オイラー・ラグランジュ方程式

変分法と古典力学において、オイラー・ラグランジュ方程式^{[ 1 ]}は、与えられた作用関数の停留点を解とする2階常微分方程式系である。この方程式は、1750年代にスイスの数学者レオンハルト・オイラーとイタリアの数学者ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによって発見された。

微分可能関数はその局所的極値で定常であるため、オイラー・ラグランジュ方程式は、ある関数が与えられたときにそれを最小化または最大化する関数を求める最適化問題を解くのに役立ちます。これは、微積分学におけるフェルマーの定理に類似しており、微分可能関数が局所的極値を達成するどの点でもその導関数は0 になります。ラグランジュ力学では、ハミルトンの定常作用原理に従って、物理システムの発展は、システムの作用に関するオイラー方程式の解によって記述されます。この文脈では、オイラー方程式は通常、ラグランジュ方程式と呼ばれます。古典力学では、^{[ 2 ]}これはニュートンの運動の法則に相当し、実際、オイラー・ラグランジュ方程式はニュートンの法則と同じ方程式を生成します。これは、力のベクトルが特に複雑なシステムを解析するときに特に役立ちます。これは、あらゆる一般化座標系において同じ形をとるという利点があり、一般化に適している。古典場の理論には、場の力学を計算するための類似の方程式がある。

歴史

オイラー・ラグランジュ方程式は、トートクローン問題の研究に関連して開発されました。

オイラー・ラグランジュ方程式は、1750年代にオイラーとラグランジュによって、トートクローン問題の研究に関連して考案されました。これは、出発点に依存せず、重みのある粒子が一定の時間内に一定の点に落下する曲線を求める問題です。

ラグランジュは1755年にこの問題を解き、その解をオイラーに送った。二人はラグランジュの手法をさらに発展させ、力学に適用することでラグランジュ力学の定式化に至った。二人のやり取りは最終的に変分法へとつながり、この用語は1766年にオイラー自身によって造語された。^{[ 3 ]}

声明

を自由度 の実力学系とする。ここでは配置空間であり、ラグランジアン、すなわち となるような滑らかな実数値関数であり、は次元の「速度ベクトル」である。（微分幾何学に詳しい方のために説明すると、は滑らかな多様体であり、は^{[ 4 ]}の接束である。）${\displaystyle (X,L)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L=L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\boldsymbol {v}}(t))}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t)\in X,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\colon {\mathbb {R} }_{t}\times TX\to {\mathbb {R} },}$ ${\displaystyle TX}$ ${\displaystyle X).}$

を滑らかな経路の集合とし、${\displaystyle {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(a)={\boldsymbol {x}}_{a}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(b)={\boldsymbol {x}}_{b}.}$

アクション関数 は次のように定義されます。 ${\displaystyle S\colon {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle S[{\boldsymbol {q}}]=\int _{a}^{b}L(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))\,dt.}$$

パスは、次の場合のみ 停留点となる。${\displaystyle {\boldsymbol {q}}\in {\cal {P}}(a,b,{\boldsymbol {x}}_{a},{\boldsymbol {x}}_{b})}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{i}}}(t,{\boldsymbol {q}}(t),{\dot {\boldsymbol {q}}}(t))=0,\quad i=1,\dots ,n.}$

ここで、は の時間微分です。ここで「静止点」とは、における任意の小さな摂動に対するの静止点を意味します。より厳密な詳細については、以下の証明を参照してください。 ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {q}}}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}(t).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$

1次元オイラー・ラグランジュ方程式の導出

1次元オイラー・ラグランジュ方程式の導出は、数学における古典的な証明の一つである。これは変分法の基本補題に基づいている。

境界条件、を満たし、関数を極値化する 関数を求めたい。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)=A}$ ${\displaystyle f(b)=B}$ $${\displaystyle J[f]=\int _{a}^{b}L(x,f(x),f'(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

は2回連続微分可能であると仮定する。^{[ 5 ]}より弱い仮定を使用することもできるが、証明はより困難になる。 ${\displaystyle L}$

関数が境界条件に従って極値化する場合、境界値を維持するのわずかな摂動は、 （が最小化関数の場合）増加するか、（が最大化関数の場合）減少する必要があります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f}$

をの摂動の結果とします。ここでは小さく、は を満たす微分可能関数です。次に定義します。 ${\displaystyle f+\varepsilon \eta }$ ${\displaystyle \varepsilon \eta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ $${\displaystyle \Phi (\varepsilon )=J[f+\varepsilon \eta ]=\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\ .}$$

ここで、 εに関するの全微分を計算します。 ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}L(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial {f}}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x)+\varepsilon \eta (x),f'(x)+\varepsilon \eta '(x))\right]\mathrm {d} x\ .\end{aligned}}}$$

3 行目は、 が に依存しない、つまり であるという事実から導き出されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varepsilon }}=0}$

のとき、極値を持ち、 ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} \varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\int _{a}^{b}\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))+\eta '(x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\,\right]\,\mathrm {d} x=0\ .}$$

次のステップは、被積分関数の2番目の項に 部分積分を適用し、$${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x+\left[\eta (x){\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]_{a}^{b}=0\ .}$$

境界条件を用いると、 ${\displaystyle \eta (a)=\eta (b)=0}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[{\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))\right]\eta (x)\,\mathrm {d} x=0\,.}$$

変分法の基本補題を適用すると、オイラー・ラグランジュ方程式が得られる。 $${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}(x,f(x),f'(x))-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}(x,f(x),f'(x))=0\,.}$$

1次元オイラー・ラグランジュ方程式の代替導出

境界条件が および である上の 関数が与えられた場合 、極値曲線を線分を含む折れ線で近似し、線分の数が任意に大きくなるにつれて極限まで進みます。 $${\displaystyle J=\int _{a}^{b}L(t,y(t),y'(t))\,\mathrm {d} t}$$ ${\displaystyle C^{1}([a,b])}$ ${\displaystyle y(a)=A}$ ${\displaystyle y(b)=B}$ ${\displaystyle n}$

区間を端点を持つ等しい線分に分割し、 とする。滑らかな関数ではなく、頂点が で、 である折れ線を考える。したがって、関数は次式で表される変数 の実関数となる。${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}=a,t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}=b}$ ${\displaystyle \Delta t=t_{k}-t_{k-1}}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0}),\ldots ,(t_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle y_{0}=A}$ ${\displaystyle y_{n}=B}$ ${\displaystyle n-1}$ $${\displaystyle J(y_{1},\ldots ,y_{n-1})\approx \sum _{k=0}^{n-1}L\left(t_{k},y_{k},{\frac {y_{k+1}-y_{k}}{\Delta t}}\right)\Delta t.}$$

離散点上で定義されたこの新しい関数の極値は、 ${\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J(y_{1},\ldots ,y_{n})}{\partial y_{m}}}=0.}$$

3 番目の引数の導関数では、の変更はm だけでなく m-1 でも L に影響することに注意してください。 ${\displaystyle y_{m}}$ $${\displaystyle L({\text{3rd argument}})\left({\frac {y_{m+1}-(y_{m}+\Delta y_{m})}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$ $${\displaystyle L\left({\frac {(y_{m}+\Delta y_{m})-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)=L\left({\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial y'}}{\frac {\Delta y_{m}}{\Delta t}}}$$

偏微分を評価すると、 $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)\Delta t+L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right).}$$

上記の式を で割ると、 この式の右辺の 極限をとると次の式が得られます。${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\frac {\partial J}{\partial y_{m}\Delta t}}=L_{y}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-{\frac {1}{\Delta t}}\left[L_{y'}\left(t_{m},y_{m},{\frac {y_{m+1}-y_{m}}{\Delta t}}\right)-L_{y'}\left(t_{m-1},y_{m-1},{\frac {y_{m}-y_{m-1}}{\Delta t}}\right)\right],}$$ ${\displaystyle \Delta t\to 0}$ $${\displaystyle L_{y}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}L_{y'}=0.}$$

前の式の左辺は、関数の関数微分 です。微分可能な関数が何らかの関数上で極値を持つための必要条件は、その関数における関数微分が0であることであり、これは最後の式によって満たされています。 ${\displaystyle \delta J/\delta y}$ ${\displaystyle J}$

例

標準的な例としては、 y ( a ) = cかつy ( b ) = dとなるような、yが描く曲線に沿った経路長が可能な限り短くなる、区間 [ a , b ] 上の実数値関数y ( x )を見つけることです。

${\displaystyle {\text{s}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,\mathrm {d} x,}$

積分関数は です。 ${\textstyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$

Lの偏導関数は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}\quad {\text{and}}\quad {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

これらをオイラー・ラグランジュ方程式に代入すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}=:A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

つまり、関数は定数の一次導関数を持つ必要があり、したがってそのグラフは直線になります。

一般化

高階微分を持つ単一変数の単一関数

関数の定常値は

${\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x~;~~f':={\cfrac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},~f'':={\cfrac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},~f^{(k)}:={\cfrac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}$

オイラー・ラグランジュ方程式から得られる^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\cfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\cfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\cfrac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\cfrac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0}$

関数自体と1次導関数（つまりすべての）の境界条件は固定されている。最高導関数の終点は可変である。 ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle f^{(i)},i\in \{0,...,k-1\}}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

単一変数、単一導関数の複数の関数

問題が、関数の極値を定義する 単一の独立変数（ ）の複数の関数（ ）を見つけることである場合${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')~\mathrm {d} x~;~~f_{i}':={\cfrac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}}$

対応するオイラー・ラグランジュ方程式は^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0;\quad i=1,2,...,m\end{aligned}}}$

単一の導関数を持つ複数の変数の単一関数

多次元一般化は、n変数の関数を考えることによって得られる。が何らかの曲面である場合、 ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{1},\dots ,f_{n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{j}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{j}}}}$

は、 fが偏微分方程式を満たす場合にのみ極値となる。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{j}}}\right)=0.}$

n = 2 かつ汎関数がエネルギー汎関数の場合、これは石鹸膜最小曲面問題につながります。 ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

単一の導関数を持つ多変数関数

決定すべき複数の未知の関数と複数の変数がある場合、

${\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \,\!~;~~f_{i,j}:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$

オイラー・ラグランジュ方程式系は^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1}\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2}\\\vdots \qquad \vdots \qquad &\quad \vdots \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}}$

高階微分を持つ2変数の単関数

二つの変数x ₁とx ₂に依存する単一の未知の関数fが決定されるべきであり、その 関数がfのn次の高次の導関数に依存し、

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{1},f_{2},f_{11},f_{12},f_{22},\dots ,f_{22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i}:={\cfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{ij}:={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

するとオイラー・ラグランジュ方程式は^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial x_{2}^{n}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{22\dots 2}}}\right)=0\end{aligned}}}$

これは簡単に次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

ここで、 は変数の数にまたがるインデックス、つまり 1 から 2 までです。ここで、インデックスの合計は のみ です。これは、同じ偏導関数が複数回カウントされるのを避けるためです。たとえば、前の式では は 1 回だけ現れます。 ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle \mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \ldots \leq \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{12}=f_{21}}$

高階微分を持つ多変数関数

決定すべきp個の未知の関数f _iがあり、それらはm個の変数x ₁ ... x _mに依存しており、その 関数がf _iのn次の高階導関数に依存し、

${\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\ldots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\ldots ,x_{m};f_{1},\ldots ,f_{p};f_{1,1},\ldots ,f_{p,m};f_{1,11},\ldots ,f_{p,mm};\ldots ;f_{p,1\ldots 1},\ldots ,f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\cfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\cfrac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}$

ここで、添字は変数の数、つまり1からmまでの範囲である。すると、オイラー・ラグランジュ方程式は ${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

ここで、 の和は、前の節と同様に、 同じ導関数を複数回数えることを避けている。これはより簡潔に次のように表すことができる。${\displaystyle \mu _{1}\dots \mu _{j}}$ ${\displaystyle f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leq \ldots \leq \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0}$

場の理論

多様体への一般化

を滑らかな多様体とし、を滑らかな関数 の空間とする。すると、${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }([a,b])}$ ${\displaystyle f\colon [a,b]\to M}$ ${\displaystyle S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t}$

ここではラグランジアンであり、 というステートメントは、すべての に対して、の近傍の各座標フレーム単純化によって次の方程式が得られるというステートメントと同等です。 ${\displaystyle L\colon TM\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} S_{f}=0}$ ${\displaystyle t\in [a,b]}$ ${\displaystyle (x^{i},X^{i})}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)}$ ${\displaystyle \dim M}$

${\displaystyle \forall i:{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.}$

オイラー・ラグランジュ方程式は座標フリー形式で次のように書くこともできる^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Delta }\theta _{L}=dL}$

ここではラグランジアン に対応する正準運動量1-形式です。時間並進を生成するベクトル場は で表され、リー微分は で表されます。および の局所チャートを用い、リー微分の座標表現を用いることで、オイラー・ラグランジュ方程式の座標表現との等価性を確認することができます。座標自由形式は、オイラー・ラグランジュ方程式の幾何学的解釈に特に適しています。 ${\displaystyle \theta _{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle (q^{\alpha },{\dot {q}}^{\alpha })}$ ${\displaystyle \theta _{L}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}dq^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Delta :={\frac {d}{dt}}={\dot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial q^{\alpha }}}+{\ddot {q}}^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}^{\alpha }}}}$

参照

• ラグランジアン力学
• ハミルトン力学
• 解析力学
• ベルトラミのアイデンティティ
• 機能的微分

注記

1. フォックス、チャールズ (1987).変分法入門. クーリエ・ドーバー出版. ISBN 978-0-486-65499-7。
2. Goldstein, H. ; Poole, CP ; Safko, J. (2014).古典力学（第3版）. Addison Wesley.
3. ラグランジュの略歴 2007年7月14日アーカイブWayback Machine
4. 「変分法の要素」、多様体幾何学講義（第3版）、WORLD SCIENTIFIC、pp.  201– 226、2020年11月、doi：10.1142 / 9789811214820_0005、ISBN 978-981-12-1481-3、 2025年10月31日閲覧
5. クーラント＆ヒルベルト 1953、184ページ
6. クーラント、R ;ヒルベルト、D (1953).数理物理学の方法. 第1巻（初英語版）. ニューヨーク: インターサイエンス・パブリッシャーズ. ISBN 978-0471504474。
7. Weinstock, R. (1952).変分法とその物理学および工学への応用. ニューヨーク: マグロウヒル.
8. ホセ・サレタン（1998年）『古典力学：現代的アプローチ』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 9780521636360. 2023年9月12日閲覧。

参考文献

• 「ラグランジュ方程式（力学における）」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「オイラー・ラグランジュ微分方程式」。マスワールド。
• PlanetMathの変分法。
• ゲルファンド、イズライル・モイセヴィッチ(1963).変分法. ドーバー. ISBN 0-486-41448-5。
• Roubicek, T.: Calculus of Variations . Chapter.17 in: Mathematical Tools for Physicists . (Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7、pp.551–588。