等連続性

数学的解析学において、関数族が等連続であるとは、すべての関数が連続であり、かつ与えられた近傍において等変化を持つことを意味する。この概念は、ここで述べる厳密な意味で、特に可算族、すなわち関数の 列に適用される。

等連続性はアスコリの定理の定式化に現れ、コンパクト ハウスドルフ空間X上の連続関数の空間C ( X ) の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それが閉じていて、点ごとに有界で、等連続である場合である。系として、C ( X ) 内のシーケンスが一様収束する場合、かつその場合のみ、それが等連続であり、（必ずしも事前に連続であるとは限らない）関数に点ごとに収束する。特に、距離空間または局所コンパクト空間^{[ 1 ]}上の連続関数f _nの等連続な点ごとに収束するシーケンスの極限は連続である。さらに、f _nが正則である場合、極限も正則である。

一様有界性原理は、バナッハ空間間の連続線型作用素の点ごとに有界な族が等連続であることを述べている。^{[ 2 ]}

計量空間間の等連続性

XとY を2つの距離空間とし、FをXからYへの関数の族とする。これらの空間のそれぞれの距離を dで表す。

族 Fが点x ₀  ∈  Xにおいて等連続であるとは、任意の ε > 0 に対して、 δ > 0 が存在して、すべてのƒ  ∈  Fに対してd ( ƒ ( x ₀ ),  ƒ ( x )) < ε が 成り立ち、かつすべてのxに対してd ( x ₀ ,  x ) < δ が成り立つことを意味する。族が点ごとに等連続であるとは、 Xの各点において等連続であることを意味する。^{[ 3 ]}

族 Fが一様等連続とは、すべてのε>0に対してδ>0が存在し、 すべてのƒ∈Fに対してd ( ƒ ( x1 ),  ƒ ( x2 ))< ε_が 成り立ち 、 すべての_x1 , x2∈Xに対してd ( x1 _, x2 ₎ <δが_成り立つとき で ある_。^{[ 4 ]}

比較すると、「 Fのすべての関数ƒは連続である」という記述は、すべての ε > 0、すべての ƒ  ∈  F、すべてのx ₀  ∈  Xに対して、 d ( x ₀ 、 x ) < δ となるすべてのx  ∈  Xに対してd ( ƒ ( x ₀ )、  ƒ ( x )) < ε となるようなδ >  0が存在することを意味します。

• 連続性のために、 δ は ε、ƒ、およびx ₀に依存する可能性があります。
• 一様連続の場合、 δ は ε と ƒに依存する可能性があります。
• 点ごとの等連続性の場合、 δ は ε とx ₀に依存する可能性があります。
• 一様等連続性の場合、δ は ε のみに依存する可能性があります。

より一般的には、Xが位相空間であるとき、 XからYへの関数の集合Fがxにおいて等連続であるとは、任意の ε > 0に対して xの近傍U _{xが存在し、}

${\displaystyle d_{Y}(f(y),f(x))<\epsilon }$

すべてのy ∈ U _xおよびƒ  ∈  Fに対して成り立つ。この定義は通常、位相ベクトル空間の文脈で現れる。

Xがコンパクトであるとき、集合が一様同連続であるためには、すべての点で同連続でなければならない。これは、コンパクト空間において一様連続性と連続性が一致するのと本質的に同じ理由による。「同連続性」という用語は、文脈に応じて点単位の概念または一様概念のいずれかを指す場合がある。コンパクト空間においては、これらの概念は一致する。

定義からいくつかの基本的な性質が直ちに導かれる。連続関数の有限集合はすべて等連続である。等連続集合の閉包もまた等連続である。一様等連続関数の集合のすべての要素は一様連続であり、一様連続関数の有限集合はすべて一様等連続である。

例

• 共通のリプシッツ定数を持つ関数の集合は（一様）等連続である。特に、その集合が同じ定数で導関数が制限される関数から構成される場合、等連続となる。
• 一様有界性原理は、連続線形演算子の集合が等連続であるための十分な条件を与えます。
• 解析関数の反復族はファトゥ集合 上で連続である 。^{[ 5 ] [ 6 ]}

反例

• 最大リプシッツ定数は無限大であるため、すべてのリプシッツ連続関数の集合は等連続ではありません。
• 関数のシーケンス f _{n (x) = arctan(nx) は、x 0} =0で定義に違反しているため、等連続ではありません。

位相群における写像の等連続性

Tが位相空間であり、Yが加法位相群（すなわち、演算が連続となる位相を備えた 群）であるとする。位相ベクトル空間は位相群の代表的な例であり、すべての位相群には標準的な一様性が存在する。

定義: ^{[ 7 ]} TからYへの写像の族Hがt ∈ Tにおいて等連続であるとは、 Yにおける0の任意の近傍Vに対して、 Tにおけるtの任意の近傍Uが存在し、任意のh ∈ Hに対してh ( U )⊆h ( t ) + V が成り立つことを言う。H がTの任意の点で等連続である場合に、Hは等連続であるという。

H が点において等連続である場合、 H内のあらゆる写像はその点で連続であることに注意してください。明らかに、 TからYへの連続写像の有限集合はすべて等連続です。

等連続線型写像

すべての位相ベクトル空間(TVS) は位相群である ため、位相群に対して与えられた等連続写像族の定義は変更なく TVS に転送されます。

等連続線型写像の特徴

2つの位相ベクトル空間の間の形の写像族が点において等連続であるとは、任意の原点近傍に対して、任意の原点近傍が存在することを言う。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

が写像の族であり、が集合であるとき、 と が集合であるとき、と が集合であるとき、に対して...${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H(U):=\bigcup _{h\in H}h(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle H(U)\subseteq V.}$

およびを位相ベクトル空間(TVS) とし、をから への線型作用素の族とします 。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

1. ${\displaystyle H}$ 等連続である。
2. ${\displaystyle H}$ は、すべての点で等連続である${\displaystyle X.}$
3. ${\displaystyle H}$ ある時点で等連続である${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$ 原点において等連続である。
   • つまり、における原点の任意の近傍に対して、 における原点の近傍が存在し、そのような近傍が存在する（または、任意の に対して同様に）。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h(U)\subseteq V}$ ${\displaystyle h\in H}$
   ^{[ 8 ]}
5. における原点の近傍はすべてにおける原点の近傍である。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \bigcap _{h\in H}h^{-1}(V)}$ ${\displaystyle X.}$
6. の閉包は等連続である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
   • ${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$ 点単位の収束の位相を備えていることを示します。${\displaystyle L(X;Y)}$
7. の平衡殻は等連続である。${\displaystyle H}$

が局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle Y}$

8. の凸包は等連続である。^{[ 9 ]}${\displaystyle H}$
9. の凸均衡包は等連続である。^{[ 10 ] [ 9 ]}${\displaystyle H}$

一方、およびが局所的に凸である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

10. 上の任意の連続半ノルム に対して、上の連続半ノルムが存在し、すべての^{[ 9 ]}に対して${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\circ h\leq p}$ ${\displaystyle h\in H.}$
    • ここで、すべての${\displaystyle q\circ h\leq p}$ ${\displaystyle q(h(x))\leq p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

一方、が樽型で局所的に凸型である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

11. ${\displaystyle H}$ は境界で囲まれている。^{[ 11 ]}${\displaystyle L_{\sigma }(X;Y)}$
12. ${\displaystyle H}$ ^{は[ 11 ]}で囲まれる${\displaystyle L_{b}(X;Y).}$
    • ${\displaystyle L_{b}(X;Y)}$ は、有界収束の位相（つまり、${\displaystyle L(X;Y)}$ ${\displaystyle X.}$

一方、とがバナッハ空間である場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

13. ${\displaystyle \sup\{\|T\|:T\in H\\infty }$ (つまり、は演算子ノルムで一様に制限されます)。${\displaystyle H}$

等連続線形関数の特徴づけ

を体上の位相ベクトル空間（TVS）とし、連続双対空間とする。上の線型汎関数 族が点において等連続であるとは、任意の原点近傍に対して、任意の原点近傍が存在し、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h(x+U)\subseteq h(x)+V}$ ${\displaystyle h\in H.}$

任意の部分集合に対して、以下は同値である: ^{[ 9 ]}${\displaystyle H\subseteq X^{\prime },}$

1. ${\displaystyle H}$ 等連続です。
2. ${\displaystyle H}$ 原点において等連続である。
3. ${\displaystyle H}$ ある時点で等連続である${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle H}$ ^{[ 10 ]}の原点の近傍の極に含まれる${\displaystyle X}$
5. の（前）極は原点の近傍である${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X.}$
6. の弱*閉包は等連続である。${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$
7. の平衡殻は等連続である。${\displaystyle H}$
8. の凸包は等連続である。${\displaystyle H}$
9. の凸均衡包は等連続である。^{[ 10 ]}${\displaystyle H}$

が正規化されている場合、このリストは以下を含むように拡張できます。 ${\displaystyle X}$

10. ${\displaystyle H}$ ^{は[ 10 ]}の強く有界な部分集合である。${\displaystyle X^{\prime }.}$

一方、バレルスペースの場合は、このリストは次のように拡張される可能性があります。 ${\displaystyle X}$

11. ${\displaystyle H}$ ^{は[ 11 ]}上の弱*位相において比較的コンパクトである。${\displaystyle X^{\prime }.}$
12. ${\displaystyle H}$ は弱有界である（つまり、はにおいて有界である）。^{[ 11 ]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)-}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$
13. ${\displaystyle H}$ は有界収束の位相において有界である（つまり、はにおいて有界である）。^{[ 11 ]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)-}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$

等連続線型写像の性質

一様有界性原理（バナッハ・シュタインハウスの定理とも呼ばれる）は、バナッハ空間間の線型写像の集合は、点ごとに有界である場合に連続同値写像であるという原理を述べている。つまり、各 に対して となる。結果は、が局所凸で が樽型空間である場合に一般化できる。^{[ 12 ]}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \sup _{h\in H}\|h(x)\|<\infty }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

等連続線形関数の性質

アラオグルの定理によれば、 の等連続部分集合の弱*閉包は弱*コンパクトであり、したがってすべての等連続部分集合は弱*相対コンパクトである。^{[ 13 ] [ 9 ]}${\displaystyle X^{\prime}}$

が任意の局所凸TVSである場合、 のすべての樽の族と のすべての部分集合のうち凸で、バランスが取れていて、閉じていて、有界であるものはすべて極性によって互いに対応する（ に関して）。^{[ 14 ]} したがって、 のすべての有界部分集合が等連続である場合に限り、局所凸TVSが樽型となる。^{[ 14 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime}}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime },}$ ${\displaystyle \left\langle X,X^{\#}\right\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$

定理—が可分なTVSであるとする。すると、 の任意の閉等連続部分集合は（部分空間位相の下で）コンパクト計量化可能空間となる。加えて が計量化可能であれば、は可分である。^{[ 14 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma}^{\prime}}$

等連続性と一様収束

X をコンパクト ハウスドルフ空間とし、 C ( X ) に一様ノルム を与えてC ( X )をバナッハ空間、つまり計量空間とします。すると、Arzelà–Ascoli の定理によれば、 C ( X )の部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それが閉じていて一様有界でかつ同質連続である場合です。^{[ 15 ]} これは、 R ⁿの部分集合がコンパクトであるための必要十分条件は、それらが閉じていて有界である場合であると述べるHeine–Borel の定理に類似しています。 ^{[ 16 ]} 系として、C ( X ) のすべての一様有界同質連続列には、 X上の連続関数に一様収束する部分列が含まれます。

アルゼラ・アスコリ定理によれば、C ( X ) の列が一様収束するとは、それが等連続かつ点収束する場合に限る。この命題の仮定は少し弱めることができる。C ( X ) の列が一様収束するとは、それが等連続かつ、 X上のある関数（連続とは仮定しない）の稠密部分集合上で点収束する場合で ある。

証拠

f _{j が}Xの稠密部分集合D上の連続関数の等連続列であるとする。ε > 0が 与えられているものとする。等 連続性により、各z ∈ Dに対して、 zの近傍U _zが存在し、

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{j}(z)|<\epsilon /3}$

全てのjとx ∈ U _zに対して成り立つ。稠密性とコンパクト性により、 Dの有限部分集合D′が見つかり、XはZ ∈ D′上のU _zの和集合となる。f _{j は}D′上で点収束するので、 N > 0 が 存在し、

${\displaystyle |f_{j}(z)-f_{k}(z)|<\epsilon /3}$

z ∈ D′かつj , k > Nのときは常に、

${\displaystyle \sup _{X}|f_{j}-f_{k}|<\epsilon }$

すべてのj , k > Nに対して成り立つ。実際、x ∈ Xならば、あるz ∈ D′に対してx ∈ U _zとなり、以下の式が得られる。

${\displaystyle |f_{j}(x)-f_{k}(x)|\leq |f_{j}(x)-f_{j}(z)|+|f_{j}(z)-f_{k}(z)|+|f_{k}(z)-f_{k}(x)|<\epsilon }$ 。

したがって、f _jはC ( X )の Cauchy となり、完全収束します。

この弱いバージョンは、可分コンパクト空間におけるアルゼラ・アスコリ定理の証明に典型的に用いられる。もう一つの帰結として、計量空間上または局所コンパクト空間上の連続関数の点収束する等連続列の極限は連続となる。（例については下記を参照。）上記において、Xのコンパクト性に関する仮定は 緩和できない。これを確認するには、R上のコンパクトに支えられた連続関数g（g (0) = 1）と、 R上の等連続列{ ƒ _n } （ ƒ _n ( x ) = g ( x − n )）を考える。すると、ƒ _{n は}点収束は0となるが、一様収束はしない。

一様収束のこの判定基準は、実解析および複素解析でしばしば有用である。R ⁿのある開部分集合G上で点ごとに収束する連続関数の列が与えられたとしよう。上で述べたように、それがGのコンパクト部分集合上で一様収束するとは、そのコンパクト部分集合上で一様収束することを意味する。実際には、同連続性を示すことはそれほど難しくないことが多い。例えば、列が微分可能関数または何らかの規則性を持つ関数（例えば、関数が微分方程式の解である）で構成されている場合、平均値定理またはその他の推定値を使用して、列が同連続であることを示すことができる。すると、列の極限はGのすべてのコンパクト部分集合上で連続であり、したがって、G上で連続であるということがわかる。関数が正則である場合にも、同様の議論を行うことができる。例えば、コーシーの推定値を使用して（コンパクト部分集合上で）同連続性を示し、極限が正則であると結論付けることができる。ここでは同連続性が不可欠であることに注意してください。たとえば、ƒ _n ( x ) = arctan n xは不連続符号関数の倍数に収束します。

一般化

位相空間における等連続性

等連続性が定義できる最も一般的なシナリオは位相空間であるが、一様等連続性は、ある点の近傍フィルタが別の点の近傍フィルタと何らかの形で比較可能であることを必要とする。後者は、一様構造によって最も一般的に実現され、一様空間を与える。これらの場合の適切な定義は以下の通りである。

2つの位相空間XとYの間で連続する関数の集合Aが、点x ∈ Xと点 y ∈ Yにおいて位相的に等連続であるとは、 yについての任意の開集合Oに対して、 xの近傍Uとyの近傍Vが存在し、任意のf ∈ Aに対して、 f [ U ] とVの積が空でなければ、 f [ U ] ⊆ Oが成り立つことを言う。 このとき、 Aがx ∈ Xにおいて位相的に等連続であるとは、各y ∈ Yに対してxとyにおいて位相的に等連続であることを意味する。 最後に、 A がすべての点x ∈ Xに対してxにおいて等連続である場合、Aは等連続であることを意味する。

２つの一様空間XとYの間の連続関数の集合Aが一様等連続であるとは、 Y上の一様性の任意の元Wに対して、集合

{ ( u,v ) ∈ X × X : すべてのf ∈ Aに対して。 ( f ( u ), f ( v )) ∈ W }

X上の均一性の要素である

均一空間入門

ここで、均一性の根底にある基本的な考え方について簡単に説明します。

一様性𝒱 は、Y × Yの部分集合の空でない集合であり、他の多くの性質の中でも、すべてのV ∈ 𝒱において、VはYの対角線（すなわち{( y , y ) ∈ Y }）を含む。𝒱 のすべての要素は、 entourageと呼ばれる。

一様性は、距離がr未満であることを意味する「 r近い」（r > 0 ）点（距離空間から得られる）の考え方を一般化したものである。これを明確にするために、（Y、d）が距離空間であると仮定する（したがって、 Yの対角線は集合{( y、z ) ∈ Y × Y  : d ( y、z ) = 0} ）任意のr > 0に対して、

U _r = {( y , z ) ∈ Y × Y  : d ( y , z ) < r }

r近傍のすべての点のペアの集合を表す。仮にdの存在を「忘れた」としても、任意のr > 0に対して、集合U _rのみを用いてYの2点がr近傍かどうかを判断できる点に注意されたい。このように、集合U _{r は、}一様連続性や一様収束性などを定義するために必要なすべての情報を、計量を用いることなくカプセル化している。これらの集合の最も基本的な性質を公理化すると、一様性の定義につながる。実際、集合U _{r は}、計量空間( Y , d )に正準的に関連付けられた一様性を生成する。

この一般化の利点は、計量空間（例えば完全性）において意味を持ついくつかの重要な定義を、より広い範囲の位相空間に拡張できることである。特に、位相群と位相ベクトル空間に拡張できる。

より弱い概念は、連続性さえあるというものである

2つの位相空間XとYの間の連続関数の集合Aがx ∈ Xとy ∈ Yにおいて均等連続であるとは、 y を含む任意の開集合Oに対して、 f ( x ) ∈ Vのときはいつでもf [ U ] ⊆ Oとなるようなxの近傍Uとyの近傍Vが存在することを言う。任意のy ∈ Yに対してxとyで均等連続である場合、それは x において均等連続であり、任意のx ∈ Xに対してxで均等連続である場合、それは均等連続である。

確率的等連続性

確率的等連続性は、確率変数の関数の列とその収束の文脈で使用される等連続性の一種である。^{[ 17 ]}

参照

• 絶対連続性 – 関数の連続性の形式
• 不連続性の分類 – 不連続点の数学的解析
• 粗い関数
• 連続関数 – 突然の変化のない数学関数
• 連続関数（集合論）
• 連続確率過程 – 時間または指標パラメータの連続関数である確率過程
• ディニ連続性 – 連続性の特殊な形式
• 方向保存関数- 離散空間における連続関数の類似物。
• 微小連続性 – 数学用語
• 正規関数 – 数学における順序数の関数
• 区分的 – 複数のサブ関数によって定義される関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 対称的に連続した関数
• 均一な連続性 – 機能の変化の均一な抑制

注記

1. より一般的には、任意のコンパクト生成空間上、例えば第一可算空間上。
2. ルディン 1991、p.44 §2.5。
3. リード＆サイモン（1980）、p.29;ルーディン（1987）、p.245
4. リード＆サイモン（1980）、29ページ
5. アラン・F・ベアドン、S・アクラー、FW・ゲーリング、KA・リベット：有理関数の反復：複雑解析動的システム、シュプリンガー、2000年、 ISBN 0-387-95151-2、ISBN 978-0-387-95151-5; 49ページ
6. ジョセフ・H・シルバーマン著『力学系の算術』シュプリンガー、2007年、 ISBN 0-387-69903-1、ISBN 978-0-387-69903-5; 22ページ
7. ナリシ＆ベッケンシュタイン 2011、133–136頁。
8. Rudin 1991、p. 44 定理2.4。
9. ナリシ & ベッケンシュタイン 2011、225–273 ページ。
10. Treves 2006、335–345 ページ。
11. Treves 2006、346–350 ページ。
12. Schaefer 1966、定理4.2。
13. Schaefer 1966、系4.3。
14. シェーファー＆ウォルフ 1999、123–128ページ。
15. Rudin 1991、p. 394付録A5。
16. Rudin 1991、p. 18 定理1.23。
17. de Jong, Robert M. (1993). 「混合プロセスにおける確率的等連続性」.漸近理論：拡張パラメータ空間法と計量経済学におけるデータ依存性. アムステルダム. pp.  53– 72. ISBN 90-5170-227-2。

参考文献

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• リード、マイケル;サイモン、バリー(1980)、『機能分析』（改訂増補版）、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミック・プレス、ISBN 978-0-12-585050-6。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .

• ルディン、ウォルター(1991).関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .

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