格子（秩序）

推移的な 二項関係 v t e
対称的 反対称 接続 根拠がしっかりしている 結合あり 会う 反射的 非反射的 非対称 トータル、セミコネックス 反反射的 同値関係 はい ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ はい ✗ ✗ 予約注文（準注文） ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ はい ✗ ✗ 半順序 ✗ はい ✗ ✗ ✗ ✗ はい ✗ ✗ 合計予約数 ✗ ✗ はい ✗ ✗ ✗ はい ✗ ✗ 合計注文 ✗ はい はい ✗ ✗ ✗ はい ✗ ✗ プレウェルオーダーリング ✗ ✗ はい はい ✗ ✗ はい ✗ ✗ 準秩序性 ✗ ✗ ✗ はい ✗ ✗ はい ✗ ✗ 整然とした秩序 ✗ はい はい はい ✗ ✗ はい ✗ ✗ 格子 ✗ はい ✗ ✗ はい はい はい ✗ ✗ 半格子結合 ✗ はい ✗ ✗ はい ✗ はい ✗ ✗ ミートセミラティス ✗ はい ✗ ✗ ✗ はい はい ✗ ✗ 厳密な半順序 ✗ はい ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ はい はい 厳密な弱い順序 ✗ はい ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ はい はい 厳密な全順序 ✗ はい はい ✗ ✗ ✗ ✗ はい はい 対称的 反対称 接続 根拠がしっかりしている 結合あり 会う 反射的 非反射的 非対称 定義、すべての${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ と }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ または }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{存在する}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{存在する}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
はい列の特性が行の項（一番左）に対して常に真であることを示します。一方、 ✗は、その特性が一般的には保証されていない（成り立つかどうかはわからない）ことを示します。例えば、すべての同値関係は対称的であるが、必ずしも反対称的であるとは限らないことは、「対称」列では 、また「反対称」列では ✗で示されます。はい すべての定義では、同次関係が推移的であることが暗黙的に要求されます。つまり、すべての条件が満たされ、条件が満たされると、 用語の定義には、この表に記載されていない追加のプロパティが必要になる場合があります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle aRc.}$

格子は、順序論と抽象代数学という数学の分野で研究される抽象構造である。格子は、すべての要素のペアが一意の上限（最小上限または結合とも呼ばれる）と一意の下限（最大下限または交わりとも呼ばれる）を持つ半順序集合で構成される。例として、包含によって部分的に順序付けられた集合のべき集合が挙げられ、この場合、上限は和集合、下限は積集合となる。別の例として、割り切れるかどうかによって部分的に順序付けられた自然数が挙げられ、この場合、上限は最小公倍数、下限は最大公約数となる。

格子は、特定の公理的恒等式を満たす代数構造としても特徴付けられる。2つの定義は同値であるため、格子理論は順序論と普遍代数の両方に依拠する。半格子には格子が含まれ、格子にはハイティング代数とブール代数が含まれる。これらの格子のような構造はすべて、代数的記述だけでなく 順序論的記述も可能である。

格子を研究する抽象代数学のサブフィールドは、格子理論と呼ばれます。

意味

格子は、半順序集合として順序理論的に定義することも、代数構造として定義することもできます。

半順序集合として

半順序集合（poset）は、それが結合半格子 と 交わ半格子 の両方であるとき、つまり各2要素部分集合が結合（つまり最小の上限、 で表す）と、双対的に交わ（つまり最大の下限、 で表す）を持つとき、格子と呼ばれる。この定義は、と の二項演算を成立させる。どちらの演算も、与えられた順序に関して単調である。そして は、と を意味する。${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle \{a,b\}\subseteq L}$ ${\displaystyle a\vee b}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle \,\wedge \,}$ ${\displaystyle \,\vee \,}$ ${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}\leq b_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}\vee b_{1}\leq a_{2}\vee b_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}\wedge b_{1}\leq a_{2}\wedge b_{2}.}$

帰納的議論により、格子の空でない有限部分集合はすべて最小上界と最大下界を持つことがわかる。追加の仮定を加えることで、さらなる結論が導き出される可能性がある。この主題に関する詳細な議論については、完全性（順序論）を参照のこと。その記事では、関連する半順序集合間の適切なガロア接続の存在という観点から上記の定義をどのように言い換えるかについても論じている。これは、格子に対する圏論的アプローチや形式概念分析において特に興味深いアプローチである。

格子のサブセットが与えられた場合、meetとjoinは部分関数に制限されます。つまり、その値がサブセットに含まれていない場合は未定義です。結果として得られる構造は、${\displaystyle H\subseteq L,}$ ${\displaystyle H.}$ ${\displaystyle H}$ 部分格子。他の代数構造（格子）のサブセットとしての外在的定義に加えて、部分格子は、特定の公理を満たす2つの部分二項演算を持つ集合として本質的に定義することもできる。 ^{[ 1 ]}

代数構造として

格子は代数構造 であり、集合と 2 つの二項、可換、結合演算で構成され、すべての要素に対して次の公理的恒等式(吸収法則と呼ばれることもある) を満たします。${\displaystyle (L,\vee,\wedge)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \vee}$ ${\displaystyle \wedge}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a,b\in L}$ $${\displaystyle a\vee (a\wedge b)=a}$$ $${\displaystyle a\wedge (a\vee b)=a}$$

次の2つの恒等式も、2つの吸収法則を合わせた結果として得られるにもかかわらず、通常は公理とみなされます。^{[ 2 ]}これらはべき等法則と呼ばれます。 $${\displaystyle a\vee a=a}$$ $${\displaystyle a\wedge a=a}$$

これらの公理は、とがどちらも半格子であることを主張する。吸収法則は、上記の公理の中で、交わりと接合の両方が現れる唯一の公理であり、格子を任意の半格子構造のペアと区別し、2つの半格子が適切に相互作用することを保証する。特に、各半格子は他方の双対である。吸収法則は、交わりと接合の半格子が同じ半順序を定義するという要件と見なすことができる。 ${\displaystyle (L,\vee )}$ ${\displaystyle (L,\wedge )}$

2つの定義の関連性

順序理論的格子は、2 つの二項演算を生じます。これらの演算では、交換法則、結合法則、吸収法則が簡単に検証できるため、代数的な意味で格子になります。 ${\displaystyle \vee}$ ${\displaystyle \wedge .}$ ${\displaystyle (L,\vee,\wedge)}$

逆もまた真である。代数的に定義された格子が与えられた場合、 すべての要素に対してと設定することで 、の半順序を定義できる。吸収の法則により、両方の定義は等価であることが保証される。 また、逆方向に対しても等価となる。 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge ),}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle a\leq b{\text{ }}a=a\wedge b、{\text{ または }}}$$ $${\displaystyle a\leq b{\text{ if }}b=a\vee b,}$$ ${\displaystyle a,b\in L.}$ $${\displaystyle a=a\wedge b{\text{ は }}b=b\vee (b\wedge a)=(a\wedge b)\vee b=a\vee b を意味する}$$

このようにして導入された関係は、元の操作によってバイナリの会合と結合が与えられる部分的な順序を定義し、${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle \vee}$ ${\displaystyle \wedge .}$

格子の 2 つの定義は同等であるため、目的に応じて、いずれかの定義の側面を自由に呼び出すことができます。

境界格子

有界格子とは、最大元（最大または上元とも呼ばれ、 または で表される）と最小元（最小 または下元とも呼ばれ、またはで表される）がさらに存在し 、${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle \top}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \bot}$ $${\displaystyle 0\leq x\leq 1\;{\text{ L のすべての }}x\in について。}$$

有界格子は、格子であり、（格子の底部）は結合演算の単位元であり、（格子の上部）は会合演算の単位元であるような形式の代数構造として定義することもできる。${\displaystyle (L,\vee,\wedge,0,1)}$ ${\displaystyle (L,\vee,\wedge)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \vee,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \wedge .}$ $${\displaystyle a\vee 0=a}$$ $${\displaystyle a\wedge 1=a}$$

半順序集合が有界格子となるのは、すべての有限要素集合（空集合を含む）に結合と会合がある場合のみであることが示されます。

あらゆる格子は、最大元と最小元を加えることで、有界格子に埋め込むことができます。さらに、空でない有限格子はすべて、すべての元の結合（それぞれ 、 ）を取ることで有界となり、はすべての元の集合です。 ${\textstyle 1=\bigvee L=a_{1}\lor \cdots \lor a_{n}}$ ${\textstyle 0=\bigwedge L=a_{1}\land \cdots \land a_{n}}$ ${\displaystyle L=\left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}}$

他の代数構造との関連

格子は、群的代数構造の族といくつかの関連がある。meet と join は可換かつ共存的であるため、格子は同じ定義域を持つ2つの可換半群からなると見なすことができる。有界格子の場合、これらの半群は実際には可換モノイドである。吸収則は、格子理論に特有の唯一の定義的恒等式である。有界格子は、分配公理を持たない可換なリグと考えることもできる。

交換法則、結合法則、および冪等性により、join と meet は、要素のペアではなく、空でない有限集合に対する演算と考えることができます。有界格子においては、空集合の join と meet も（それぞれ と として）定義できます。これにより、有界格子は一般格子よりもいくぶん自然であり、多くの著者はすべての格子が有界であることを要求します。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1,}$

格子の代数的解釈は普遍代数学において重要な役割を果たします。

例

• 
  図1:包含集合の部分集合。「格子」という名称は、それを表すハッセ図の形に由来する。${\displaystyle \{x,y,z\},}$
• 
  図 2: 60 の約数の整数の格子。「約数」の順に並べられています。
• 
  図3:「refines 」で順序付けられたパーティションの格子。${\displaystyle \{1,2,3,4\},}$
• 
  図4:正の整数の格子、${\displaystyle \,\leq ,}$
• 
  図 5:成分ごとに順序付けられた非負整数ペアの格子。

• 任意の集合に対して、の部分集合（の冪集合と呼ばれる）の集合は、部分集合包含によって順序付けされ、それ自身と空集合によって有界となる格子を得ることができる。この格子において、上限は集合の和集合によって、下限は集合の積集合によって与えられる（図1参照）。${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$
• 任意の集合について、包含によって順序付けられたのすべての有限部分集合のコレクションも格子であり、 が有限である場合に限り有界になります。${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$
• 任意の集合について、細分化によって順序付けられたのすべてのパーティションのコレクションは格子です (図 3 を参照)。${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$
• 通常の順序の正の整数は、「最小」と「最大」の演算の下で、無限の格子を形成します。1 が底辺であり、頂点はありません (図 4 を参照)。
• 自然数の直交座標。ペアが下側の要素である場合、上側は存在しないように順序付けられています (図 5 を参照)。${\displaystyle (a,b)\leq (c,d)}$ ${\displaystyle a\leq c{\text{ and }}b\leq d.}$ ${\displaystyle (0,0)}$
• 自然数もまた、最大公約数と最小公倍数をとる演算によって格子を形成し、割り切れるかどうかは順序関係、すなわち が割り切れる場合はが下、が上になります。図2は有限部分格子を示しています。${\displaystyle a\leq b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$
• あらゆる完全格子（下記も参照）は（かなり特殊な）有界格子である。このクラスは幅広い実用的な例を生み出す。
• 算術的完全格子のコンパクト元の集合は、最小元を持つ格子であり、格子演算は算術的格子のそれぞれの演算を制限することによって与えられる。これは算術的格子と代数的格子を区別する特有の性質であり、代数的格子の場合、コンパクトは結合半格子のみを形成する。これらの両方の完全格子のクラスは、領域理論で研究される。

以下で説明する追加のプロパティごとに、格子のさらなる例が示されています。

非格子の例

図 8:非格子 poset:と は共通の下限値 と を持ちますが、いずれも最大下限値ではありません。${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 0,d,g,h,}$ ${\displaystyle i,}$

図 7:非格子 poset:と は共通の上限 と を持ちますが、いずれも最小の上限ではありません。${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d,e,}$ ${\displaystyle f,}$

図 6: 非格子 poset:と には共通の上限がありません。${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

半順序集合のほとんどは格子ではありません。次のようなものがあります。

• 離散的半順序集合とは、その半順序集合が格子となるための必要十分条件として、その半順序集合が最大で1つの要素を持つ場合を指す。特に、2つの要素を持つ離散的半順序集合は格子ではない。${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x=y,}$
• 割り切れるかどうかで部分的に順序付けられた集合は格子であるが、そのように順序付けられた集合は格子ではない。なぜなら、2, 3のペアには結合がないからである。同様に、2, 3には交わりがない。${\displaystyle \{1,2,3,6\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{2,3,6\}.}$
• 割り切れる度合いによって部分的に順序付けられた集合は格子ではありません。すべての要素のペアには上限と下限がありますが、2と3のペアには12、18、36という3つの上限があり、いずれも割り切れる度合いにおいて最小のものではありません（12と18は互いに割り切れません）。同様に、12と18のペアには1、2、3という3つの下限があり、いずれも割り切れる度合いにおいて最大のものではありません（2と3は互いに割り切れません）。${\displaystyle \{1,2,3,12,18,36\}}$

格子の射影

図9:格子間の単調写像。結合も交わりも保存しない。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(u)\vee f(v)=u^{\prime }\vee u^{\prime }=u^{\prime }}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle 1^{\prime }=f(1)=f(u\vee v)}$ ${\displaystyle f(u)\wedge f(v)=u^{\prime }\wedge u^{\prime }=u^{\prime }}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle 0^{\prime }=f(0)=f(u\wedge v).}$

2つの格子間の射という適切な概念は、上記の代数的定義から容易に導かれる。2つの格子と、LからMへの格子準同型写像が与えられたとき、すべての${\displaystyle \left(L,\vee _{L},\wedge _{L}\right)}$ ${\displaystyle \left(M,\vee _{M},\wedge _{M}\right),}$ ${\displaystyle f:L\to M}$ ${\displaystyle a,b\in L:}$ $${\displaystyle f\left(a\vee _{L}b\right)=f(a)\vee _{M}f(b),{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle f\left(a\wedge _{L}b\right)=f(a)\wedge _{M}f(b).}$$

したがって、は2つの基礎半格子の準同型である。より構造化された格子を考慮する場合、射は追加の構造も「尊重」する必要がある。特に、2つの有界格子 と の間の有界格子準同型（通常は単に「格子準同型」と呼ばれる）は、以下の性質も持つ必要がある。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle f\left(0_{L}\right)=0_{M},{\text{ and }}}$$ $${\displaystyle f\left(1_{L}\right)=1_{M}.}$$

順序論的な定式化において、これらの条件は、格子の準同型写像が二項の交わりと結合を保存する関数であることを単に述べているに過ぎません。有界格子の場合、最小元と最大元の保存は、空集合の結合と交わりを保存することに過ぎません。

格子の準同型写像は、関連する順序関係に関して必然的に単調である（極限保存関数を参照）。逆は真ではない。単調であることは、必ずしも交わりや結合の保存を意味するわけではない（図9を参照）。ただし、順序保存一対一写像は、その逆写像も順序保存であれば準同型写像となる。

同型写像を可逆写像として定義する標準的な定義によれば、格子同型写像は単射の格子準同型写像に過ぎません。同様に、格子自己同型写像​​は格子からそれ自身への格子準同型写像であり、格子自己同型写像​​は単射の格子自己準同型写像です。格子とその準同型写像は圏を形成します。

とをそれぞれ0と1 を含む2つの格子とする。 からへの準同型写像は0 , 1 -分離と呼ばれ、かつ( が0 を分離)かつ( が1 を分離 ) の場合に限ります。 ${\displaystyle \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \mathbb {L} '}$ ${\displaystyle \mathbb {L} }$ ${\displaystyle \mathbb {L} '}$ ${\displaystyle f^{-1}\{f(0)\}=\{0\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\{f(1)\}=\{1\}}$ ${\displaystyle f}$

部分格子

格子の部分格子は、格子と同じ会合および結合操作を持つ格子の部分集合である。 つまり、格子が格子であり、がの部分集合であって、すべての要素のペアに対して と が含まれるとき、は^{[ 3 ]}の部分格子である。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a,b\in M}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle a\vee b}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L.}$

格子の部分格子は、の凸部分格子であり、 はすべての要素に対してに属することを意味する。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle x\leq z\leq y}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x,y,z\in L.}$

格子の性質

ここで、興味深い特殊な格子類につながるいくつかの重要な性質を紹介します。その一つである有界性については既に説明しました。

完全

poset は、そのすべての部分集合が接続と会合の両方を持つ場合、完全格子と呼ばれます。特に、すべての完全格子は有界格子です。有界格子準同型は一般に有限個の接続と会合のみを保存しますが、完全格子準同型は任意の接続と会合を保存することが求められます。

完備半束であるすべての poset は、完備束でもある。この結果に関連して、この poset のクラスには、それを完備束、完備 join-semilattice、完備 meet-semilattice、あるいは join-complete もしくは meet-complete 束とみなすかどうかによって、準同型性に関する様々な競合する概念が存在するという興味深い現象がある。

「部分格子」は「完全格子」の反対語ではありません。むしろ、「部分格子」、「格子」、「完全格子」はますます制限的な定義になります。

条件付き完全性

条件付き完全格子とは、上界を持つすべての空でない部分集合に結合（つまり最小の上界）が存在する格子である。このような格子は、実数の完全性公理の最も直接的な一般化を提供する。条件付き完全格子とは、完全格子、または最大元と最小元が存在しない完全格子、あるいはその両方である。^{[ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 0,}$

分配性

図11:最小の非モジュラ格子（したがって非分配的格子）N 5。だが であり、したがってモジュラ則は破れる。ラベル付き元も分配性方程式に違反するが、その双対性を満たす。${\displaystyle b\leq c}$ ${\displaystyle b\vee (a\wedge c)=b}$ ${\displaystyle (b\vee a)\wedge c=c}$ ${\displaystyle c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b),}$ ${\displaystyle c\vee (a\wedge b)=(c\vee a)\wedge (c\vee b).}$

図10:最小の非分配的（ただしモジュラー）格子M 3。

格子には 2 つの二項演算が伴うため、そのうちの 1 つが他のものに分配されるかどうか、つまり、次の双対法則のいずれかが3 つの要素ごとに成り立つかどうかを尋ねるのは自然なことです。 ${\displaystyle a,b,c\in L,}$

分配性${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$

$${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge (a\vee c).}$$

分配性${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \vee }$

$${\displaystyle a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c).}$$

最初の公理、あるいは（結果として）2番目の公理を満たす格子は分配格子と呼ばれる。^{[ 6 ]} 6個未満の要素を持つ非分配格子はM ₃とN ₅と呼ばれる。^{[ 7 ]}これらはそれぞれ図10と図11に示されている。格子が分配的であるためには、 M ₃またはN ₅に同型な部分格子を持たない必要がある。^{[ 8 ]}各分配格子は集合の格子と同型である（和集合と積集合はそれぞれjoinとmeetである）。^{[ 9 ]}

完全格子に適しており、フレームや完全分配格子などのより特殊な格子のクラスを定義するために使用される、分配性のより強い概念の概要については、「順序理論における分配性」を参照してください。

モジュール性

いくつかのアプリケーションでは分配性条件は強すぎるため、次のより弱い特性が役立つことがよくあります。すべての元に対して次の恒等式が成り立つとき、格子はモジュラーです。 (モジュラー恒等式) この条件は次の公理と同等です。 は次を 意味します。 (モジュラー法則) 格子がモジュラーである場合、かつその場合に限り、格子はN _{5に同型な}部分格子を持ちません(図 11 を参照)。^{[ 8 ]} 分配格子の他に、モジュラー格子の例には、モジュールの部分モジュールの格子(したがってモジュラー)、環の両側イデアルの格子、および群の正規部分群の格子があります。順序付けが「より具体的」である一次項の集合は、自動推論で使用される非モジュラー格子です。 ${\displaystyle (L,\vee ,\wedge )}$ ${\displaystyle a,b,c\in L,}$ ${\displaystyle (a\wedge c)\vee (b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c.}$ ${\displaystyle a\leq c}$ ${\displaystyle a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c.}$

セミモジュール性

有限格子がモジュラーであるためには、それが上半モジュラーかつ下半モジュラーである必要がある。有限長の格子の場合、（上半モジュラー性は）格子が次数付きであり、その階数関数が以下の条件を満たすという条件と同値である。^{[ 10 ]}${\displaystyle r}$

${\displaystyle r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).}$ 

もう一つの同等の条件（段階的格子の場合）はバーコフの条件です。

それぞれについて、およびが両方をカバーする場合、およびの両方をカバーする${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\wedge y,}$ ${\displaystyle x\vee y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$

格子が下半モジュラーであるのは、その双対が半モジュラーである場合である。有限格子の場合、これは前述の条件が と を入れ替えて成立し、「被覆」が「被覆される」に入れ替えられ、不等式が逆になることを意味する。^{[ 11 ]}${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$

連続性と代数性

領域理論では、半順序の元を「はるかに単純な」元で近似しようとするのは自然なことです。これは連続半順序集合のクラスに繋がり、これはすべての元が、その元よりもはるかに小さい元からなる有向集合の上限として得られる半順序集合で構成されます。さらに、これらの有向集合を得るために、これらの半順序集合をコンパクト元に制限できる場合、その半順序集合は代数的になります。これらの概念は、次のように格子にも適用できます。

• 連続格子は、半集合として連続する完全な格子です。
• 代数格子は、半順序集合として代数的である完全な格子です。

これらのクラスはどちらも興味深い性質を持っています。例えば、連続格子は、特定の恒等式を満たす代数構造（無限演算を含む）として特徴付けることができます。代数格子ではこのような特徴付けは知られていませんが、スコット情報システムによって「構文的に」記述することができます。

補語と擬似補語

を最大元が 1、最小元が 0 である有界格子とします。 の 2 つの元とが互いに補元となるのは、次の場合のみ です。${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle x\vee y=1\quad {\text{ and }}\quad x\wedge y=0.}$$

一般に、有界格子の元の中には、補元を持たないものもあれば、複数の補元を持つものもあります。例えば、通常の順序付けをした集合は有界格子であり、補元を持ちません。有界格子 N ₅において、元には2つの補元、すなわち と があります（図11参照）。すべての元に補元が存在する有界格子は、補元格子と呼ばれます。 ${\displaystyle \{0,1/2,1\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

分配的でもある補格子はブール代数である。分配的格子の場合、 の補格子が存在するとき、その補格子は一意である。 ${\displaystyle x,}$

補集合が一意である場合、 と書き、同様に、上の対応する単項演算は補集合と呼ばれ、論理否定の類似物を格子理論に導入します。 ${\textstyle \lnot x=y}$ ${\textstyle \lnot y=x.}$ ${\displaystyle L,}$

ヘイティング代数は、一部の要素に補元が欠けている可能性がある分配格子の一例です。一方、ヘイティング代数のすべての元には擬補元 （とも表記） があります。擬補元とは、 となる最大の元です。ヘイティング代数のすべての元の擬補元が実際に補元である場合、ヘイティング代数は実際にはブール代数です。 ${\displaystyle z}$ ${\textstyle \lnot x.}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\wedge y=0.}$

ジョルダン・デデキント連鎖条件

からへの連鎖は、次の式を満たす集合である。この連鎖の 長さはn、つまりその要素数より1小さい。連鎖が最大となるのは、すべての に対してが被覆する場合である。${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\right\},}$ ${\displaystyle x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}.}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i-1}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n.}$

任意のペアに対して であり、からまでのすべての極大連鎖が同じ長さである場合、格子はジョルダン・デデキント連鎖条件 を満たしていると言われます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x<y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

等級別/ランク付け

格子は、 へのランク関数を備えることができ、 の順序付けと互換性がある場合（つまりの場合は常に）、が を覆う場合、次数付き 、ランク付き（ただし別の意味についてはRanked poset を参照）と呼ばれる。 格子要素のランク関数の値は、そのランクと呼ばれる。 ${\displaystyle (L,\leq )}$ ${\displaystyle r:L\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r(x)<r(y)}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle r(y)=r(x)+1.}$

格子要素が他の要素を覆うとは、しかし、そのような要素が存在しないときである。 ここで、は、およびを意味している。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y>x,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y>z>x.}$ ${\displaystyle y>x}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle x\neq y.}$

自由格子

任意の集合を用いて自由半格子を生成することができる。自由半格子は、通常の集合和によって与えられる半格子演算を用いての有限部分集合全体から構成されると定義される。自由半格子は普遍性を持つ。集合上の自由格子について、ホイットマンはの元 の多項式に基づく構成を与えた。^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle FX.}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$

平らな格子

任意の（通常は複数要素の）集合は、平坦格子を定義するためにも使用できます。平坦格子とは、集合の要素が比較できない最小の格子、またはそれと同等のランク3格子（ここでは中間ランクの要素の集合）です。^{[ 14 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

重要な格子理論的概念

ここで、格子理論にとって重要ないくつかの順序論的概念を定義する。以下では、ある格子の元を次のように呼ぶ。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L.}$ ${\displaystyle x}$

• 結合既約性は、すべて に対してを意味する。 に底部元がある場合、一部の著者は を要求する。^{[ 15 ]}最初の条件が任意の結合に一般化されると、は完全に結合既約性(または-既約性)と呼ばれる。双対的な概念は、会約性( -既約性) である。たとえば、図 2 では、要素 2、3、4、5 は結合既約性であり、12、15、20、30 は会約性である。定義に応じて、底部元 1 と上部元 60 は、それぞれ結合既約性および会約性と見なされる場合と見なさない場合がある。通常の順序の実数格子では、各要素は結合既約性であるが、完全に結合既約性である要素はない。${\displaystyle x=a\vee b}$ ${\displaystyle x=a{\text{ or }}x=b.}$ ${\displaystyle a,b\in L.}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle \bigvee _{i\in I}a_{i},}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \wedge }$
• 結合素数が成り立つ場合、が成り立ちます。ここでも、 を要求する著者もいますが、これは珍しいことです。^{[ 16 ]}これも一般化して、結合素数 という概念を完全に得ることができます。この双対概念はを満たす素数です。結合素数元はすべて結合既約でもあり、を満たす素数元はすべて を満たす既約でもあります。 が分配法則である場合、逆が成り立ちます。${\displaystyle x\leq a\vee b}$ ${\displaystyle x\leq a{\text{ or }}x\leq b.}$ ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle L}$

に底元 0 があるとします。の要素がアトムである場合、 となり、 となる要素は存在しません。その場合、 は次のように呼ばれます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 0<x}$ ${\displaystyle y\in L}$ ${\displaystyle 0<y<x.}$ ${\displaystyle L}$

• の非零元に対して、次の原子が存在するとき、原子となる。 ^{[ 17 ]}${\displaystyle x}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle a\leq x;}$
• の全ての要素が原子の上限である場合、原子論的である。^{[ 18 ]}${\displaystyle L}$

ただし、多くの情報源や数学コミュニティでは、「atomic」という用語を、上で定義した「atomistic」という意味で使用しています。

イデアルの概念とフィルタの双対概念は、半順序集合の特定の種類の部分集合を指すため、格子理論において重要です。詳細はそれぞれの項目を参照してください。

参照

• 参加して会う – 秩序理論の概念
• 格子の地図 – 数学の概念
• 直交補格子 – すべての元が補元を持つ束縛格子Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 全順序 – すべての要素が比較可能な順序
• 理想 – 空でない、上限のある、下向きに閉じた部分集合とフィルタ（双対概念）
• 歪んだ格子（非可換な結合と会合への一般化）
• オイラー格子
• ポストの格子
• たまり格子
• ヤング・フィボナッチ格子
• 0,1単純格子

格子理論を利用するアプリケーション

多くのアプリケーションでは、セットは部分的な格子にすぎないことに注意してください。つまり、すべての要素のペアに交わりや結合があるわけではありません。

• 無意味なトポロジー
• 部分群の格子
• スペクトル空間
• 不変部分空間
• 閉包演算子
• 抽象的解釈
• 包摂格子
• ファジィ集合理論
• 一階論理の代数化
• プログラミング言語の意味論
• ドメイン理論
• オントロジー（コンピュータサイエンス）
• 多重継承
• 形式概念分析とLattice Miner（理論とツール）
• ブルームフィルタ
• 情報の流れ
• 順序最適化
• 量子論理
• 中央値グラフ
• 知識空間
• 定期的な言語学習
• 類推モデリング

注記

1. Grätzer 2003、52ページ 。
2. Birkhoff 1948 , p.  18 . 「sinceand dually」。BirkhoffはこれをDedekind 1897 , p.  8に帰している。${\displaystyle a=a\vee (a\wedge (a\vee a))=a\vee a}$
3. Burris, Stanley N., Sankappanavar, HP, 1981. A Course in Universal Algebra . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2。
4. Baker, Kirby (2010). 「完全格子」(PDF) . UCLA数学科. 2022年6月8日閲覧。
5. カプランスキー、アーヴィング (1972). 『集合論と計量空間』（第2版）. ニューヨーク市: AMSチェルシー出版. p. 14. ISBN 9780821826942。
6. バーコフ、ギャレット (1967).格子理論.アメリカ数学会. p. 32.
7. Davey & Priestley (2002)、演習4.1、 p.104。
8. Davey & Priestley (2002)、定理4.10、p.89。
9. Davey & Priestley (2002)、定理10.21、 pp.238–239。
10. バーコフ、ギャレット (1967).格子理論（第3版）. プロビデンス: アメリカ数学会. セクションIV.1の系1とセクションII.8の定理14と15. ISBN 9780821810255。
11. スタンリー、リチャード・P（1997）、列挙的組合せ論（第1巻）、ケンブリッジ大学出版局、pp.  103-104、ISBN 0-521-66351-2
12. フィリップ・ホイットマン (1941). 「自由格子 I」. Annals of Mathematics . 42 (1): 325– 329. doi : 10.2307/1969001 . JSTOR 1969001 . 
13. フィリップ・ホイットマン (1942). 「自由格子 II」. Annals of Mathematics . 43 (1): 104– 115. doi : 10.2307/1968883 . JSTOR 1968883 . 
14. ブリンク、クリス;カール、ヴォルフラム。シュミット、ギュンター (1997 年 4 月 23 日)。コンピューターサイエンスにおけるリレーショナル手法。オーストリア、ウィーン: Springer Vienna。 p. 127.ISBN​ 978-3-211-82971-4。
15. Davey & Priestley 2002、53ページ。
16. Hoffmann, Rudolf-E. (1981).連続ポセット、完全分配的完備格子の素スペクトル、ハウスドルフコンパクト化. 連続格子. 第871巻. pp.  159– 208. doi : 10.1007/BFb0089907 .
17. Grätzer 2003、p. 246、演習3。
18. Grätzer 2003、p. 234、定義1の後。

参考文献

無料でオンラインで入手可能なモノグラフ:

• Burris, Stanley N., Sankappanavar, HP, 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2。
• ピーター・ジプセン、ヘンリー・ローズ著『格子の変種』数学講義ノート1533、シュプリンガー・フェアラーク、1992年。ISBN 0-387-56314-8。

数学の成熟度が限られている人に推奨される初級テキスト:

• ドネラン、トーマス、1968年、「格子理論」、ペルガモン。
• Grätzer, George , 1971. Lattice Theory: First Concepts and Distributive lattices . WH Freeman.

標準的な現代の入門テキスト。上記よりもやや難しいです。

• Davey, BA; Priestley, HA (2002)、『格子と秩序入門』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-78451-1

上級モノグラフ:

• ギャレット・バーコフ、1967年、「格子理論」、第3版、AMSコロキウム出版第25巻、アメリカ数学会。
• ロバート・P・ディルワース、ピーター・クローリー共著、1973年。格子の代数理論。プレンティス・ホール出版。ISBN 978-0-13-022269-5。
• グレーツァー、ジョージ (2003).一般格子理論（第2版）. バーゼル: ビルクハウザー. ISBN 978-3-7643-6996-5。

自由格子の場合:

• R. Freese、J. Jezek、JB Nation、1985年、「自由格子」。数学概論・研究論文集第42巻。アメリカ数学協会。
• ジョンストン、P.T.、1982年。 「ストーン空間」、ケンブリッジ高等数学研究3、ケンブリッジ大学出版局。

格子理論の歴史について:

• Štĕpánka Bilová (2001). Eduard Fuchs (ed.).格子理論 — その誕生と生涯(PDF) . プロメテウス. pp.  250– 257.
• バーコフ、ギャレット（1948年）『格子理論』（第2版）。脚注に多数の出典が記載されている教科書。
• シュリム、ディルク（2011年11月）「公理学の創造的役割について：シュレーダー、デデキント、バーコフらによる格子の発見」『シンセシス』183 (1): 47–68 . CiteSeerX  10.1.1.594.8898 . doi : 10.1007/s11229-009-9667-9 . S2CID  11012081 .格子の歴史の要約。
• リチャード・デデキント(1897)、「Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Tailer」(PDF)、Braunschweiger Festschrift、doi : 10.24355/dbbs.084-200908140200-2

格子理論の応用について:

• ギャレット・バーコフ（1967年）. ジェームズ・C・アボット（編）.ラティスはあなたに何をもたらすのか？ . ヴァン・ノストランド.目次

外部リンク

• 「格子順序群」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック W. 「格子」。MathWorld 。
• JB Nation、「格子理論に関するノート」、コースノート、2017 年改訂。
• Ralph Freese、「Lattice Theory ホームページ」。
• OEISシーケンスA006966（ n要素のラベルなし格子の数）