有限フォン・ノイマン代数

数学において、有限フォン・ノイマン代数とは、すべての等長変換がユニタリとなるフォン・ノイマン代数である。言い換えれば、有限フォン・ノイマン代数における作用素Vに対して、ならばとなる。射影の比較理論によれば、恒等作用素はフォン・ノイマン代数のいかなる真部分射影とも（マレー・フォン・ノイマン）同値ではない。 $V^{*}V=I$ $VV^{*}=I$

プロパティ

中心を持つ有限フォン・ノイマン代数をと表記する。有限フォン・ノイマン代数の基本的な特徴の一つは、中心値トレースの存在である。フォン・ノイマン代数が有限であるためには、以下の性質を持つ正規正有界写像が存在する必要がある。 ${\mathcal {M}}$ ${\mathcal {Z}}$ ${\mathcal {M}}$ $\tau :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {Z}}$

$\tau (AB)=\tau (BA),A,B\in {\mathcal {M}}$ 、
ならば、 $A\geq 0$ $\tau (A)=0$ $A=0$
$\tau (C)=C$ のために、 $C\in {\mathcal {Z}}$
$\tau (CA)=C\tau (A)$ およびの場合。 $A\in {\mathcal {M}}$ $C\in {\mathcal {Z}}$

例

有限次元フォン・ノイマン代数

有限次元フォン・ノイマン代数は、ウェッダーバーンの半単純代数理論を用いて特徴付けることができる^{。C n ×}nを複素要素を持つ n × n 行列とする。^フォン・ノイマン代数MはC n × n^{の自己随伴}部分代数であり、M はC ⁿ^×ⁿの恒等作用素Iを含む。

上記で定義された任意のMは半単純代数、すなわち冪零イデアルを含まない。M ≠ 0 がMの冪零イデアルに属すると仮定する。仮定によりM* ∈ Mとなるので、半正定値行列M*Mがその冪零イデアルに属する。これは、あるkに対して( M*M ) ^k = 0 が成り立つことを意味する。したがって、M*M = 0、すなわちM = 0 である。

フォン・ノイマン代数Mの中心はZ ( M )と表記される。Mは自己随伴なので、Z ( M ) 自身は（可換な）フォン・ノイマン代数である。フォン・ノイマン代数Nは、 Z ( N ) が1次元、すなわちZ ( N ) が単位元Iの倍数からなるとき、因子と呼ばれる。

定理すべての有限次元フォン・ノイマン代数Mはm個の因数の直和であり、mはZ ( M )の次元である。

証明：ウェッダーバーンの半単純代数理論によれば、Z ( M ) には有限直交冪等元（射影）の集合 { P _i }が含まれ、 i ≠ jに対してP _i P _j = 0 、 Σ P _i = I、

Z(\mathbf {M} )=\bigoplus _{i}Z(\mathbf {M} )P_{i}

ここで、各Z ( M )P _{i は}可換単純代数である。任意の複素単純代数は、あるkに対して、完全行列代数C ^{k × k}と同型である。しかし、Z ( M )P _{i は}可換であるため、1次元である。

射影P _{i は}Mを自然に「対角化」する。M ∈ Mに対して、MはM = Σ MP _iに一意に分解できる。したがって、

{\mathbf {M} }=\bigoplus _{i}{\mathbf {M} }P_{i}.

Z ( M P _i ) = Z ( M )P _iであることがわかります。つまり、Z ( M P _i ) は1次元であり、各M P _iは因数です。これは主張を証明しています。

一般のフォン・ノイマン代数では、直和は直積分に置き換えられます。上記はフォン・ノイマン代数の中心分解の特別な場合です。

アーベル・フォン・ノイマン代数

アーベル・フォン・ノイマン代数はすべて、何らかの測度空間の乗法代数と同型である。アーベル・フォン・ノイマン代数 M は任意の , に対して可換であるため、明らかに任意の等長変換はユニタリである。 $L^{\infty }(X)$ $(X,\mu )$ $V\in M$ $V^{*}V=VV^{*}$