ユークリッド領域

数学、より具体的には環論において、ユークリッド領域（ユークリッド環とも呼ばれる）は、整数のユークリッド除算を適切に一般化できるユークリッド関数を持つ整域です。この一般化されたユークリッドのアルゴリズムは、整数環におけるユークリッドの元のアルゴリズムと同じように、多くの用途に使用できます。つまり、任意のユークリッド領域において、ユークリッドのアルゴリズムを適用して任意の2つの要素の最大公約数を計算できます。特に、任意の2つの要素の最大公約数は存在し、それらの線形結合として表すことができます（ベズーの恒等式）。特に、整数のユークリッド除算と体上の1変数多項式の効率的なアルゴリズムの存在は、コンピュータ 代数において基本的に重要です

ユークリッド整域のクラスを、より大きなクラスの主イデアル整域（PID）と比較することは重要です。任意のPIDはユークリッド整域（あるいは整数環でさえ）​​とほぼ同じ「構造的特性」を持ちますが、最大公約数を計算するユークリッド互除法や拡張ユークリッド互除法に相当するものはありません。したがって、整域Rが与えられた場合、 R がユークリッド関数を持つことを知ることは非常に有用です。特に、これはRがPIDであることを意味します。しかし、「自明な」ユークリッド関数が存在しない場合、RがPIDであるかどうかを判断することは、ユークリッド整域であるかどうかを判断するよりもはるかに容易な問題です。

ユークリッド域内のすべてのイデアルは主イデアルであり、これは算術の基本定理の適切な一般化を意味する。すなわち、すべてのユークリッド域は唯一の因数分解域でもある。ユークリッド域は、以下の類包含の連鎖に現れる。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

定義

Rを整域とする。R上のユークリッド関数とは、 R \ {0}から非負整数への 関数fであり、以下の基本的な剰余除法の性質を満たす。

  • (EF1) aとbがRに含まれ、bが0でない場合、Rにqとrが存在し、 a = bq + rかつr = 0またはf ( r )< f ( b )のいずれかとなります。

ユークリッド整域とは、少なくとも一つのユークリッド関数を包含できる整域である。特定のユークリッド関数fはユークリッド整域の定義には含まれない。なぜなら、一般にユークリッド整域は多くの異なるユークリッド関数を包含する可能性があるからである。

この文脈において、qとr はそれぞれaをbで割ったときの商と剰余（ユークリッド除算）と呼ばれます。整数や多項式の場合とは異なり、商は一般に一意に定義されませんが、商が選ばれれば剰余は一意に定義されます。

ほとんどの代数学のテキストでは、ユークリッド関数に次の追加の特性が必要です。

  • (EF2) R内のすべての非ゼロのaとbについて、f ( a )≤f ( ab )が成り立ちます。

しかし、(EF1)のみでユークリッド領域を定義するのに十分であることが示せます。整域Rに(EF1)を満たす関数gが与えられているならば、 Rには(EF1)と(EF2)の両方を同時に満たす関数も与えられます。実際、R \ {0}内のaに対して、 f ( a )を次のように定義できます。 [ 1 ]

f（a）＝分×∈R∖{0}g（×a）{\displaystyle f(a)=\min_{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)}

言葉で言えば、f ( a ) を、 aによって生成される主イデアルのすべての非ゼロ元の集合上でgが達成する最小値として定義することができます。

ユークリッド関数fが乗法関数であるとは、f ( ab ) = f ( a ) f ( b )かつf ( a )が決してゼロにならないことを意味する。したがって、f (1) = 1 となる。より一般的には、a が単位元である場合に限り、 f ( a ) = 1 となる。

定義に関する注記

多くの著者は「ユークリッド関数」の代わりに「次数関数」「評価関数」「ゲージ関数」「ノルム関数」などの他の用語を使用しています。[ 2 ]一部の著者は、ユークリッド関数の定義域が環R全体であることを要求しています。[ 2 ]しかし、(EF1)はf (0)の値を含まないため、これは本質的に定義に影響を与えません。定義は、ユークリッド関数が任意の整列集合で値をとることを許容することで一般化されることがあります。この弱められた定義は、ユークリッドの性質の最も重要な意味合いに影響を与えません。

性質(EF1)は次のように言い換えられる。Rの任意の主イデアルIで生成元bが非零であるとき、商環R / Iのすべての非零類には代表rが存在し、 f ( r )< f ( b )を満たす。fの取り得る値は整列しているので、この性質は、その類においてf(r)の値が最小となる任意のr∉Iに対してf(r)<f(b)であることを示すことによって証明できる。 このように証明されたユークリッド関数 の場合、( EF1 )においてqとrを決定するための有効な方法が存在する必要はないことに注意されたい。

例

ユークリッド域の例には以下が含まれます。

  • 任意の体。すべての非零のxに対してf ( x ) = 1と定義します
  • Zを整数環とする。f ( n ) = | n |をnの絶対値 として定義する。 [ 3 ]
  • Z [ i ]をガウス整数環とする。ガウス整数a + biのノルムをf ( a + bi ) = a 2 + b 2と定義する。
  • Z [ ω ]（ただし⁠ ⁠は1ω＝−1±−32{\displaystyle \omega ={\tfrac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}の原始立方根）はアイゼンシュタイン整数環である。アイゼンシュタイン整数a + bωのノルムをf ( a + bω ) = a 2 − ab + b 2と定義する。
  • Z [ φ ]は黄金比である黄金整数環である。f ( a + bφ ) = | a 2 + ab − b 2 | をa + bφの体ノルムの絶対値として。φ＝1+52{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}
  • K [ X ]は体K上の多項式環である。各非零多項式Pに対して、 f ( P )をPの次数として。 [ 4 ]
  • K [[ X ]] は、体K上の形式的冪級数の環である。各非零冪級数Pについて、 f ( P )をPの位数、すなわちPに現れるXの最小の冪の次数として。特に、2つの非零冪級数PとQについて、 f ( P ) ≤ f ( Q )となるのは、 P がQを割り切る場合のみである。
  • 任意の離散値環。f ( x ) をxを含む極大イデアルMの最大のべき乗と定義する。同様に、g をMの生成元とし、g vがxの関連元となる唯一の整数をvとすると、f ( x ) = vと定義する。前述の例K [[ X ]]は、この特殊なケースである。
  • 有限個の非零素イデアルP 1 , ..., P nを持つデデキント領域。を定義する。ここで、v iはイデアルP iに対応する離散値である。[ 5 ]f（×）＝∑i＝1nvi（×）{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)}

ユークリッド領域で はない領域の例には次のものがあります。

  • 体上の少なくとも2つの不定元における多項式環、整数係数を持つ一変数多項式環、数環Z [ √ −5 ]などの主イデアル領域ではないすべての領域。
  • Q ( √ −19 )の整数環は、数 ⁠ から成ります。a + b √ −19/2⁠ここで、 aとbは整数であり、両方とも偶数または両方とも奇数である。これはユークリッドではない主イデアル領域である。これはセオドア・モツキンによって証明され、初めて知られた例である。 [ 6 ]
  • 環A = R [ X , Y ]/( X 2 + Y 2 + 1 )もまた主イデアル領域[ 7 ]であるが、これはユークリッド領域ではない。これがユークリッド領域でないことは、任意の非零素数に対して、商写像によって誘導される写像が射影的でないことを示すだけで十分である[ 8 ]。p∈A{\displaystyle p\in A}A×→（A/p）×{\displaystyle A^{\times }\to (A/p)^{\times }}A→A/p{\displaystyle A\to A/p}

性質

Rを定義域とし、fをR上のユークリッド関数とします。すると、次のようになります

  • Rは主イデアル領域(PID)です。実際、I がRの非零イデアルである場合、 f ( a ) の最小値 (その集合上) を持つI \ {0}の任意の元aはIの生成元です。[ 9 ]結果として、Rは一意の因数分解領域であり、ノイザン環でもあります。一般の主イデアル領域に関しては、因数分解の存在 (つまり、Rが原子領域であること) はユークリッド領域で特に簡単に証明できます。 (EF2) を満たすユークリッド関数fを選択すると、 x はf ( x ) 個を超える非単位因数に分解することはできないため、xから始めて約分因数を繰り返し分解すると、必ず既約元への因数分解が生成されます。
  • fが大域的に最小値をとるRの任意の元は、 Rにおいて逆元となる。(EF2)を満たすfが選択された場合、逆もまた成り立ち、f はRの逆元においてまさに最小値をとる。
  • ユークリッド除算がアルゴリズム的である場合、つまり商と余りを計算するアルゴリズムがある場合、拡張ユークリッドアルゴリズムは整数の場合とまったく同じように定義できます。[ 10 ]
  • ユークリッド域が体でない場合は、普遍側因子と呼ばれる非単位元aを持ちます[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] 。この非単位元 a には、次のような性質があります。 aで割り切れない任意の元xは、ある単位元uとある元yに対して、x = ay + uと書くことができます。これは、a を非単位元としてf ( a ) が可能な限り小さくなるようにとることで得られます。この奇妙な性質は、すべての主イデアル域がこの性質を持つわけではないため、一部の主イデアル域はユークリッド域ではないことを示すために使用できます。たとえば、d = −19、−43、−67、−163 の場合、の整数環はPID ですが、これはユークリッド域ではありません(この性質を持たないため)。しかし、 d = −1、−2、−3、−7、−11の場合はユークリッド域です[ 11 ]Q（d）{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}

しかし、自明な類群を持つQの多くの有限拡大では、整数環はユークリッドである (体ノルムの絶対値に関しては必ずしもそうではない。下記参照)。拡張リーマン予想を仮定して、KがQの有限拡大でKの整数環が無限個の単位を持つ PID であれば、整数環はユークリッドである。[ 15 ]特にこれは、自明な類群を持つ完全実二次数体 の場合に当てはまる。さらに (ERH を仮定しなくても)、体KがQのガロア拡大であり、自明な類群と3 より確実に大きい単位階数を持つ場合、整数環はユークリッドである。[ 16 ]このことから 直接の系として、数体がQ上のガロアであり、その類群が自明で、拡大の次数が8 より大きい場合、整数環は必然的にユークリッドである。

ノルムユークリッド体

代数体Kには、標準ノルム関数、つまり代数元αをαのすべての共役の積に取る体ノルムNの絶対値が伴う。このノルムは、数体Kの整数環、たとえばO Kを非負有理整数に写すので、この環上のユークリッドノルムの候補となる。このノルムがユークリッド関数の公理を満たす場合、数体Kはノルムユークリッドまたは単にユークリッドと呼ばれる。[ 17 ] [ 18 ] 厳密に言えば、体は自明にユークリッド定義域であるため、整数環がユークリッドであるが、用語は標準的である。

体がノルムユークリッド体でないからといって、整数環がユークリッド体でないということではなく、単に体のノルムがユークリッド関数の公理を満たさないということである。実際、数体の整数環はいくつかのクラスに分類できる。

  • 主でない、つまりユークリッド的でないもの、例えばQ（−5）{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}
  • ユークリッド的でない主整数、例えばQ（−19）{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)}
  • ユークリッド的だがノルムユークリッド的でないもの、例えば[ 19 ]の整数Q（69）{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)}
  • ガウス整数（ の整数）のようなノルムユークリッド的なものQ（−1）{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)}

ノルムユークリッド二次体は完全に分類されており、値 がQ（d）{\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}d{\displaystyle d}

−11、−7、−3、−2、−1、2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57、73（OEISの配列A048981）。[ 20 ]

すべてのユークリッド虚数二次体はノルムユークリッド体であり、前述のリストの最初の 5 つの体のうちの 1 つです。

参照

注釈

  1. ^ Rogers, Kenneth (1971)、「ユークリッド域の公理」、American Mathematical Monthly、78 (10): 1127–8、doi : 10.2307/2316324、JSTOR  2316324、Zbl  0227.13007
  2. ^ a bダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004).抽象代数. ワイリー. p. 270. ISBN 9780471433347。
  3. ^ Fraleigh & Katz 1967、377ページ、例1
  4. ^フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、例 2
  5. ^サミュエル、ピエール (1971年10月1日). 「ユークリッド環について」 . Journal of Algebra . 19 (2): 282–301 (p. 285). doi : 10.1016/0021-8693(71)90110-4 . ISSN 0021-8693 . 
  6. ^ Motzkin, Th (1949年12月). 「ユークリッドの互除法」 .アメリカ数学会報. 55 (12): 1142–1146 . doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 . ISSN 0002-9904 . 
  7. ^サミュエル、ピエール (1964).一意因数分解領域に関する講義(PDF) . タタ基礎研究所. pp.  27– 28.
  8. ^ 「多項式の商、PID だがユークリッド領域ではない?」。
  9. ^フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、定理 7.4
  10. ^フレイリーとカッツ、1967 年、p. 380、定理 7.7
  11. ^ a bモツキン、セオドア（1949）、「ユークリッドの互除法」、アメリカ数学会報、55（12）：1142–6、doi：10.1090/S0002-9904-1949-09344-8、Zbl 0035.30302 
  12. ^ Alaca, Şaban; Williams, Kenneth (2003). 『代数的数論入門』 ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. p. 44. ISBN 9780521832502。
  13. ^ロットマン、ジョセフ (2002).アドバンスト・モダン・アルジェブラ(第1版). プレンティス・ホール. p. 154. ISBN 0130878685。
  14. ^ダミット、デイビッド、フット、リチャード (2003).抽象代数（第3版）. Wiley. p. 277. ISBN 9780471433347。
  15. ^ Weinberger, Peter J. (1973)、「代数的整数のユークリッド環について」、純粋数学シンポジウム論文集、24、AMS: 321– 332、doi : 10.1090/pspum/024/0337902、ISBN 9780821814246{{citation}}：CS1 maint：ISBNによる作業パラメータ（リンク）
  16. ^ハーパー、マルコム；マーティ、M. ラム(2004)、「代数的整数のユークリッド環」(PDF)、Canadian Journal of Mathematics、56 (1): 71– 76、CiteSeerX 10.1.1.163.7917、doi : 10.4153/CJM-2004-004-5 
  17. ^リベンボイム、パウロ (1972).代数的数. ワイリー・インターサイエンス. ISBN 978-0-471-7180​​4-8。
  18. ^ハーディ, GH; ライト, EM; シルバーマン, ジョセフ; ウィルズ, アンドリュー (2008). 『数論入門』（第6版）. オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-921986-5。
  19. ^ Clark, David A. (1994). 「ユークリッド的だがノルムユークリッド的ではない二次体」. Manuscripta Mathematica . 83 ( 3–4 ): 327–330 . CiteSeerX 10.1.1.360.6129 . doi : 10.1007/BF02567617 . Zbl 0817.11047  
  20. ^ルヴェック, ウィリアム・J. (2002) [1956].数論の話題. 第1巻と第2巻. ドーバー.  II:57, 81頁. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl  1009.11001 .

参考文献

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