)}$

同様に、位置の期待値の瞬間的な変化を取得できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle x\rangle &={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)\right]\right\rangle +0\\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[x,{\frac {p^{2}}{2m}}\right]\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\right\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle \\[5pt]&={\frac {1}{m}}\langle p\rangle \end{aligned}}}$$

この結果は、実際には古典的な方程式と正確に一致しています。

エーレンフェストの定理からのシュレーディンガー方程式の導出

上で、エーレンフェストの定理はシュレーディンガー方程式の帰結であると述べてきました。しかし、逆もまた真です。すなわち、シュレーディンガー方程式はエーレンフェストの定理から推論することができます。^[8]まず、 $${\displaystyle {\begin{aligned}m{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {x}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle ,\\[5pt]{\frac {d}{dt}}\left\langle \Psi (t)\right|{\hat {p}}\left|\Psi (t)\right\rangle &=\left\langle \Psi (t)\right|-V'({\hat {x}})\left|\Psi (t)\right\rangle .\end{aligned}}}$$

積の法則を適用すると、次の式が得られます。 ここで、Ĥ を時間変換の量子生成子として 用いて、ストーンの定理を適用します。次のステップは、これが量子力学で用いられるハミルトニアン演算子と同じであることを示すことです。ストーンの定理は、次の式を示唆します。 ここで、ħ はバランス次元への正規化定数として導入されました。これらの恒等式は任意の初期状態に対して有効であるため、平均化は省略でき、 Ĥに対する交換子方程式系が導出されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {x}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {x}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\left\langle \Psi {\Big |}{\frac {\hat {p}}{m}}{\Big |}\Psi \right\rangle ,\\[5pt]\left\langle {\frac {d\Psi }{dt}}{\Big |}{\hat {p}}{\Big |}\Psi \right\rangle +\left\langle \Psi {\Big |}{\hat {p}}{\Big |}{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle &=\langle \Psi |-V'({\hat {x}})|\Psi \rangle ,\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle i\hbar \left|{\frac {d\Psi }{dt}}\right\rangle ={\hat {H}}|\Psi (t)\rangle ~,}$$ $${\displaystyle im[{\hat {H}},{\hat {x}}]=\hbar {\hat {p}},\qquad i[{\hat {H}},{\hat {p}}]=-\hbar V'({\hat {x}}).}$$

座標と運動量の観測量が標準的な交換関係 [ x̂ , p̂ ] = iħに従うと仮定する。 とおくと、交換子方程式は微分方程式^{[8] [9]に変換することができ、その解はよく知られた}量子ハミルトニアン である。${\displaystyle {\hat {H}}=H({\hat {x}},{\hat {p}})}$ $${\displaystyle m{\frac {\partial H(x,p)}{\partial p}}=p,\qquad {\frac {\partial H(x,p)}{\partial x}}=V'(x),}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {x}}).}$$

そこから、座標と運動量の間に標準的な交換関係を仮定することで、シュレーディンガー方程式がエーレンフェストの定理から導出された。座標と運動量が交換可能であると仮定すれば、同じ計算手法からクープマン＝フォン・ノイマン古典力学が導かれる。これは古典力学のヒルベルト空間定式化である。^{[8]したがって、この導出は}クープマン＝フォン・ノイマン力学の導出と同様に、量子力学と古典力学の本質的な違いが交換子[ x̂ , p̂ ]の値に帰着することを示している。

古典的カオスダイナミクスを持つシステムに対するエーレンフェスト定理の含意については、Scholarpediaの記事「エーレンフェスト時間とカオス」で議論されています。古典的軌道の指数的不安定性により、量子進化と古典進化が完全に一致するエーレンフェスト時間は、典型的な量子数の対数に比例して対数的に短くなることが示されています。積分可能なダイナミクスの場合、この時間スケールははるかに大きくなり、量子数の特定のべき乗に比例します。

注記

1. ホール 2013 セクション 3.7.5
2. エーレンフェスト、P. (1927)。 「Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik」。物理学の時代。45 ( 7–8 ): 455– 457。Bibcode :1927ZPhy...45..455E。土井：10.1007/BF01329203。S2CID  123011242。
3. スミス、ヘンリック (1991).量子力学入門. World Scientific Pub Co Inc. pp.  108– 109. ISBN 978-981-02-0475-4。
4. ウィーラー、ニコラス. 「エーレンフェストの定理の現状といくつかの影響に関するコメント」(PDF) .
5. ホール 2013 p. 78
6. ブラケット記法ではとなるので、 は ハミルトニアン演算子、 Hは座標空間で表されたハミルトニアンです（上記の導出の場合と同様）。言い換えれば、随伴演算をシュレーディンガー方程式全体に適用することで、 HとΦの演算順序を反転させたことになります。 ${\displaystyle \phi ^{*}=\langle \phi ,x\rangle }$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \phi |x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |{\hat {H}}|x\rangle ={\frac {-1}{i\hbar }}\langle \phi |x\rangle H={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H,}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$
7. 運動量⟨ p ⟩の期待値は時間の実数値関数であり、時間依存性がありますが、この図では運動量演算子p自体は時間依存性がありません。むしろ、運動量演算子はシステムのヒルベルト空間上の定数線型演算子です。この図では、期待値の時間依存性は、期待値が計算される波動関数の時間発展によるものです。時間依存性を持つ演算子のアドホックな例は⟨ xt ² ⟩で、 xは通常の位置演算子であり、 tは単なる（演算子ではない）時間、つまりパラメーターです。
8. Bondar, D.; Cabrera, R.; Lompay, R.; Ivanov, M.; Rabitz, H. (2012). 「量子力学と古典力学を超越するオペレーショナル・ダイナミック・モデリング」. Physical Review Letters . 109 (19) 190403. arXiv : 1105.4014 . Bibcode :2012PhRvL.109s0403B. doi :10.1103/PhysRevLett.109.190403. PMID:  23215365. S2CID  : 19605000.
9. Transtrum, MK; Van Huele, JFOS (2005). 「演算子の関数の交換関係」 . Journal of Mathematical Physics . 46 (6): 063510. Bibcode :2005JMP....46f3510T. doi :10.1063/1.1924703.

参考文献

• ホール、ブライアン・C. (2013)、「数学者のための量子理論」、数学大学院テキスト、第267巻、シュプリンガー、Bibcode :2013qtm..book.....H、ISBN 978-1-4614-7115-8