閉包演算子

数学において、集合S上の閉包作用素とは、 Sの冪集合からそれ自身への関数であり、すべての集合に対して以下の条件を満たす。cl:P（S）→P（S）{\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)}X、はい⊆S{\displaystyle X,Y\subseteq S}

X⊆cl⁡（X）{\displaystyle X\subseteq \operatorname {cl} (X)}     （clは広範囲）
X⊆はい⇒cl⁡（X）⊆cl⁡（はい）{\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl} (X)\subseteq \operatorname {cl} (Y)}     （clは増加しています）、
cl⁡（cl⁡（X））＝cl⁡（X）{\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (X))=\operatorname {cl} (X)}     (clはべき等です)。

閉包作用素は、その閉集合、すなわちcl( X )の形の集合によって決定される。これは、集合Xの閉包cl( X )が、 Xを含む最小の閉集合だからである。このような「閉集合」の族は、閉包系または「ムーア族」と呼ばれることもある。[ 1 ]閉包作用素を持つ集合は、閉包空間と呼ばれることもある。閉包作用素は「包作用素」とも呼ばれ、位相幾何学で研究される「閉包作用素」との混同を避けるためである。

歴史

EHムーアは1910年に著した『一般解析入門』で閉包作用素について研究したが、部分集合の閉包の概念は位相空間に関連したフリジェシュ・リースの研究に端を発する。 [ 2 ]閉包の概念は当時は定式化されていなかったが、19世紀後半にエルンスト・シュレーダー、リヒャルト・デデキント、ゲオルク・カントールの顕著な貢献によって生まれた。[ 3 ]

閉集合

S上の閉包作用素に関する閉集合は、冪集合P ( S ) の部分集合Cを形成する。C に属する集合の任意の交差は、Cにも属する。言い換えれば、CはP ( S )の完全な交わり部分格子である。逆に、C ⊆ P ( S ) が任意の交差に関して閉じている場合、 Sのすべての部分集合Xに、 X ⊆ Yとなる最小の集合Y ∈ Cを関連付ける関数は閉包作用素である。

与えられた閉包演算子のすべての閉集合を生成するための単純かつ高速なアルゴリズムがある。[ 4 ]

集合上の閉包作用素が位相的であるためには、閉集合の集合が有限和に関して閉じている場合、すなわち、CがP ( S )のmeet-complete部分格子である場合に限られる。位相的でない閉包作用素であっても、C は格子の構造を持つと見なすことができる。（2つの集合X , Y ⊆ P ( S )の結合はcl( X Y ) である。）しかし、その場合、Cは格子P ( S ) の部分格子ではない。 ∪{\displaystyle \cup }

集合上の有限閉包作用素が与えられたとき、有限集合の閉包は閉集合全体の集合Cのコンパクト元と全く同じである。したがって、Cは代数的半集合となる。Cは格子でもあるため、この文脈ではしばしば代数的格子と呼ばれる。逆に、C が代数的半集合である場合、閉包作用素は有限である。

擬似閉集合

有限集合S上の各閉包作用素は、その擬閉集合の像によって一意に決定される。 [ 5 ] これらは再帰的に定義される。集合が擬閉であるとは、それが閉じておらず、その擬閉真部分集合のそれぞれの閉包を含む場合である。正式には、P  ⊆  Sが擬閉であるための 必要十分条件は、

  • P  ≠ cl( P ) かつ
  • Q  ⊂  Pが擬似閉包であれば、 cl( Q ) ⊆  Pとなる。

例

多角形（黄色）の凸包（赤）

位相幾何学における通常の集合閉包は閉包作用素である。他の例としては、ベクトル空間の部分集合の線型張、ベクトル空間 の部分集合の凸包またはアフィン包、あるいは関数 の下半連続包などが挙げられる。ここでは例えば暗黙的に定義されたノルム空間であり、 は関数 のエピグラフである。 f¯{\displaystyle {\overline {f}}}f:E→R∪{±∞}{\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}E{\displaystyle E}エピ⁡（f¯）＝エピ⁡（f）¯{\displaystyle \operatorname {epi} ({\overline {f}})={\overline {\operatorname {epi} (f)}}}エピ⁡（f）{\displaystyle \operatorname {epi} (f)}f{\displaystyle f}

相対内部は 閉包演算子ではない。これは冪等ではあるが、増加せず、 がの立方体でがその面の1つである場合、 となるが、であり となるので、増加しない。[ 6 ]里{\displaystyle \operatorname {ri} }C1{\displaystyle C_{1}}R3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}C2{\displaystyle C_{2}}C2⊂C1{\displaystyle C_{2}\subset C_{1}}里⁡（C1）≠∅≠里⁡（C2）{\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\neq \emptyset \neq \operatorname {ri} (C_{2})}里⁡（C1）∩里⁡（C2）＝∅{\displaystyle \operatorname {ri} (C_{1})\cap \operatorname {ri} (C_{2})=\emptyset }

位相幾何学において、閉包演算子は位相閉包演算子であり、これは次の式を満たす必要がある。

cl⁡（X1∪⋯∪Xn）＝cl⁡（X1）∪⋯∪cl⁡（Xn）{\displaystyle \operatorname {cl} (X_{1}\cup \dots \cup X_{n})=\operatorname {cl} (X_{1})\cup \dots \cup \operatorname {cl} (X_{n})}

すべて に対して( に対しては となることに注意)。 n∈北{\displaystyle n\in \mathbb {N} }n＝0{\displaystyle n=0}cl⁡（∅）＝∅{\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }

代数学と論理学では、多くの閉包演算子は有限閉包演算子である。つまり、それらは

cl⁡（X）＝⋃{cl⁡（はい）:はい⊆X そして はい 有限}。{\displaystyle \operatorname {cl} (X)=\bigcup \left\{\operatorname {cl} (Y):Y\subseteq X{\text{ and }}Y{\text{ finite}}\right\}.}

理論計算機科学において重要な半順序集合の理論では、閉包演算子はを に置き換えるより一般的な定義を持ちます。（§ 半順序集合の閉包演算子を参照してください。） ⊆{\displaystyle \subseteq }≤{\displaystyle \leq }

位相幾何学における閉包演算子

位相空間の部分集合Xの位相閉包は、空間のすべての点yから成り、 yのすべての近傍にはXの点が含まれる。すべての部分集合Xにその閉包を関連付ける関数は位相閉包作用素である。逆に、集合上のすべての位相閉包作用素は、その閉包作用素に関して閉集合と全く同じ閉集合を持つ位相空間を生み出す。

代数における閉包演算子

有限閉包作用素は普遍代数において比較的重要な役割を果たしており、この文脈では伝統的に代数閉包作用素と呼ばれています。代数 の部分集合はどれも部分代数、つまりその集合を含む最小の部分代数を生成します。これにより有限閉包作用素が生成されます。

おそらく最もよく知られている例は、与えられたベクトル空間のすべての部分集合にその線型範囲を関連付ける関数です。同様に、与えられた群のすべての部分集合に、それによって生成される部分群を関連付ける関数もあり、体やその他のすべての種類の代数構造についても同様です。

ベクトル空間の線型張と、体における同様の代数的閉包は、どちらも交換性質を満たす。すなわち、x がAと { y }の和集合の閉包に含まれるが、 Aの閉包には含まれない場合、y はAと { x }の和集合の閉包に含まれる。この性質を持つ有限閉包作用素はマトロイドと呼ばれる。ベクトル空間の次元、あるいは素体上の体の超越次数は、対応するマトロイドの階数と正確に一致する。

与えられた体のすべての部分集合をその代数的閉包に写す関数もまた有限閉包作用素であり、一般には前述の作用素とは異なります。これらの2つの作用素を一般化する有限閉包作用素は、モデル理論においてdcl（定義可能閉包）およびacl（代数的閉包）として研究されています。

n次元ユークリッド空間における凸包は、有限閉包作用素のもう一つの例である。これは反交換性を満たす。すなわち、x が{ y } とAの和集合の閉包に含まれるが、 { y } とAの和集合の閉包には含まれない場合、yは { x } とAの和集合の閉包には含まれない。この性質を持つ有限閉包作用素は、反マトロイドを生成する。

代数学で使われる閉包演算子の別の例として、ある代数が宇宙Aを持ち、XがAのペアの集合である場合、 XにXを含む最小の合同を割り当てる演算子はA x A上の有限閉包演算子である。[ 7 ]

論理における閉包演算子

与えられた論理式から新しい論理式を導出できる規則を含む論理形式があるとする。すべての可能な論理式の集合Fを考え、P をFの冪集合で⊆ で順序付けられているとする。論理式の集合Xに対し、 Xから導出できるすべての論理式の集合をcl( X ) とする。このとき、 cl はP上の閉包作用素である。より正確には、 cl は次のように得られる。任意の有向クラスTに対して、 以下の式が成り立つような作用素Jを「連続」と呼ぶ。

J (lim T ) = lim J ( T ) です。

この連続条件は、 Jの不動点定理に基づいています。単調論理のワンステップ演算子Jを考えてみましょう。これは、任意の式の集合Xを、論理公理であるか、 X内の式からの推論規則によって得られるか、 X 内にある式の集合 J ( X )に関連付ける演算子です。この場合、このような演算子は連続であり、 cl( X ) をJがX以上である場合の最小の不動点として定義できます。このような観点から、Tarski、Brown、Suszko らは、閉包演算子理論に基づく論理への一般的なアプローチを提案しました。また、このような考え方は、プログラミング論理 (Lloyd 1987 を参照) やファジー論理(Gerla 2000 を参照) でも提案されています。

結果演算子

1930年頃、アルフレッド・タルスキは論理計算のいくつかの特性をモデル化する論理演繹の抽象理論を発展させました。数学的には、彼が記述したものは単に集合（文の集合）上の有限閉包作用素です。抽象代数論理では、有限閉包作用素はタルスキによって造られた結果作用素という名前で今でも研究されています。集合Sは文の集合、Sの部分集合Tは理論、cl( T )は理論から導かれるすべての文の集合です。今日ではこの用語は有限である必要のない閉包作用素を指すこともあり、有限閉包作用素は有限結果作用素と呼ばれることもあります。

半順序集合上の閉包演算子

半順序集合（ poset）とは、半順序≤を伴う集合、すなわち、反射的（a ≤ a）、推移的（a ≤ b ≤ cならばa ≤ c）、反対称的（a ≤ b ≤ aならばa  =  b ）な二項関係を持つ集合である。包含 ⊆ を伴うすべての冪集合P ( S ) は半順序集合である。

半順序Pからそれ自身への関数 cl: P → P は、 P内のすべての要素x、yに対して次の公理を満たす場合、閉包演算子と呼ばれます。

x ≤ cl( x ) （clは広範囲です）
x ≤ y はcl( x ) ≤ cl( y )   を意味する（clが増加しています）
cl(cl( x )) = cl( x ) （clはべき等である）

より簡潔な代替案も存在する。上記の定義は、次の単一の公理と同等である。

x ≤ cl( y ) は、cl( x ) ≤ cl( y )のときのみ成立する。

P内のすべてのx、yについて。

半集合間の関数の点ごとの順序を使用して、拡がり性プロパティを id P ≤ cl と書くこともできます。ここで id は恒等関数です。増加かつべき等であるが、拡がり性の双対、つまりk ≤ id P を満たす自己写像kは、カーネル演算子[ 8 ]、内部演算子[ 9 ]、または双対閉包[ 10 ]と呼ばれます。例として、A が集合Bのサブセットである場合、 μ A ( X ) = A ∪ Xで与えられるBの冪集合上の自己写像は閉包演算子であり、λ A ( X ) = A ∩ Xはカーネル演算子です。実数から実数への天井関数は、すべての実数xにx以上の最小の整数を割り当てますが、これも閉包演算子の別の例です。

関数 cl の不動点、すなわち cl( c ) =  cを満たすPの元cは閉元と呼ばれる。半順序集合上の閉包作用素は、その閉元によって決定される。c が閉元である場合、x ≤ cと cl( x ) ≤ cは同値である。

すべてのガロア接続（または剰余写像）から、閉包演算子が生成されます（その記事で説明されているように）。実際、すべての閉包演算子は、適切なガロア接続からこのようにして生成されます。[ 11 ]ガロア接続は、閉包演算子によって一意に決まるわけではありません。閉包演算子 cl を生成する 1 つのガロア接続は、次のように記述できます。A がclに関する閉じた元の集合である場合、cl: P → Aは、 PとAの間のガロア接続の下側随伴であり、上側随伴はAのPへの埋め込みです。さらに、何らかの部分集合のPへの埋め込みのすべての下側随伴は、閉包演算子です。「閉包演算子は埋め込みの下側随伴である」。ただし、すべての埋め込みが下側随伴を持つわけではないことに注意してください。

任意の半順序集合P は、 xからyへの単一の射が存在する場合、かつx ≤ yと同値であるようなカテゴリと見なすことができます。したがって、半順序集合P上の閉包演算子は、カテゴリP上のモナドに他なりません。同様に、閉包演算子は、半順序集合のカテゴリ上の自己関数子と見なすことができ、この自己関数子は、冪等性と拡がり性という追加の特性を持ちます。

Pが完全格子である場合、 Pの部分集合AがP上の何らかの閉包作用素に対する閉元の集合となるのは、 AがP上のムーア族である場合、すなわち、 Pの最大要素がAに含まれ、Aの空でない任意の部分集合の最小値（交わり）もAに含まれる場合のみです。このような集合Aは、それ自体がPから継承した順序を持つ完全格子です（ただし、最大値（結合）演算はPとは異なる場合があります）。 Pが集合Xの冪集合ブール代数である場合、 P上のムーア族はX上の閉包システムと呼ばれます。

P上の閉包演算子はそれ自体が完全な格子を形成します。閉包演算子の順序は、P内のすべてのxに対して cl 1 ( x ) ≤ cl 2 ( x )が成立する場合に限り、 cl 1 ≤ cl 2 で定義されます。

参照

注記

  1. ^ Diatta, Jean (2009-11-14). 「有限ムーア族の臨界集合について」 .データ分析と分類の進歩. 3 (3): 291– 304. doi : 10.1007/s11634-009-0053-8 . ISSN  1862-5355 . S2CID  26138007 .
  2. ^ブライス、11ページ。
  3. ^ Marcel Erné , Closure , in Frédéric Mynard, Elliott Pearl (Editors) , Beyond Topology , Contemporary mathes vol. 486, American Mathematical Society, 2009.
  4. ^ Ganter、アルゴリズム1
  5. ^ Ganter、セクション3.2
  6. ^ロッカフェラー、ラルフ・ティレル (1970).凸解析. プリンストン大学出版局. p. 44. doi : 10.1515/9781400873173 . ISBN 9781400873173。
  7. ^ Clifford Bergman, Universal Algebra、2012年、セクション2.4。
  8. ^ギーツ、26ページ
  9. ^ Erné, p. 2, 閉包（内部）演算を使用している
  10. ^ブライス、10ページ
  11. ^ブライス、10ページ

参考文献

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Closure_operator&oldid=1334944252」から取得