最初のバリエーション

応用数学と変分法において、関数J ( y )の第一変分は、関数hを次の式に 写像する線形関数として定義される。${\displaystyle \delta J(y)}$

${\displaystyle \delta J(y,h)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {J(y+\varepsilon h)-J(y)}{\varepsilon }}=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0},}$

ここで、yとhは関数、εはスカラーです。これは関数の ガトー微分として認識できます。

例

最初の変分を計算する

${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}yy'\mathrm {d} x.}$

上記の定義から、

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta J(y,h)&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\プライム}+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\left.\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\プライム}h+2\varepsilon hh^{\prime })\ \mathrm {d} x\right|_{\varepsilon =0}\\&=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ \mathrm {d} x\\\end{aligned}}}$

参照

• 変分法
• 機能的微分
• 2番目のバリエーション