電界

電界
一般的な記号	E
SI単位	ボルト毎メートル(V/m)
SI基本単位では	kg⋅m⋅s ^−3 ⋅A ^−1
次元	M L T ^−3I ^−1

電場（E場^{[ 1 ]}と呼ばれることもある）は、電子などの電荷を帯びた粒子を取り囲む物理的な場である。古典電磁気学では、単一の電荷（または電荷のグループ）の電場は、それらが別の荷電物体に引力または斥力を及ぼす能力を表す。荷電粒子は、電荷の符号が反対（一方が正でもう一方が負）の場合に互いに引力を及ぼし、電荷の符号が同じ場合は互いに反発する。これらの力は相互に及ぼされるため、力が発生するには2つの電荷が存在する必要がある。これらの力はクーロンの法則によって説明され、電荷が大きいほど力は大きくなり、電荷間の距離が離れるほど力は弱くなる。非公式には、物体の電荷が大きいほど、その電場は強くなる。同様に、電場は荷電物体に近いほど強く、離れるほど弱くなる。電場は、電荷と時間とともに変化する電流から発生する。電場と磁場はどちらも電磁場の現れです。電磁気は自然界における4つの基本的な相互作用の一つです。

電場は物理学の多くの分野で重要であり、電気技術にも利用されています。例えば、原子物理学と化学では、原子核と電子の間の電場における相互作用が、これらの粒子を原子として結びつける力となっています。同様に、原子間の電場における相互作用は、分子を形成する化学結合を担う力となっています。

電場は、空間内の各点に、その点で静止している微小な正の試験電荷に及ぼされる電荷​​単位あたりの力を関連付けるベクトル場として定義されます。[2] [3] [4] 電場のSI単位はボルト毎メートル（^{V / m ）で、これはニュートン}毎クーロン（ N / C）に等しいです。^{[ 5 ]}

説明

無限の導電性物質のシート上に浮かぶ正の点電荷の電界。この電界は電界線で表され、電界の方向に沿った線が空間的に描かれる。シート内に誘起される電荷​​分布は示されていない。

電場は、空間の各点において、極めて小さい静止した正の試験電荷がその点で受ける力を電荷で割ったものとして定義されます。^{[ 6 ] : 469–70} 電場は力によって定義され、力はベクトル（つまり、大きさと方向の両方を持つ）であるため、電場はベクトル場によって記述できるということになります。^{[ 6 ] : 469–70} 電場は、2 つの電荷間での重力場の作用と同じように、距離の反比例の法則に従います。^{[ 7 ]}これはクーロンの法則の基礎であり、静止した電荷の場合、電場は発生源の電荷とともに変化し、発生源からの距離の 2 乗に反比例して変化すると述べています。つまり、発生源の電荷が 2 倍になると電場も 2 倍になり、発生源から 2 倍離れると、その点における電場は元の強さの 4 分の 1 になります。

電界は、各点での方向が電界の方向と同じである線の集合で視覚化できます。これはマイケル・ファラデー[ ^{8 ]によって}導入された概念で、彼の用語「力線」は現在でも時々使用されています。この図には、各線が同じ量の磁束を表すように描くと、電界の強さが線の密度に比例するという便利な特性があります。^{[ 9 ]}静止した電荷による電界線には、常に正電荷から始まり負電荷で終わる、すべての良導体に直角に進入する、交差したり閉じたりしないなど、いくつかの重要な特性があります。^{[ 6 ] : 479} 電界線は代表的な概念です。電界は実際には線と線の間の空間全体に浸透しています。電界を表現するために必要な精度に応じて、より多くの線またはより少ない線を描くことができます。^{[ 8 ]}静止した電荷によって生成される電界の研究は静電気学と呼ばれます。

ファラデーの法則は、時間とともに変化する磁場と電場の関係を記述する。ファラデーの法則を述べる一つの方法は、電場の回転が磁場の負の時間微分に等しい、ということである。 ^{[ 10 ] : 327} 時間とともに変化する磁場が存在しない場合は、電場は保存的（すなわち、回転しない）と呼ばれる。^{[ 10 ] : 24, 90–91} これは、静電場と時間とともに変化する磁場から生じる場の 2 種類の電場があることを意味する。^{[ 10 ] : 305–307} 静電場の回転しない性質により、静電気学を使用してより簡単に処理できますが、時間とともに変化する磁場は一般に、統一された電磁場のコンポーネントとして扱われます。時間とともに変化する磁場と電場の研究は電気力学と呼ばれます。

数学的定式化

電場は、ガウスの法則[ ^{11 ]}で記述される電荷​​と、ファラデーの^電磁誘導の法則^{[ 12 ]}で記述される時間変化する磁場によって発生します。これらの法則を組み合わせれば、電場の挙動を定義するのに十分です。しかし、磁場は電場の関数として記述されるため、両方の場の方程式は結合し、電荷と電流の関数として両方の場を記述するマクスウェル方程式を形成します。

電界の証拠：静電気によって猫の毛に張り付く発泡スチロールのピーナッツ。摩擦電気効果により、猫の動きによって毛に静電気が発生します。この電荷の電界は、静電誘導によって発泡スチロールの分子の分極を引き起こし、その結果、軽いプラスチック片が帯電した毛にわずかに引き寄せられます。この効果は、衣服に静電気が発生する原因でもあります。

静電気

定常状態（電荷と電流が静止している状態）の特殊なケースでは、マクスウェル・ファラデーの誘導効果は消失します。結果として得られる2つの方程式（ガウスの法則と誘導項のないファラデーの法則）は、クーロンの法則と等価です。クーロンの法則は、位置の電荷を持つ粒子が、位置の電荷を持つ粒子に力を及ぼすというものです。[ ^{13 ]ここ} で ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =0}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{01}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}_{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} _{01} \over {|\mathbf {r} _{01}|}^{3}}}$$

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{01}}$ は、荷電粒子によって荷電粒子に生じる力です。${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle q_{1}}$
• ε ₀は自由空間の誘電率です。
• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{01}}$ は からへ向かう単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{01}}$ は からへの変位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$

電荷が空でない媒体中にある場合、 を、誘電率に置き換える必要があることに注意してください。電荷と が同じ符号の場合、この力は正で、もう一方の電荷から離れる方向に働き、粒子が互いに反発することを示します。電荷が異なる符号の場合、この力は負で、粒子が引き合うことを示します。任意の位置の電荷にかかるクーロン力を簡単に計算できるように、この式をもう一方の電荷（発生電荷）のみに依存する式に分解することができます^{[ 14 ] [ 4 ]。} ここで、は によるにおける電場の成分です。 ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ $${\displaystyle \mathbf {E}_{1}(\mathbf {r}_{0})={\frac {\mathbf {F}_{01}}{q_{0}}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon_{0}}}{{\hat {\mathbf {r}}}_{01} \over {|\mathbf {r}_{01}|}^{2}}={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon_{0}}}{\mathbf {r}_{01} \over {|\mathbf {r}_{01}|}^{3}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} _{0})}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle q_{1}}$

これは点 における点電荷による電場です。これはベクトル値関数であり、位置 で正の点電荷が受ける単位電荷あたりのクーロン力に等しい。この式は空間内の任意の点（電荷自体の位置 では電場が無限大になる点を除く）における電場の強さと方向を与えるため、ベクトル場を定義する。上記の式から、点電荷による電場は、それが正の場合にはどこでも電荷から離れる方向に、負の場合には電荷に向かう方向に向いており、その強さは電荷からの距離の2乗 に反比例して減少することがわかる。${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$

空間内の任意の点における電荷の大きさに対するクーロン力は、その点における電荷と電界の積に等しくなります。 電界の SI 単位は ニュートン毎クーロン( N/C) またはボルト毎メートル(V/m) です。SI基本単位では kg⋅m⋅s ⁻³ ⋅A ⁻¹です。 ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} .}$$

重ね合わせの原理

マクスウェル方程式の線形性により、電場は重ね合わせの原理を満たします。これは、ある点における電荷の集合による全電場は、その点における個々の電荷による電場のベクトル和に等しいというものです。^{[ 4 ]}この原理は、複数の点電荷によって生成される電場を計算する際に役立ちます。電流がない場合、電荷が空間内の点で静止している場合、重ね合わせの原理によれば、結果として生じる電場は、クーロンの法則で記述されるように、各粒子によって生成される電場の合計となります 。 ここで ${\displaystyle q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} )+\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} )+\dots +\mathbf {E} _{n}(\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{{\hat {\mathbf {r} }}_{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{2}}={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}{\mathbf {r} _{i} \over {|\mathbf {r} _{i}|}^{3}}\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{i}}$ 点から点への方向の単位ベクトルである${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ は点から点までの変位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

連続電荷分布

重ね合わせの原理により、電荷密度 分布による電場を計算することができます。点における各微小空間内の電荷を点電荷と見なすと、点における結果として生じる電場は 次 のように計算できます ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')dv}$ ${\displaystyle dv}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle d\mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{{\hat {\mathbf {r} }}' \over {|\mathbf {r} '|}^{2}}dv={\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

• ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}'}$ はから を指す単位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ は からへの変位ベクトルです。${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

全体のフィールドは、体積の増分すべてからの寄与を合計し、体積にわたって電荷密度を積分することによって求められます。 ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint _{V}\,\rho (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}dv}$$

表面電荷密度 が表面上にある表面電荷と、線電荷密度が線上にある 線電荷についても同様の式が成り立ちます。${\displaystyle \sigma (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iint _{S}\,\sigma (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}da,}$$ ${\displaystyle \lambda (\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int _{L}\,\lambda (\mathbf {r} '){\mathbf {r} ' \over {|\mathbf {r} '|}^{3}}d\ell .}$$

電位

系が静的で、磁場が時間変化しない場合、ファラデーの法則により、電場は回転しません。この場合、電位、つまり となる関数を定義できます。^{[ 15 ]}これは重力ポテンシャルに類似しています。空間内の2点における電位の差は、2点間の 電位差（または電圧）と呼ばれます${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi }$

しかし、一般的には電場は磁場とは独立して記述することはできません。磁気ベクトルポテンシャルAが⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} }$ と定義されている場合、次のように電位を定義できます。 ここでは電位の勾配、 はAの時間に関する 偏微分です。${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

ファラデーの電磁誘導の法則は、事後的にE の前の形式を正当化する方程式^{[ 16 ]}の回転を取ることによって回復することができます。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial (\nabla \times \mathbf {A} )}{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},}$$

連続電荷表現と離散電荷表現

電磁気学の方程式は連続的な記述で最もよく説明されます。しかし、電荷は離散的な点として記述することが最も適している場合もあります。例えば、電子を空間の微小な部分において電荷密度が無限大となる点源として記述するモデルもあります。

にある電荷は、数学的には電荷密度⁠ ⁠として記述することができ、ここではディラックのデルタ関数（3次元）が用いられます。逆に、電荷分布は多数の小さな点電荷で近似することができます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})}$

静電場

正電荷（赤）と負電荷（青）を取り囲む電界の図

静電場は時間とともに変化しない電場です。このような電場は、荷電物質系が静止しているとき、あるいは電流が変化しないときに存在します。この場合、クーロンの法則は電場を完全に記述します。^{[ 17 ]}

静電場と重力場の類似点

電荷の相互作用を記述するクーロンの法則は、 ニュートンの万有引力の法則 に似ています。 (ただし)。 $${\displaystyle \mathbf {F} =q\left({\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=q\mathbf {E} }$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =m\left(-GM{\frac {\mathbf {\hat {r}} }{|\mathbf {r} |^{2}}}\right)=m\mathbf {g} }$$ ${\textstyle \mathbf {\hat {r}} =\mathbf {\frac {r}{|r|}} }$

これは、電場Eと重力場g、あるいはそれらに関連するポテンシャルとの類似性を示唆している。質量は「重力電荷」と呼ばれることもある。^{[ 18 ]}

静電気力と重力はともに中心力、保存力であり、反比例の法則に従います。

均一な電界

有限の大きさの2枚の平行な導電板（平行板コンデンサーとして知られています）間の電界の図。板の端から離れた中央では、電界はほぼ均一です

均一電界とは、電界がどの点においても一定である電界のことである。これは、2枚の導体板を平行に置き、その間に電圧（電位差）を維持することで近似できる。しかし、境界効果（平面の端付近では平面が連続していないため電界が歪む）があるため、これは近似値に過ぎない。無限平面を仮定すると、電界Eの大きさは以下の ように表される。ΔV は導体板間の電位差、dは導体板間の距離である。負の符号は正電荷が反発するため生じるため、正電荷は正電荷を帯びた導体板から、電圧が増加する方向とは反対の方向に力を及ぼす。マイクロおよびナノアプリケーション、例えば半導体に関しては、電界の典型的な大きさは次のようになる。$${\displaystyle E=-{\frac {\Delta V}{d}},}$$ 10 ⁶  V⋅m ⁻¹、1 μm間隔の導体間に1ボルト程度の電圧を印加することで達成されます。

電磁場

電荷（+）の電界（矢印の付いた線）は、静電誘導により金属物体に表面電荷（赤と青の領域）を誘導します。

電磁場は電場と磁場から成り、電荷が運動しているときなど、時間とともに変化することがあります。移動する電荷は、アンペールの回路法則（マクスウェルの加法則を含む）に従って磁場を生成します。この法則は、マクスウェルの他の方程式と共に、磁場 をその回転角で定義します。 ここでは電流密度、は真空の透磁率、は真空の誘電率です。 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right),}$$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

電流密度と電場の時間偏微分は、磁場の回転に寄与します。さらに、マクスウェル・ファラデー方程式は次のように示します 。これらはマクスウェルの4つの方程式のうちの2つであり、電場と磁場を複雑に結び付けて電磁場を形成します。これらの方程式は、4つの結合した多次元偏微分方程式の集合を表し、これをシステムについて解くことで、電磁場の複合的な挙動を記述します。一般に、電磁場中の試験電荷が受ける力は、ローレンツ力の法則によって与えられます。 $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

電界のエネルギー

電磁場によって蓄えられる単位体積あたりの総エネルギーは^{[ 19 ]} であり、 ここでεは電磁場が存在する媒体の誘電率、透磁率、EとBはそれぞれ電場ベクトルと磁場ベクトルである。 $${\displaystyle u_{\text{EM}}={\frac {\varepsilon }{2}}|\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{2\mu }}|\mathbf {B} |^{2}}$$ ${\displaystyle \mu }$

電界と磁界は結合しているため、この式を「電場」と「磁気場」の寄与に分けるのは誤解を招く恐れがあります。特に、任意の座標系における静電場は、一般に、相対的に移動する座標系においては磁気成分を持つ場に変換されます。したがって、電磁場を電場と磁気成分に分解することは座標系に固有のものであり、関連するエネルギーについても同様です。

与えられた体積V内の電磁場に蓄えられる全エネルギーU _EMは $${\displaystyle U_{\text{EM}}={\frac {1}{2}}\int _{V}\left(\varepsilon |\mathbf {E} |^{2}+{\frac {1}{\mu }}|\mathbf {B} |^{2}\right)dV\,.}$$

電界変位

ベクトル場の決定方程式

物質が存在する場合、電場の概念を3つのベクトル場に拡張すると便利です。^{[ 20 ]} ここで、Pは電気分極、つまり電気双極子モーメントの体積密度であり、Dは電気変位場です。EとPは別々に定義されているため、この式を使用してDを定義できます。Dの物理的な解釈は、E （実質的に物質に適用される場）やP （物質内の双極子による誘導場）ほど明確ではありませんが、マクスウェル方程式は自由電荷と電流で簡略化できるため、便利な数学的簡略化として機能します。 $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }$$

構成関係

E場とD場は、物質の誘電率εによって関連しています。^{[ 21 ] [ 20 ]}

線形、均質、等方性の材料の場合、 EとDは領域全体で比例して一定であり、位置依存性はありません。 $${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon \mathbf {E} (\mathbf {r} ).}$$

不均質材料の場合、材料全体にわたって位置依存性がある：^{[ 22 ]}$${\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} )=\varepsilon (\mathbf {r} )\mathbf {E} (\mathbf {r} )}$$

異方性材料の場合、EフィールドとDフィールドは平行ではないため、EとDは誘電率テンソル(2 次テンソル場)によって成分形式で関連付けられます。 $${\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}}$$

非線形媒体の場合、EとDは比例しません。材料の線形性、均質性、等方性の程度は、それぞれ異なります。

電場に対する相対論的効果

等速運動する点電荷

マクスウェル方程式の形のローレンツ変換に対する不変性は、一様に運動する点電荷の電場を導くために使用できる。実験証拠によって裏付けられているように、粒子の電荷は座標系不変であると考えられる。^{[ 23 ]}あるいは、一様に運動する点電荷の電場は、クーロンの法則によって与えられた発生源の静止座標系で試験電荷が経験する四元力のローレンツ変換から導き出し、ローレンツ力の形で与えられた定義によって電場と磁場を割り当てることによっても導き出すことができる。^{[ 24 ]}しかし、次の式は、クーロンの法則が考慮されるか、対称性の議論を使用してマクスウェル方程式を簡単に解くことができる、粒子の履歴に加速が含まれない場合にのみ適用できる。したがって、このように均一に運動する点電荷の電場は次のように表されます。^{[ 25 ]} ここで、は点源の電荷、は点源から空間内の点までの位置ベクトル、は観測された荷電粒子の速度と光速の比、はと観測された荷電粒子の速度との間の角度です。 $${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}{\frac {1-\beta ^{2}}{(1-\beta ^{2}\sin ^{2}\theta )^{3/2}}}\mathbf {r} ,}$$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

上記の式は、点電荷の非相対論的速度に対するクーロンの法則によって与えられる式に帰着する。球対称性は満たされない。これは、場の計算において速度方向を指定することにより、この問題における対称性が破れるためである。これを説明するために、運動する電荷の磁力線は、共動座標系では等間隔に見える不等間隔の放射状線として表されることがある。^{[ 23 ]}

電界における擾乱の伝播

特殊相対性理論は局所性原理を課し、原因と結果は時間的に分離された事象であり、因果関係の効力が光速を超えないことを要求する。^{[ 26 ]}マクスウェルの法則は、この見解を裏付けるものである。なぜなら、場の一般解は電磁波の擾乱が光速で伝播することを示す遅延時間で与えられるからである。マクスウェルの法則の解も提供する進行時間は、非物理的な解として無視される。

制動放射線を示す説明的な例: 最初に一定速度で移動し、その後急停止する (負の) 電荷によって生成される電界のフィールドラインと係数。生成される電磁波と電磁場の擾乱の伝播を示します。

荷電粒子の運動について、例えば、上記のような電場のもとで運動する粒子が突然停止する場合を考えてみると、そこから遠く離れた点の電場は、静止した電荷に対して古典的に与えられる状態にすぐには戻りません。停止すると、静止点の周囲の電場は予想される状態に戻り始め、この効果は光速で外側に伝播しますが、ここから遠く離れた電場線は、想定される運動する電荷に向かって放射状を指し続けます。この仮想粒子は、電磁場における擾乱の伝播範囲外に出ることはなく、荷電粒子の速度は光速未満に制限されているため、この領域でガウスの法則に反するガウス面を構成することは不可能です。これを支持するもう 1 つの技術的な難しさは、光速以上の速度で移動する荷電粒子は、もはや一意の遅延時間を持たなくなることです。電場線は連続しているので、光速で外側に移動するこの擾乱の境界でつながる電磁放射パルスが生成されます。^{[ 27 ]}一般に、加速している点電荷は電磁波を放射しますが、電荷システムでは 非放射加速が可能である。

任意に移動する点電荷

任意に運動する点電荷の場合、光速でのローレンツゲージ場などのポテンシャル場の伝播は、リエナール・ヴィーヒャートポテンシャルを使用して説明される必要がある。^{[ 28 ]}ポテンシャルはマクスウェル方程式を満たすので、点電荷に対して導出される場もマクスウェル方程式を満たす。電場は次のように表現される。^{[ 29 ]} ここで、 は点源の電荷、は遅延時間または電場の源の寄与が発生した時間、は粒子の位置ベクトル、は荷電粒子から空間の点を指す単位ベクトル、は粒子の速度を光速で割った値、 は対応するローレンツ因子である。遅延時間は次の解として与えられる。 $${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\mathbf {t} )={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}{\gamma ^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|^{2}}}+{\frac {\mathbf {n} _{s}\times \left(\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}\right)}{c\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}\right|}}\right)_{t=t_{r}}}$$ ${\displaystyle q}$ ${\textstyle {t_{r}}}$ ${\textstyle {r}_{s}(t)}$ ${\textstyle \mathbf {n} _{s}(\mathbf {r} ,t)}$ ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)}$ ${\textstyle \gamma (t)}$ $${\displaystyle t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}{c}}}$$

与えられたに対して の解の一意性は、光速より遅く運動する荷電粒子に対して有効である。加速する電荷の電磁放射は、電場における加速度に依存する項によって引き起こされることが知られており、そこからラーモアの公式の相対論的補正が得られる。^{[ 29 ]}${\textstyle {t_{r}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle r_{s}(t)}$

マクスウェル方程式には、同じ形式ですが、遅れ時間ではなく進み時間に対する解の別の集合が存在します。これは次の解として与えられます。 ${\textstyle {t_{a}}}$

$${\displaystyle t_{a}=t+{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{a})\right|}{c}}}$$

この物理的解釈は、ある点における電場が将来のある時点における粒子の状態によって支配されることを示唆しているため、非物理的な解とみなされ、無視されてきた。しかしながら、ファインマン・ホイーラー吸収体理論など、マクスウェル方程式のより進んだ時間解を探求する理論は存在する。

上記の式は、均一に運動する点電荷の式やその非相対論的極限と一致していますが、量子力学的効果については補正されていません。

一般的な公式

電荷配置	図	電場
無限のワイヤー		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}x}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ 均一な線電荷密度は どこにあるか。${\displaystyle \lambda }$
無限に広い表面		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ ここで均一な表面電荷密度です。 ${\displaystyle \sigma }$
無限に長い円筒形の体積		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}x}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ 均一な線電荷密度は どこにあるか。${\displaystyle \lambda }$
球状体積		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ 球の外側では、体積内に均一に分布する全電荷はどこにあるか ${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Qr}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$ 球体内部では、総電荷は体積内に均一に分布しています。 ${\displaystyle Q}$
球面		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ 球の外側では、表面上に均一に分布する全電荷はどこにある か${\displaystyle Q}$	${\displaystyle \mathbf {E} =0,}$ 均一な電荷分布のために球体内部に配置。
チャージリング		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Qx}{4\pi \varepsilon _{0}(R^{2}+x^{2})^{3/2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}$ 軸上では、リング上に均一に分布する総電荷です。 ${\displaystyle Q}$
帯電円盤		${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\sigma }{2\varepsilon _{0}}}\left[1-{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+R^{2}}}}\right]{\hat {\mathbf {x} }},}$ 軸上で、均一な表面電荷密度です ${\displaystyle \sigma }$
電気双極子		${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {\mathbf {p} }{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}},}$ 赤道面上で、電気双極子モーメントはどこにあります か${\displaystyle \mathbf {p} }$	${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {\mathbf {p} }{2\pi \varepsilon _{0}x^{3}}},}$ 軸上（ と仮定）で、 は負の値をとって軸上の反対方向の位置を示すこともできます。は電気双極子モーメントです。 ${\displaystyle x\gg d}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$

静電平衡状態にある導電面の無限近傍の電界は、その点に電荷密度を持つため、電荷は表面にのみ形成され、無限小スケールの表面は無限の2次元平面に類似する。外部電界が存在しない場合、球状導体は表面上で均一な電荷分布を示すため、均一な球面分布と同じ電界を持つ。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\textstyle {\frac {\sigma }{\varepsilon _{0}}}{\hat {\mathbf {x} }}}$

参照

• 古典電磁気学
• 相対論的電磁気学
• 電気
• 電磁気学の歴史
• 電磁場
• 磁気
• テルトロン管
• テレデルトス、場をモデル化するための簡易アナログコンピュータとして使用できる導電性紙

参考文献

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外部リンク

• 「電気と磁気」における電場、R Nave –ジョージア州立大学ハイパー物理学
• フランク・ウルフスのロチェスター大学での講義、第23章と第24章
• 2010年5月27日にWayback Machineにアーカイブされたフィールド– オンライン教科書の章