非定常流れに対する有限体積法

非定常流れは、流体の特性が時間に依存する流れとして特徴付けられます。これは、特性の時間微分が存在しない支配方程式に反映されます。非定常流れに対する有限体積法の研究には、いくつかの支配方程式があります [ 1 ] >

支配方程式

非定常流におけるスカラー輸送の保存方程式は一般に次のように表される[ 2 ]。

∂ρϕ∂t+分割⁡（ρϕυ）＝分割⁡（Γ卒業生⁡ϕ）+Sϕ{\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)=\operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)+S_{\phi }}

ρ{\displaystyle \rho }は密度で、すべての流体の流れの保存形、は拡散係数、はソース項です。 は流体要素(対流)からの正味の流量 、は拡散によるの増加率、はソースによる の増加率です。ϕ{\displaystyle \phi }Γ{\displaystyle \Gamma}S{\displaystyle S}分割⁡（ρϕυ）{\displaystyle \operatorname {div} \left(\rho \phi \upsilon \right)}ϕ{\displaystyle \phi }分割⁡（Γ卒業生⁡ϕ）{\displaystyle \operatorname {div} \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)}ϕ{\displaystyle \phi }Sϕ{\displaystyle S_{\phi}}ϕ{\displaystyle \phi }

∂ρϕ∂t{\displaystyle {\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}}流体要素の増加率（過渡） ϕ{\displaystyle \phi }

方程式の第一項は流れの非定常性を反映しており、定常流の場合は存在しない。支配方程式の有限体積積分は、制御体積と有限時間ステップ∆tにわたって実行される。

∫cv∫tt+Δt（∂ρϕ∂tdt）dV+∫tt+Δt∫あ（n。ρϕあなたdあ）dt＝∫tt+Δt∫あ（n⋅（Γ卒業生⁡ϕ）dあ）dt+∫tt+Δt∫cvSϕdVdt{\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left({\frac {\partial \rho \phi }{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n.{\rho \phi u}\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{A}\left(n\cdot \left(\Gamma \operatorname {grad} \phi \right)\,\mathrm {d} A\right)\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S_{\phi }\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}

方程式の定常部分の制御体積積分は、定常支配方程式の積分と類似しています。ここでは、方程式の非定常部分の積分に注目する必要があります。積分手法の感覚をつかむために、1次元非定常熱伝導方程式を参照します。[ 3 ]

ρc∂T∂t＝∂∂×け∂T∂×+S{\displaystyle \rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}+S}

∫tt+Δt∫cvρc∂T∂tdVdt＝∫tt+Δt∫cv∂∂×け∂T∂×dVdt+∫tt+Δt∫cvSdVdt{\displaystyle \int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t=\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {k\partial T}{\partial x}}\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}\!\!\!\int \limits _{cv}S\,\mathrm {d} V\,\mathrm {d} t}

∫eわ∫tt+Δt（ρc∂T∂tdt）dV＝∫tt+Δt[（けあ∂T∂×）e−（けあ∂T∂×）わ]dt+∫tt+ΔtS¯ΔVdt{\displaystyle \int _{e}^{w}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{e}-\left(kA{\frac {\partial T}{\partial x}}\right)_{w}\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}

ここで、ノードの温度が制御体積全体に広がっているという仮定を置くと、式の左辺は次のように表される[ 4 ]。

∫cv∫tt+Δt（ρc∂T∂tdt）dV＝ρc（TP−TPお）ΔV{\displaystyle \int \limits _{cv}\!\!\!\int _{t}^{t+\Delta t}\left(\rho c{\frac {\partial T}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\right)\,\mathrm {d} V=\rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{O}\right)\Delta V}

1階後退差分法を使うと、方程式の右辺は次のように書ける。

ρc(TP−TP0)ΔV=∫tt+Δt[(KeATE−TPδxPE)−(KwATP−TWδxWP)]dt+∫tt+ΔtS¯ΔVdt{\displaystyle \rho c\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)\Delta V=\int _{t}^{t+\Delta t}\left[\left(K_{e}A{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}A{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)\right]\,\mathrm {d} t+\int _{t}^{t+\Delta t}{\bar {S}}\Delta V\,\mathrm {d} t}

方程式の右辺を評価するために、0から1の間の重みパラメータを使用し、積分を書きます。θ{\displaystyle \theta }TP{\displaystyle T_{P}}

IT=∫tt+ΔtTPdt=[θTP+(1−θ)TP0]Δt{\displaystyle I_{T}=\int _{t}^{t+\Delta t}T_{P}\,\mathrm {d} t=\left[\theta T_{P}+\left(1-\theta \right){T_{P}}^{0}\right]\Delta t}

さて、最終的な離散化方程式の正確な形は の値に依存します。 の分散は0< <1 なので、計算に使用するスキームはの値に依存します 。したがって\\ Θ{\displaystyle \Theta }Θ{\displaystyle \Theta }Θ{\displaystyle \Theta }TP{\displaystyle T_{P}}Θ{\displaystyle \Theta }ρc(TP−TP0)ΔtΔx=θ[(KeTE−TPδxPE)−(KwTP−TWδxWP)]+(1−θ)[(KeTE−TPδxPE)−(KwTP−TWδxWP)]+S¯Δx{\displaystyle \rho c{\frac {\left(T_{P}-{T_{P}}^{0}\right)}{\Delta t}}\Delta x=\theta [\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+(1-\theta )[\left(K_{e}{\frac {T_{E}-T_{P}}{\delta x_{PE}}}\right)-\left(K_{w}{\frac {T_{P}-T_{W}}{\delta x_{WP}}}\right)]+{\bar {S}}\Delta x}

さまざまなスキーム

1.明示的スキーム明示的スキームでは、ソース項は次のように線形化されます。これを代入して、明示的な離散化を行います。すなわち、[ 5 ]b=Su+SPTP0{\displaystyle b=S_{u}+{S_{P}}{T_{P}}^{0}}θ=0{\displaystyle \theta =0}

aPTP=awTw0+aeTe0+[aP0−(aw+ae−SP)]TP0+Su{\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{w}{T_{w}}^{0}+a_{e}{T_{e}}^{0}+\left[{a_{P}}^{0}-\left(a_{w}+a_{e}-S_{P}\right)\right]{T_{P}}^{0}+S_{u}}

ここで、右辺は以前の時間ステップにおける値を含んでいるため、左辺は時間に関して順方向マッチングによって計算できることに注目してください。この手法は後方差分に基づいており、テイラー級数の打ち切り誤差は時間に関して1次です。すべての係数は正である必要があります。kが一定でグリッド間隔が均一な場合、この条件は次のように表されます。 aP=aP0{\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}}δxPE=δxWP=Δx{\displaystyle \delta x_{PE}=\delta x_{WP}=\Delta x}

ρcΔxΔt>2KΔx{\displaystyle \rho c{\frac {\Delta x}{\Delta t}}>{\frac {2K}{\Delta x}}}

この不等式は、使用可能な最大時間ステップに厳しい条件を設定し、この手法に重大な制限を課す。空間精度を向上させるには、最大時間ステップを[ 6 ]の2乗に比例して減少させる必要があるため、非常にコストがかかる。Δx{\displaystyle \Delta x}

2.クランク・ニコルソン法 ：クランク・ニコルソン法は、 と設定することで得られる。離散化された非定常熱伝導方程式は、 θ=12{\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}}

aPTP=aE[TE+TE02]+aW[TW+TW02]+[aP0−aE2−aW2]TP0+b{\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{E}\left[{\frac {T_{E}+{T_{E}}^{0}}{2}}\right]+a_{W}\left[{\frac {T_{W}+{T_{W}}^{0}}{2}}\right]+\left[{a_{P}}^{0}-{\frac {a_{E}}{2}}-{\frac {a_{W}}{2}}\right]{T_{P}}^{0}+b}

どこaP=aW+aE2+aP0−SP2{\displaystyle a_{P}={\frac {a_{W}+a_{E}}{2}}+{a_{P}}^{0}-{\frac {S_{P}}{2}}}

方程式には新しい時間レベルにおけるTの複数の未知値が存在するため、この方法は暗黙的であり、各時間ステップにおいてすべてのノード点に対する連立方程式を解く必要があります。クランク・ニコルソン法を含むスキームは、すべての時間ステップの値に対して無条件に安定ですが、物理的に現実的で有界な結果を得るには、すべての係数が正であることを保証することがより重要です。これは、係数が以下の条件を満たす 場合に当てはまります。12<θ<1{\displaystyle {\frac {1}{2}}<\theta <1}TP0{\displaystyle {T_{P}}^{0}}

aP0=[aE+aW2]{\displaystyle {a_{P}}^{0}=\left[{\frac {a_{E}+a_{W}}{2}}\right]}

それは

Δt<ρcΔx2K{\displaystyle \Delta t<\rho c{\frac {\Delta x^{2}}{K}}}

クランク・ニコルソン法は中心差分に基づいているため、時間に関して2次の精度を持つ。計算の全体的な精度は空間差分の適用にも依存するため、クランク・ニコルソン法は通常、空間中心差分と組み合わせて使用​​される。

3.完全暗黙スキームѲの値を1に設定すると、完全暗黙スキームが得られます。離散化された方程式は次のとおりです。 [ 7 ]

aPTP=aWTW+aETE+aP0TP0+Su{\displaystyle a_{P}T_{P}=a_{W}T_{W}+a_{E}T_{E}+{a_{P}}^{0}{T_{P}}^{0}+S_{u}}

aP=aP0+aW+aE−SP{\displaystyle a_{P}={a_{P}}^{0}+a_{W}+a_{E}-S_{P}}

方程式の両辺には新しい時間ステップにおける温度が含まれており、各時間レベルで代数方程式系を解く必要があります。時間進行手順は、与えられた初期温度場 から始まります 。方程式系は、時間ステップ を選択した後に解かれます。次に、解が に割り当てられ、この手順が繰り返され、解がさらに時間ステップ分進みます。すべての係数が正であることがわかるため、暗黙的スキームは時間ステップのサイズに関係なく無条件に安定しています。スキームの精度は時間に関して1次のみであるため、結果の精度を確保するには小さな時間ステップが必要です。暗黙的法は、その堅牢性と無条件の安定性から、汎用的な過渡計算に推奨されます。 T0{\displaystyle T^{0}}Δt{\displaystyle \Delta t}T{\displaystyle T}T0{\displaystyle T^{0}}

参考文献

  1. ^ https://books.google.com/books+finite+volume+method+for+unsteady+flows . 2013年11月10日閲覧。{{cite web}}:欠落または空|title=(ヘルプ)
  2. ^計算流体力学入門 HK VersteegとW Malalasekra著 第8章 168ページ
  3. ^計算流体力学入門 HK VersteegとW Malalasekera 第8章 169ページ
  4. ^ Kim, Dongjoo; Choi, Haecheon (2000-08-10). 「ハイブリッド非構造格子上の非定常非圧縮性流れに対する2次精度時間精度有限体積法」. Journal of Computational Physics . 162 (2): 411– 428. Bibcode : 2000JCoPh.162..411K . doi : 10.1006/jcph.2000.6546 .
  5. ^計算流体力学入門 HK VersteegとW Malalasekera 第8章 171ページ
  6. ^ http://opencourses.emu.edu.tr/mod/resource/view.php?id=489トピック7
  7. ^ http://opencourses.emu.edu.tr/course/view.php?id=27&lang=enトピック7
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