摂動論

数学および応用数学において、摂動法は、関連するより単純な問題の正確な解から始めて、問題の近似解を求める手法から構成されます。 [ 1 ] [ 2 ]この手法の重要な特徴は、問題を「解ける」部分と「摂動的な」部分に分割する中間ステップです。[ 3 ]通常の摂動法 では、解は小さなパラメータのべき級数として表現されます。[ 1 ] [ 2 ]最初の項は、解ける問題の既知の解です。 の次数が高くなるにつれて、級数の項は小さくなるのが普通です。近似的な「摂動解」は級数を切り捨てることで得られ、多くの場合、最初の 2 つの項、つまり既知の問題の解と「一次」の摂動補正のみが保持されます。 ε{\displaystyle \varepsilon }ε{\displaystyle \varepsilon }

摂動論は幅広い分野で用いられており、量子場の理論において最も洗練された高度な形態に達しています。摂動論（量子力学）は、量子力学におけるこの手法の応用を記述するものです。この分野は、一般的に複数の分野にまたがって活発かつ精力的に研究されています。

説明

摂動論では、望ましい解を、ある「小さな」パラメータにおける摂動級数と呼ばれる形式的な冪級数を用いて表現します。この冪級数は、正確に解ける問題からの偏差を定量化します。この冪級数の先頭項は、正確に解ける問題の解であり、それ以降の項は、初期問題からの偏差に起因する解の偏差を表します。正式には、完全な解への近似値として、小さなパラメータ（ここではεと呼ぶ）における級数があり、以下のようになります。  あ 、{\displaystyle \A\,}

あ≡あ0+ε1あ1+ε2あ2+ε3あ3+⋯{\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }

この例では、は正確に解ける初期問題に対する既知の解であり、項は1次、2次、3次、および高次の項を表し、これらは機械的だが徐々に困難になる手順によって反復的に求められる。 が小さい場合、級数中のこれらの高次の項は一般に（常にではないが）連続的に小さくなる。近似的な「摂動解」は級数を切り捨てることによって得られ、多くの場合最初の2項のみを保持し、最終解は初期（正確な）解と「1次」摂動補正の和として表される。  あ0 {\displaystyle \A_{0}\} あ1、あ2、あ3、… {\displaystyle \A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \} ε {\displaystyle \\epsilon\}

あ→あ0+εあ1forε→0{\displaystyle A\to A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0}

一部の著者は近似解の誤差の順序を示すためにビッグオー記法を使用している： [ 2 ]あ＝あ0+εあ1+お（ ε2 ） 。{\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}

のべき級数が非ゼロの収束半径で収束する場合、その摂動問題は正則摂動問題と呼ばれる。[ 1 ]正則摂動問題では、漸近解は滑らかに厳密解に近づく。[ 1 ]しかし、摂動級数は発散することがあり、その要素が最小となる点で打ち切られた級数は、真の解の良い近似になり得る。これは漸近級数と呼ばれる。摂動級数が発散するかべき級数でない場合（例えば、漸近展開に整数でないべきまたは負のべきを含まなければならない場合）、摂動問題は特異摂動問題と呼ばれる。[ 1 ]摂動論では、特異摂動問題を解析するために多くの特別な手法が開発されてきた。[ 1 ] [ 2 ] ε {\displaystyle \\epsilon\} ε（1/2） {\displaystyle \\epsilon^{\left(1/2\right)}\} ε−2 {\displaystyle \\epsilon^{-2}\}

貝殻渡り

量子力学的摂動論では、物質の軌道が交差して特異点を形成するときに殻交差（sc）が発生します。[ 4 ]これにより、小さなスケールでの物理シミュレーションの予測力が制限されます。

典型的な例

現在では摂動論と呼ばれている理論が最も早く使われたのは、天体力学における他の方法では解決できない数学的問題を扱うためだった。例えば、月の軌道は地球と太陽の重力の競合により、単純なケプラーの楕円とは著しく異なる動きをする。[ 5 ]

摂動法は、元の問題を簡略化した形から出発します。これは十分に単純で、正確に解くことができます。天体力学では、これは通常、ケプラーの楕円です。ニュートンの重力の下では、楕円は重力を受ける物体が2つ（例えば、地球と月）しかない場合には正確に当てはまりますが、 3つ以上の物体（例えば、地球、月、太陽、そして太陽系の残りの部分）がある場合は完全には当てはまりません。また、一般相対性理論の定式を用いて重力相互作用を記述する場合も、完全には当てはまりません。

摂動展開

上記の例を念頭に置いて、摂動級数を得るための一般的な方法に従います。摂動展開は、簡略化された問題に逐次的な補正を加えることで作成されます。補正は、摂動を受けない解と、系全体を記述する方程式との間の整合性を強制することで得られます。この方程式の集合を書き表してください。つまり、記号は解くべき問題を表します。多くの場合、これらは微分方程式であるため、文字「D」を使用します。  D {\displaystyle \D\} D {\displaystyle \D\}

このプロセスは、面倒ではあるものの、一般的には機械的である。まず方程式を書き、それを2つの部分に分ける。1つは正確に解ける方程式の集合、もう1つは小さな方程式のための追加の部分である。解（ ）は既知であり、の一般解を求める。 D {\displaystyle \D\} D0 {\displaystyle \D_{0}\} εD1 {\displaystyle \ \varepsilon D_{1}\ } |ε|≪1 。{\displaystyle \\left|\;\!\varepsilon \;\!\right|\ll 1~.} あ0 {\displaystyle \A_{0}\} D0 {\displaystyle \D_{0}\} あ {\displaystyle \A\} D＝D0+εD1 。{\displaystyle \ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.}

次に、近似を に挿入します。この結果、 の方程式が得られます。この方程式は、一般に の積分の和として閉じた形で表すことができます。したがって、 1次の補正が得られ、の良好な近似値となります。 無視された部分が のサイズであったため、良好な近似値となります。このプロセスは、補正値を取得するなど、繰り返し実行できます。  あ≈あ0+εあ1 {\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ } εD1{\displaystyle \ \varepsilon D_{1}} あ1 、{\displaystyle \A_{1}\ ,} あ0 。{\displaystyle \A_{0}~.} あ1 {\displaystyle \A_{1}\} あ≈あ0+εあ1 {\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ } あ 。{\displaystyle \A~.} ε2 。{\displaystyle \\epsilon^{2}~.} あ2 、{\displaystyle \A_{2}\ ,}

実際には、このプロセスは急速に項の膨大化へと発展し、手作業で扱うのが極めて困難になります。アイザック・ニュートンは月の軌道の問題について、 「頭が痛くなる」と言ったと伝えられています。[ 6 ]この扱いにくさから、摂動論はこれらの高次の項を管理し、書き出す高度な技術へと発展せざるを得ませんでした。量子力学におけるこの膨張を制御するための根本的なブレークスルーの一つは、ファインマン図であり、これにより量子力学的摂動級数をスケッチで表すことができます。

例

摂動論は物理学と応用数学の様々な場面で用いられてきました。「方程式の集合」の例としては、代数方程式[ 7 ]、微分方程式[ 8 ]（例えば、運動方程式[ 9 ] や一般的には波動方程式）、統計力学における熱力学的自由エネルギー、放射伝達[ 10 ] 、量子力学におけるハミルトン作用素などが挙げられます。 D{\displaystyle D}

摂動的に求められる解の種類の例としては、運動方程式の解（例えば、粒子の軌道）、何らかの物理量の統計平均（例えば、平均磁化）、量子力学的問題の 基底状態エネルギーなどが挙げられます。

出発点として使用できる正確に解ける問題の例には、運動の線形方程式(調和振動子、線形波動方程式) を含む線形方程式、相互作用しない粒子の統計的または量子力学的システム (または一般に、すべての自由度で 2 次項のみを含むハミルトニアンまたは自由エネルギー) が含まれます。

摂動法で解くことができるシステムの例には、運動方程式への非線形寄与、粒子間の相互作用、ハミルトニアン/自由エネルギーの高次項を持つシステムが含まれます。

粒子間の相互作用を含む物理的問題の場合、摂動級数の項はファインマン図を使用して表示（および操​​作）できます。

化学では

多くのab initio 量子化学法は摂動法を直接使用するか、密接に関連した方法である。暗黙の摂動法[ 11 ]は最初から完全なハミルトニアンで動作し、摂動演算子をそれ自体として指定することはありません。Møller –Plesset 摂動法は、ハートリー–フォックハミルトニアンと正確な非相対論的ハミルトニアンの差を摂動として使用する。ゼロ次エネルギーは軌道エネルギーの合計である。一次エネルギーはハートリー–フォック エネルギーであり、電子相関は二次以上に含められる。二、三、四次の計算は非常に一般的であり、ほとんどのab initio量子化学プログラムにコードが含まれている。関連しているがより正確な方法は結合クラスター法である。

歴史

摂動論は、太陽系内の惑星の運動計算という、本来は解決困難な問題を解決するために考案されました。例えば、ニュートンの万有引力の法則は2つの天体間の重力を説明しましたが、3つ目の天体が加わると、「それぞれの天体はどのように互いに引っ張るのか」という問題が生じました。ケプラーの軌道方程式は、ニュートンの重力方程式が相互作用する天体が2つだけに限定されている場合にのみ、その方程式を解くことができます。天体観測の精度が徐々に向上するにつれて、ニュートンの重力方程式の解の精度に対する要求も高まり、18世紀と19世紀の著名な数学者、特にジョゼフ＝ルイ・ラグランジュとピエール＝シモン・ラプラスが摂動論の手法を拡張し、一般化しました。

これらの十分に開発された摂動法は、20世紀の原子および素粒子物理学における量子力学の発展の間に生じた新しい問題を解決するために採用され、適応されました。ポール・ディラックは1927年に、放射性元素で粒子がいつ放出されるかを評価するために量子摂動法を開発しました。これは後にフェルミの黄金律と名付けられました。[ 12 ] [ 13 ]量子力学における摂動法はかなり理解しやすいですが、それは主に量子力学が線形波動方程式に限定されていることと、量子力学的表記法によって式をかなりコンパクトな形式で記述できるため理解しやすいためです。この結果、ゼーマン効果から水素原子の超微細分裂に至るまで、応用が爆発的に広がりました。

より簡略化された表記法にもかかわらず、摂動論を量子場理論に適用すると、依然として容易に手に負えなくなる。リチャード・ファインマンは、多くの項が規則的に繰り返されることに着目し、有名なファインマン図を考案した。これらの項は、項、分母、積分などを表す点、線、波線などの記号に置き換えることができる。したがって、複雑な積分も、その意味について全く曖昧さのないシンプルな図で表すことができる。図と特定の積分が一対一に対応していることが、ファインマン図の真価である。もともと量子場理論のために開発されたファインマン図法は、他の多くの摂動級数にも広く適用可能である（ただし、必ずしも有用であるわけではない）。

20世紀後半、カオス理論の発展に伴い、摂動を受けない系は一般に完全に可積分な系であるのに対し、摂動を受ける系はそうではないことが明らかになりました。これはすぐに「ほぼ可積分な系」の研究につながり、KAMトーラスはその典型的な例です。同時に、これまで摂動論によってのみアプローチ可能であった多くの（やや特殊な）非線形系が、実際には完全に可積分であることも発見されました。この発見は、厳密解を与えることを可能にしたため、非常に劇的なものでした。これにより、摂動級数の意味が明確になり、級数の結果と厳密解を比較できるようになりました。

カオス理論によって力学系への理解が深まったことで、いわゆる「小さな分母問題」あるいは「小さな除数問題」の解明に役立ちました。19世紀、ポアンカレは（おそらくそれ以前の数学者たちもそうであったように）、摂動級数の2次以上の項が「小さな分母」を持つことがあることに気づきました。つまり、それらは一般形 を持ちます。ここで、 とは解くべき問題に関連する複雑な式であり、と は実数で、多くの場合、これらは正規モードのエネルギーです。小さな除数問題は、差が小さい場合に発生し、摂動補正が「爆発」し、0次項と同じか、あるいはそれよりも大きくなることがあります。この状況は摂動論の破綻を示唆しています。摂動論はこの時点で機能しなくなり、それ以上展開したり合計したりできなくなります。正式には、摂動級数は漸近級数です。つまり、いくつかの項については有用な近似値となりますが、さらに項を追加すると、ある時点で精度が低下します。カオス理論からの画期的な進歩は、なぜこのようなことが起こるのかを説明することでした。摂動論をカオス系に適用すると必ず小さな約数が発生します。一方が他方の存在を示唆するからです。   ψnVϕメートル  （ωn−ωメートル）  {\displaystyle \ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\ } ψn 、{\displaystyle \ \psi _{n}\ ,} V 、{\displaystyle \V\,} ϕメートル {\displaystyle \\phi_{m}\} ωn {\displaystyle \ \omega _{n}\ } ωメートル {\displaystyle \ \omega _{m}\ } ωn−ωメートル {\displaystyle \\omega_{n}-\omega_{m}\}

惑星運動の研究の始まり

惑星は互いに非常に離れており、またその質量は太陽の質量に比べて小さいため、惑星間の重力は無視することができ、惑星の運動は、第一近似として、二体問題の方程式で定義されるケプラーの軌道に沿って起こると考えられる。この二体とは、惑星と太陽のことである。[ 14 ]

天文学のデータがはるかに正確に得られるようになったため、太陽の周りを回る惑星の運動が他の惑星からどのような影響を受けるかを考慮する必要が生じました。これが三体問題の起源です。月-地球-太陽の系を研究する際に、月と地球の質量比が「小さなパラメータ」として選ばれました。ラグランジュとラプラスは、太陽の周りを回る惑星の運動を記述するいわゆる「定数」が徐々に変化するという見解を初めて提唱しました。つまり、それらは他の惑星の運動によっていわば「摂動」を受け、時間の関数として変化するということです。そのため、「摂動論」と呼ばれています。[ 14 ]

摂動論は、ラプラス、シメオン・ドニ・ポアソン、カール・フリードリヒ・ガウスといった古典派の学者によって研究され、その結果、非常に高い精度で計算が可能になりました。1848年、ユルバン・ル・ヴェリエは天王星の運動の偏差に基づいて海王星を発見しました。彼はその座標をJ・G・ガレに送り、ガレは望遠鏡で海王星の観測に成功しました。これは摂動論の勝利でした。[ 14 ]

摂動順序

摂動論の標準的な説明は、摂動が行われる順序（一次摂動論か二次摂動論か）と、摂動を受ける状態が縮退しているかどうか（縮退している場合は特異摂動が必要となる）という観点から行われます。特異摂動の場合は特別な注意が必要であり、理論はやや複雑になります。

参照

参考文献

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  2. ^ a b c dホームズ, マーク H. (2013).摂動法入門（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-1-4614-5477-9. OCLC  821883201 .
  3. ^ウィリアム E. ヴィーゼル (2010)。現代の天体力学。オハイオ州: アフェリオン プレス。 p. 107.ISBN​ 978-145378-1470。
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  6. ^クロッパー、ウィリアム・H. (2004). 『偉大な物理学者たち：ガリレオからホーキングまでの主要な物理学者たちの生涯と時代』オックスフォード大学出版局. p. 34. ISBN 978-0-19-517324-6。
  7. ^ 「LA Romero, 「多項式のための摂動論」、ニューメキシコ大学講義ノート (2013)」(PDF) 。 2018年4月17日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2017年4月30日閲覧。
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  11. ^キング、マッチャ (1976). 「化学結合の理論」アメリカ化学会誌. 98 (12): 3415– 3420. doi : 10.1021/ja00428a004 .
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  13. ^ディラック, PAM (1927年3月1日). 「放射の放出と吸収の量子理論」 . Proceedings of the Royal Society A. 114 ( 767): 243– 265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . doi : 10.1098/rspa.1927.0039 . JSTOR 94746 . 式(24)と式(32)を参照。
  14. ^ a b c「摂動論」数学百科事典 (encyclopediaofmath.org)。
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