誘電率

荷電粒子の配向が分極効果を生み出す誘電体媒体。このような媒体は、空洞よりも電束と電荷の比が低く（誘電率が高く）なることがある。

電磁気学において、絶対誘電率は、しばしば単に誘電率と呼ばれ、ギリシャ文字のε（イプシロン）で表され、誘電体材料の電気分極率の尺度です。誘電率の高い材料は、誘電率の低い材料よりも印加電界に対してより大きく分極するため、材料により多くのエネルギーを蓄えます。静電気学において、誘電率はコンデンサの静電容量を決定する上で重要な役割を果たします。

最も単純なケースでは、印加電界Eから生じる電界変位Dは

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \ \mathbf {E} ~.}$$

より一般的には、誘電率は状態の熱力学関数である。^{[ 1 ]}誘電率は、印加される電界の周波数、大きさ、および方向に依存する。誘電率のSI単位はファラッド毎メートル（F/m）である。

誘電率は、絶対誘電率εと真空誘電率_{ε0の比である}相対誘電率εrで^{表されることが多い[} ₂ ^]

$${\displaystyle \kappa =\varepsilon _{\mathrm {r} }={\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{0}}}~.}$$

この無次元量は、しばしば曖昧に誘電率とも呼ばれます。絶対誘電率と相対誘電率の両方を表すもう一つの一般的な用語は誘電率ですが、これは物理学や工学^{[ 3 ]}、そして化学^{[ 4 ]}においても推奨されていません。

定義により、完全な真空の比誘電率はちょうど 1 ですが、標準温度および圧力では、空気の比誘電率はε _{r air} ≡ κ _air ≈ 1.0006 になります。

比誘電率は電気感受性（χ） と直接関係しており、

$${\displaystyle \chi =\kappa -1}$$

そうでなければ

$${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\ \varepsilon _{0}=(1+\chi )\ \varepsilon _{0}~.}$$

「誘電率」という用語は、1880年代にオリバー・ヘヴィサイドによって、トムソン（1872）の「透磁率」を補完するために導入されました。 ^{[ 5 ]}以前はpと書かれていましたが、 εを伴う表記は1950年代から一般的に使用されています。

ユニット

誘電率のSI単位はファラッド毎メートル（F/mまたはF·m ⁻¹）である。^{[ 6 ]}

$${\displaystyle {\frac {\text{F}}{\text{m}}}={\frac {\text{C}}{{\text{V}}{\cdot }{\text{m}}}}={\frac {{\text{C}}^{2}}{{\text{N}}{\cdot }{\text{m}}^{2}}}={\frac {{\text{C}}^{2}{\cdot }{\text{s}}^{2}}{{\text{kg}}{\cdot }{\text{m}}^{3}}}={\frac {{\text{A}}^{2}{\cdot }{\text{s}}^{4}}{{\text{kg}}{\cdot }{\text{m}}^{3}}}}$$

説明

電磁気学において、変位電場Dは、電場Eの存在によって生じる、与えられた媒体における電荷の分布を表します。この分布には、電荷の移動と電気双極子の再配向が含まれます。電場の変化に対して「瞬時」に反応する、線形で均質な等方性材料という非常に単純なケースにおいて、変位電場Dと誘電率の関係は、以下の通りです。

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \ \mathbf {E} }$$

ここで、誘電率εはスカラーです。媒質が異方性である場合、誘電率は2階テンソルとなります。

一般に、誘電率は定数ではなく、媒体内の位置、印加される電界の周波数、湿度、温度、その他のパラメータによって変化します。非線形媒体では、誘電率は電界の強度に依存する場合があります。周波数の関数としての誘電率は、実数値または複素数値をとります。

SI単位では、誘電率はファラッド/メートル（F/mまたはA ² ·s ⁴ ·kg ⁻¹ ·m ⁻³）で測定されます。変位電場Dはクーロン/平方メートル（C/m ² ）で測定され、電界Eはボルト/メートル（V/m）で測定されます。DとEは帯電物体間の相互作用を表します。Dはこの相互作用に関連する電荷密度に関連し、 Eは力と電位差に関連しています。

真空誘電率

真空の誘電率ε _o（自由空間の誘電率または電気定数とも呼ばれる）は、比⁠D/E⁠自由空間ではクーロン力定数にも現れ、

$${\displaystyle k_{\text{e}}={\frac {1}{\ 4\pi \varepsilon _{0}\ }}}$$

その価値は^{[ 7 ] [ 8 ]}

$${\displaystyle \varepsilon _{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{c^{2}\mu _{0}}}\approx 8.854\,187\,8128(13)\times 10^{-12}{\text{ F/m }}}$$

どこ

• cは自由空間における光の速度であり、
• µ _0は真空透磁率です。

定数cとµ _{0 はどちらも、} 2019 年の SI 改訂まで、SI 単位で正確な数値を持つように定義されていました。そのため、その日までは、 結果が無理数であっても (分数にπが含まれているため)、 ε _{0 を}分数として正確に表すこともできました。^{[ 9 ]}対照的に、アンペアは 2019 年以前は測定量でしたが、それ以降はアンペアが正確に定義され、μ _{0は実験的に測定された量 (したがって不確実性を伴う) となり、したがって}ε ₀の新しい 2019 年の定義も同様になります( c は2019 年以前もそれ以降も正確に定義されたままです)。 ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{c^{2}\mu _{0}}}={\tfrac {1}{35\,950\,207\,149.472\,7056\pi }}{\text{ F/m}}\ }$

比誘電率

均質材料の線形誘電率は通常、自由空間の誘電率に対する相対誘電率ε _r（誘電率とも呼ばれるが、この用語は非推奨であり、静的なゼロ周波数相対誘電率のみを指す場合もある）として表される。異方性材料では、相対誘電率がテンソルとなり、複屈折が生じる場合がある。実際の誘電率は、相対誘電率にε _oを乗じることで計算される。

$${\displaystyle \ \varepsilon =\varepsilon _{\mathrm {r} }\ \varepsilon _{0}=(1+\chi )\ \varepsilon _{0}\ ,}$$

ここで、χ（多くの場合、χ _eと表記されます）は、物質の電気感受性です。

磁化率は、電界Eと誘導誘電分極密度Pを関係付ける比例定数（テンソルでもよい）として定義され、

$${\displaystyle \ \mathbf {P} \ =\ \varepsilon _{0}\ \chi \ \mathbf {E} \;,}$$

ここでεo_は自由空間の誘電率である。

媒質の磁化率はその比誘電率ε _rと次 の関係がある。

$${\displaystyle \chi =\varepsilon _{\mathrm {r} }-1~.}$$

真空の場合は、

$${\displaystyle \chi =0~.}$$

磁化率は、クラウジウス-モソッティの関係によって、媒体内の個々の粒子の分極率とも関連しています。

電気変位Dは分極密度Pと次の 関係がある。

$${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\ \mathbf {E} +\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\ (1+\chi )\ \mathbf {E} =\varepsilon _{\mathrm {r} }\ \varepsilon _{0}\ \mathbf {E} ~.}$$

媒質の誘電率εと透磁率µの組み合わせによって位相速度v = ⁠が決定されます。c/n⁠その媒体を通る 電磁放射の

$${\displaystyle \varepsilon \mu ={\frac {1}{\ v^{2}}}~.}$$

実用的な応用

静電容量の決定

コンデンサの静電容量は設計と構造に基づいており、充電や放電によって変化しません。平行板コンデンサの静電容量の式は次のように表されます。

$${\displaystyle C=\varepsilon \ {\frac {A}{d}}}$$

ここで、 は1枚のプレートの面積、はプレート間の距離、 は2枚のプレート間の媒質の誘電率である。比誘電率 のコンデンサの場合、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle C=\kappa \ \varepsilon _{0}{\frac {A}{d}}}$$

ガウスの法則

誘電率はガウスの法則を通じて電束（ひいては電場）と結びついている。ガウスの法則によれば、閉じたガウス 面Sに対して、

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ ,}$$ ここで、 は表面を通過する正味の電束、はガウス面に囲まれた電荷、は表面上の任意の点における電界ベクトル、 はガウス面上の微分面積ベクトルです。 ${\displaystyle \Phi _{E}}$ ${\displaystyle Q_{\text{enc}}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$

ガウス面が均一に絶縁された対称電荷配置を囲む場合、式は次のように簡略化される。

$${\displaystyle E\ A\ \cos \theta ={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ }}\ ,}$$ ここで、は電界線とSの法線（垂直線）との間の角度を表します。 ${\displaystyle \ \theta \ }$

すべての電界線が表面を90°で横切る場合、式はさらに次のように簡略化されます。

$${\displaystyle \ E={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ A\ }}~.}$$

球の表面積は均一な球状の電荷配置から離れた 電界であるため、${\displaystyle \ 4\pi r^{2}\ ,}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \ E={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}A\ }}={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}\ \left(4\ \pi \ r^{2}\right)\ }}={\frac {Q}{\ 4\pi \ \varepsilon _{0}\ r^{2}\ }}~.}$$

この式は、点電荷による電界、導電性球またはシェルの外側、均一に帯電した絶縁球の外側、または球状コンデンサのプレート間に適用されます。

分散と因果関係

一般的に、物質は印加された電場に応じて瞬時に分極することはできないため、より一般的な時間の関数としての定式化は次のようになる。

$${\displaystyle \mathbf {P} (t)=\varepsilon _{0}\int _{-\infty }^{t}\chi \left(t-t'\right)\mathbf {E} \left(t'\right)\,\mathrm {d} t'~.}$$

つまり、分極は、過去の時点における電場と、χ (Δ t )で与えられる時間依存の磁化率との畳み込みです。この積分の上限は、Δ t < 0に対してχ (Δ t ) = 0と定義すれば、無限大まで拡張できます。瞬間的な応答は、ディラックのデルタ関数の磁化率χ (Δ t ) = χδ (Δ t )に対応します。

時間に関してフーリエ変換し、この関係を周波数の関数として表すと便利です。畳み込み定理により、積分は単純な積になります。

$${\displaystyle \ \mathbf {P} (\omega )=\varepsilon _{0}\ \chi (\omega )\ \mathbf {E} (\omega )~.}$$

この磁化率の周波数依存性は、誘電率の周波数依存性につながります。周波数に対する磁化率の形状は、材料の 分散特性を特徴づけます。

さらに、分極は前の時点の電場にのみ依存するという事実（つまり、Δ t < 0の場合、実質的にχ (Δ t ) = 0 ）は因果律の結果として、磁化率χ (0)にクラマース・クローニッヒ制約を課します。

複素誘電率

広い周波数範囲にわたる誘電率スペクトル。ε ′とε″はそれぞれ誘電率の実部と虚部を表す。画像には、イオン緩和と双極子緩和、高エネルギーにおける原子共鳴と電子共鳴といった様々なプロセスがラベル付けされている。^{[ 10 ]}

真空の応答とは対照的に、通常の物質の外部電場に対する応答は、一般的に電場の周波数に依存します。この周波数依存性は、電場を印加しても物質の分極が瞬時に変化しないという事実を反映しています。応答は常に因果関係（印加電場の後に生じる）であり、位相差で表すことができます。このため、誘電率はしばしば印加電場の（角）周波数ωの複素関数として扱われます。

$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$$

（複素数は大きさと位相を指定できるため）。したがって、誘電率の定義は次のようになる。

$${\displaystyle D_{0}\ e^{-i\omega t}={\hat {\varepsilon }}(\omega )\ E_{0}\ e^{-i\omega t}\ ,}$$ どこ

• D _oとE _oはそれぞれ変位と電場の振幅であり、
• iは虚数単位で、i ² = − 1です。

静電場に対する媒体の応答は、誘電率の低周波限界（静的誘電率ε _s（ε _DCとも呼ばれる））によって記述されます。

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {s} }=\lim _{\omega \rightarrow 0}{\hat {\varepsilon }}(\omega )~.}$$

高周波限界（光周波数）では、複素誘電率は一般にε∞（またはεopt [ 11 ]と呼ばれる）と呼ばれる。プラズマ周波数^{​​以下では}_、誘電体は電子ガス挙動を示す理想金属として振舞う。静的誘電率は低周波の交流電場の良い近似値であり、周波数が増加するとDとEの間に測定可能な位相差δが生じる。位相シフトが顕著になる周波数は_、温度と媒質の詳細に依存する。中程度の電場強度（Eo）では、DとEは比例関係にあり、

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}={\frac {D_{0}}{E_{0}}}=|\varepsilon |e^{-i\delta }~.}$$

交流磁場に対する材料の応答は複素誘電率によって特徴付けられるため、実部と虚部を分離するのが自然であり、慣例により次のように行われます。

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )=\left|{\frac {D_{0}}{E_{0}}}\right|\left(\cos \delta -i\sin \delta \right)~.}$$

どこ

• ε′は誘電率の実部です。
• -ε″は誘電率の虚数部です。
• δは損失角です。

時間依存性の符号e ^{− iωt}の選択は、誘電率の虚数部の符号規則を決定します。

複素誘電率は、複数の周波数で発生する分散現象を重ね合わせて記述するため、通常、周波数ωの複雑な関数となります。誘電関数ε ( ω ) は、虚数部が正である周波数に対してのみ極を持つため、クラマース・クローニッヒの関係式を満たします。しかし、実際に研究されることが多い狭い周波数範囲では、誘電率は周波数に依存しない関数、またはモデル関数として近似できます。

与えられた周波数ε″において、それが（上記の符号規則に従って）正であれば吸収損失を、負であれば利得を生じます。より一般的には、異方性誘電テンソルの固有値の虚数部を考慮する必要があります。

固体の場合、複素誘電関数はバンド構造と密接に関連している。あらゆる結晶材料の電子構造を特徴付ける主要な量は光子吸収確率であり、これは光誘電関数の虚数部ε ( ω )と直接関係している。光誘電関数は、以下の基本式で与えられる：^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1+{\frac {8\pi ^{2}e^{2}}{m^{2}}}\sum _{c,v}\int W_{c,v}(E){\bigl (}\varphi (\hbar \omega -E)-\varphi (\hbar \omega +E){\bigr )}\,\mathrm {d} x~.}$$

この表現において、W _{c , v} ( E ) は、エネルギーEにおけるブリルアンゾーン平均遷移確率と結合状態密度の積を表します。^{[ 13 ] [ 14 ]} J _{c , v} ( E ) ; φは広がり関数であり、エネルギー準位をぼかすための散乱の役割を表します。^{[ 15 ]} 一般に、広がりはロレンツ分布とガウス分布の中間です。^{[ 16 ] [ 17 ]} 合金の場合は、ナノメートルスケールの局所組成の統計的変動による強い散乱のため、ガウス分布にいくらか近くなります。

テンソル誘電率

磁化プラズマのドルーデモデルによれば、軸方向に磁化された半導体におけるミリ波およびマイクロ波周波数の交流電界とキャリアの相互作用を考慮したより一般的な表現は、誘電率を非対角テンソルとして表現する必要がある：^{[ 18 ]}

$${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )={\begin{vmatrix}\varepsilon _{1}&-i\varepsilon _{2}&0\\i\varepsilon _{2}&\varepsilon _{1}&0\\0&0&\varepsilon _{z}\\\end{vmatrix}}\;\operatorname {\mathbf {E} } (\omega )}$$

ε _{2 が}ゼロの場合、テンソルは対角ですが単位元に比例せず、媒体は一軸媒体であると言われ、一軸結晶と同様の特性を持ちます。

材料の分類

誘電率に基づく材料の分類

⁠ε r ″/ε r ′⁠	電流伝導	フィールド伝播
0		完全誘電無損失媒体
${\displaystyle \ll 1}$	低導電性材料不良導体	低損失中程度の良好な誘電体
${\displaystyle \approx 1}$	損失性導電材料	損失のある伝播媒体
${\displaystyle \gg 1}$	高伝導性材料、良導体	高損失中程度の誘電体不良
${\displaystyle \infty }$	完璧な導体

物質は、実数部ε ′と虚数部ε ″（または、導電率σ（後者に考慮されている場合））の比較に基づく複素誘電率εによって分類できる。完全導体は導電率が無限大（σ = ∞ ）であるのに対し、完全誘電体は導電率が全くない（σ = 0 ）物質である。後者の場合、実数誘電率（または虚数部がゼロの複素誘電率）は、無損失媒体という名前にも関連付けられている。^{[ 19 ]}一般に、ある物質を低損失誘電体（正確には無損失ではないが）と考える場合、は良導体に関連付けられる。このような無視できない導電率を持つ物質は、電磁波の伝播を妨げる大きな損失を生じるため、損失媒体とも呼ばれる。どちらの制限にも該当しない物質は、一般媒体であると見なされる。 ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}\ll 1}$ ${\displaystyle {\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}\gg 1}$

ロスの多いメディア

損失のある媒体の場合、つまり伝導電流が無視できない場合、流れる総電流密度は次のようになります。

$${\displaystyle J_{\text{tot}}=J_{\mathrm {c} }+J_{\mathrm {d} }=\sigma E+i\omega \varepsilon 'E=i\omega {\hat {\varepsilon }}E}$$

どこ

• σは媒体の導電率です。
• ${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathsf {r}}}$ 誘電率の実部です。
• ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''}$ 複素誘電率

これは、電気工学の複素共役の曖昧さの慣例を使用していることに注意してください。物理/化学の慣例には、これらの方程式の複素共役が含まれます。

変位電流の大きさは、印加磁場Eの周波数ωに依存します。一定磁場では変位電流は発生しません。

この形式では、複素誘電率は次のように定義される: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '\left(1-i{\frac {\sigma }{\omega \varepsilon '}}\right)=\varepsilon '-i{\frac {\sigma }{\omega }}}$$

一般に、誘電体による電磁エネルギーの吸収は、周波数の関数として誘電率の形状に影響を与えるいくつかの異なるメカニズムによって構成されます。

• まず、永久および誘導分子双極子に関連する緩和効果があります。低周波数では、電場の変化が緩やかなため、電場が測定可能な変化を示す前に双極子が平衡状態に達します。媒質の粘性のために双極子の向きが印加電場に追従できない周波数では、電場エネルギーの吸収によってエネルギーが散逸します。双極子が緩和するメカニズムは誘電緩和と呼ばれ、理想双極子の場合は古典的なデバイ緩和によって説明されます。
• 二つ目は共鳴効果で、これは原子、イオン、または電子の回転または振動によって生じます。これらのプロセスは、それぞれの特性吸収周波数の近傍で観測されます。

上記の効果は、しばしば複合的に作用してコンデンサ内に非線形効果を引き起こします。例えば、誘電吸収とは、長時間充電されたコンデンサが短時間放電しても完全に放電できないことを指します。理想的なコンデンサは放電後もゼロボルトのままですが、実際のコンデンサは小さな電圧を発生します。これはソークオフまたは電池作用とも呼ばれる現象です。多くのポリマーフィルムなど、一部の誘電体では、結果として生じる電圧は元の電圧の1～2%未満になる場合があります。ただし、電解コンデンサやスーパーキャパシタの場合は、15～25%にも達することがあります。

量子力学的解釈

量子力学の観点から見ると、誘電率は原子と分子の相互作用によって説明されます。

低周波数では、極性誘電体中の分子は印加電界によって分極し、周期的な回転を誘起します。例えば、マイクロ波周波数では、マイクロ波電界は水分子の周期的な回転を引き起こし、水素結合を切断するのに十分な大きさになります。電界は結合に逆らって作用し、エネルギーは熱として物質に吸収されます。これが、電子レンジが水分を含む物質に非常によく機能する理由です。水の虚数成分（吸収率）には2つの極大点があり、1つはマイクロ波周波数、もう1つは遠紫外線（UV）周波数です。これらの共鳴はどちらも、電子レンジの動作周波数よりも高い周波数で発生します。

中程度の周波数では、エネルギーは回転を引き起こすには高すぎるが、電子に直接影響を与えるには低すぎるため、共鳴分子振動の形で吸収されます。水中では、この周波数で吸収率が急激に低下し始め、虚誘電率は青色光の周波数（光学領域）で最小値を示します。

高周波（紫外線以上）では、分子は緩和できず、エネルギーは原子に吸収され、電子エネルギー準位を励起します。したがって、これらの周波数は電離放射線に分類されます。

完全な第一原理（ ab initio）モデリングは現在では計算的に可能となっているものの、まだ広く適用されているとは言えません。そのため、実験的な挙動を捉えるには現象論的モデルが適切な手法として受け入れられています。デバイモデルとローレンツモデルは、それぞれ一次および二次の集中系パラメータ線形表現（RC共振回路やLRC共振回路など）を用います。

測定

物質の比誘電率は、様々な静電気測定によって求めることができます。複素誘電率は、様々な誘電分光法を用いて、10 ^-6から10 ¹⁵ヘルツまでの約21桁をカバーする幅広い周波数範囲にわたって評価されます。また、クライオスタットやオーブンを用いることで、媒体の誘電特性を様々な温度範囲にわたって評価することができます。このように多様な励起場を持つシステムを研究するために、それぞれ特定の周波数範囲に適した複数の測定装置が用いられます。

様々なマイクロ波測定技術はChenらによって概説されている。^{[ 22 ]}導体面の間に物質のパックを使用するハッキ・コールマン法の典型的な誤差は約0.3%である。 ^{[ 23 ]}

• 低周波時間領域測定（10 ⁻⁶～ 10^3Hz  ）
• 低周波周波数領域測定（10 ⁻⁵～ 10^6Hz  ）
• 反射同軸方式（10⁶～10^10Hz  ）
• 伝送同軸方式（10⁸～10¹¹  Hz）
• 準光学的方法（10⁹～10^10Hz  ）
• テラヘルツ時間領域分光法（10¹¹から10¹³  Hz）
• フーリエ変換法（10¹¹から10^15Hz  ）

赤外線および光周波数では、エリプソメトリーが一般的な手法です。また、二重偏光干渉法は、光周波数における非常に薄い膜の複素屈折率を測定するためにも用いられます。

光周波数における誘電テンソルの3次元測定には、誘電テンソルトモグラフィーを使用することができる。^{[ 24 ]}

参照

• 音響減衰
• 密度汎関数理論
• 電界遮蔽
• グリーン・久保関係
• グリーン関数（多体理論）
• 線形応答関数
• 透磁率（電磁気）
• 回転ブラウン運動

参考文献

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• フォン・ヒッペル、アーサー（1954年）。誘電体と波。アーテックハウス。ISBN 0-89006-803-8。
• フォン・ヒッペル、アーサー編 (1966). 『誘電体材料とその応用：22名の寄稿者による論文集』アーテック・ハウス. ISBN 0-89006-805-4。

外部リンク

• 「第11章」 . lightandmatter.com . 電磁気学. 2011年6月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。– オンライン教科書の一章