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関数の引数として粒子状態を交換する量子力学演算子

量子力学において、交換演算子（ 置換演算子とも呼ばれる） [1]は、フォック空間の状態に作用する量子力学的演算子である。交換演算子は、結合位置量子状態[2]によって記述される任意の2つの同一粒子のラベルを交換することによって作用する。これらの粒子は同一であるため、交換対称性 の概念は、交換演算子がユニタリーであることを要求する。 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}} | x 1 , x 2 ⟩ {\displaystyle \left|x_{1},x_{2}\right\rangle }

工事

2+1時空における2つの粒子の回転による交換。回転は等価ではない。なぜなら、一方が他方に変形することはできないからである（世界線が平面から離れない限り、これは2次元空間では不可能である）。

3次元以上の次元では、交換演算子は、他のすべての粒子を固定した状態で、断熱過程における粒子の運動によって、粒子対の位置を文字通り交換することを表現できます。このような運動は実際にはしばしば行われません。むしろ、この操作はパリティ反転や時間反転操作と同様に、「もし～だったら」という仮定に基づいて扱われます。このような粒子交換の2つの繰り返し操作を考えてみましょう。

P ^ | x 1 , x 2 ⟩ = | x 2 , x 1 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }
P ^ 2 | x 1 , x 2 ⟩ = P ^ | x 2 , x 1 ⟩ = | x 1 , x 2 ⟩ {\displaystyle {\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle ={\hat {P}}\left|x_{2},x_{1}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle }

したがって、はユニタリであるだけでなく、 1の平方根演算子でもあるので、次のような可能性が残される。 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}}

P ^ | x 1 , x 2 ⟩ = ± | x 2 , x 1 ⟩ . {\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle \,.}

自然界では、どちらの符号も実現されています。+1 の条件を満たす粒子はボソン、-1 の条件を満たす粒子はフェルミオンと呼ばれます。スピン統計定理によれば、整数スピンを持つ粒子はすべてボソンであり、半整数スピンを持つ粒子はすべてフェルミオンです。

交換演算子はハミルトニアンと交換されるため、保存量となる。したがって、状態が交換演算子の固有状態となる基底を選択することは常に可能であり、通常は最も簡便である。このような状態は、系内のすべての同一のボソンの交換に対して完全に対称であるか、またはすべての同一のフェルミオンの交換に対して完全に反対称であるかのいずれかである。例えばフェルミオンに対してこれを行うには、反対称化器によってそのような完全に反対称な状態を構築する。

2次元では、粒子の断熱交換は必ずしも可能ではない。代わりに、交換作用素の固有値は複素位相因子となる可能性がある（この場合、エルミートではない）。この場合については、エニオンを参照のこと。交換作用素は厳密に1次元の系では明確に定義されていないが、1次元ネットワークを実質的に2次元系として構成することは可能である。 P ^ {\displaystyle {\hat {P}}}

量子化学

量子化学のハートリー・フォック法では、交換演算子は通常次のように定義されます。

K ^ j f i ( x → 1 ) = ϕ j ( x → 1 ) ∫ ϕ j ∗ ( x → 2 ) f i ( x → 2 ) | x → 1 − x → 2 | d x 2 3 {\displaystyle {\hat {K}}_{j}f_{i}({\vec {x}}_{1})=\phi _{j}({\vec {x}}_{1})\int {\frac {\phi _{j}^{*}({\vec {x}}_{2})f_{i}({\vec {x}}_{2})}{|{\vec {x}}_{1}-{\vec {x}}_{2}|}}dx_{2}^{3}}

ここで、 は交換演算子、は- 番目の軌道、 はによって作用される一電子軌道です。上記の式は、 - 番目の軌道と- 番目の軌道上の電子間の交換を反映しています。 K ^ j {\displaystyle {\hat {K}}_{j}} ϕ j ( x → 1 ) {\displaystyle \phi _{j}({\vec {x}}_{1})} j {\displaystyle j} f i ( x → ) {\displaystyle f_{i}({\vec {x}})} K ^ j {\displaystyle {\hat {K}}_{j}} i {\displaystyle i} j {\displaystyle j}

参照

参考文献

  1. ^ Levine, IN, Quantum Chemistry (第4版, Prentice Hall 1991) p.262. ISBN 0-205-12770-3
  2. ^ JS Townsend (2000). 量子力学への現代的アプローチ. 純粋・応用物理学国際シリーズ. 第69巻（第2版）. University Science Books. p. 342. ISBN 978-1891389139。
  • K. Kitaura; K. Morokuma (2004). 「ハートリー・フォック近似における分子間相互作用の新しいエネルギー分解法」. International Journal of Quantum Chemistry . 10 (2). Wiley: 325– 340. doi :10.1002/qua.560100211.
  • Bylander, DM; Kleinman, Leonard (1990). 「修正局所密度近似による良好な半導体バンドギャップ」. Physical Review B. 41 ( 11): 7868– 7871. Bibcode :1990PhRvB..41.7868B. doi :10.1103/PhysRevB.41.7868. PMID  :9993089.
  • AP Polychronakos (1992). 「積分可能な粒子系のための交換演算子形式論」. Phys. Rev. Lett . 69 (5): 703– 705. arXiv : hep-th/9202057 . Bibcode :1992PhRvL..69..703P. doi :10.1103/PhysRevLett.69.703. PMID  10047011. S2CID  14319416.
  • シェファルシー、P. (1957)。 「新たな交換の可能性について」。Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae。7 (3): 357–364。土井:10.1007/BF03156345。S2CID  124672448。
  • RK Nesbet (1958). 「強磁性体および反強磁性体におけるハイゼンベルク交換作用素」Annals of Physics 4 ( 1). リンカーン、マサチューセッツ州、米国: Elsevier: 87–103 . Bibcode :1958AnPhy...4...87N. doi :10.1016/0003-4916(58)90039-3.
  • 「ハートリー・フォック方程式」。
  • 2.3.同一粒子、P.ヘインズ Archived 2013-07-01 at the Wayback Machine
  • 第12章 多重粒子状態
  • 同一かつおそらく区別できない粒子の交換、J.デンカー
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