2番目のバリエーション

変分法における第二変分は、第二導関数の考え方を関数に拡張するものである。[ 1 ]関数の場合と同様に、第一導関数がゼロとなる定常点では、第二導関数がその定常点の性質を決定する。すなわち、その定常点が最大点の場合は負、最小点の場合は正、鞍点の場合はゼロとなる。

2番目の関数を介して、以下に詳述するルジャンドル・クレプシュ条件やヤコビ必要条件などの変分問題を解くための強力な必要条件を導くことが可能である。 [ 2 ]

モチベーション

変分法の多くは、第一変分、つまり第一微分を関数に一般化したものに依存している。[ 3 ]変分問題の一例としては、積分を最小化する関数を求める問題が挙げられる。y{\displaystyle y}

J[y]＝∫1つのbf（×、y、y′）d×{\displaystyle J[y]=\int _{a}^{b}f(x,y,y')dx}

区間 上の関数 である。ここに関数 （関数 を取り、スカラー を返す写像）がある。この関数を最小化する任意の滑らかな関数は、オイラー・ラグランジュ方程式を満たすことが知られている。[1つの、b]{\displaystyle [a,b]}J{\displaystyle J}y{\displaystyle y}

fy−dd×fy′＝0。{\displaystyle f_{y}-{\frac {d}{dx}}f_{y'}=0.}

これらの解は定常ですが、それが望ましい極値であるという保証はありません（1次導関数と全く同様に、最小値、最大値、または鞍点となる可能性があります）。2番目の変分法による検定により、解が最小値であることが保証されます。

導出

極値 をとる。変分関数の積分関数の近傍点 に関するテイラー級数は小さく、は滑らかな関数で、 は でゼロであり、である。 y{\displaystyle y}y+εh{\displaystyle y+\varepsilon h}ε{\displaystyle \varepsilon }h{\displaystyle h}1つの{\displaystyle a}b{\displaystyle b}

f（×、y、y′）＝f（×、y、y′）+ε（hfy+h′fy′）+ε22（h2fyy+2hh′fyy′+h′2fy′y′）+お（ε3）。{\displaystyle f(x,y,y')=f(x,y,y')+\varepsilon (hf_{y}+h'f_{y'})+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}(h^{2}f_{yy}+2hh'f_{yy'}+h'^{2}f_{y'y'})+O(\varepsilon ^{3})。}

級数の最初の項は第1変分であり、2番目の項は第2変分として定義されます。

δ2J（h、y）:=∫1つのbh2fyy+2hh′fyy′+fy′y′h′2。{\displaystyle \delta^{2}J(h,y):=\int_{a}^{b}h^{2}f_{yy}+2hh'f_{yy'}+f_{y'y'}h'^{2}.}

が定常（つまり最初の変化がゼロ）で、すべての に対してが極小値を持つことが示されます。[ 4 ]J{\displaystyle J}y0{\displaystyle y_{0}}δ2J（h、y0）≥0{\displaystyle \delta ^{2}J(h,y_{0})\geq 0}h{\displaystyle h}

ヤコビの必要条件

付属問題とヤコビ微分方程式

上で議論したように、問題の最小値はすべての に対してとなることを必要とし、さらに自明な解は となる。したがって、 はそれ自体が変分問題とみなすことができる。これは、被積分関数を と表記する付属問題と呼ばれる。ヤコビ微分方程式は、この付属問題に対するオイラー・ラグランジュ方程式である。[ 5 ]δ2J（h、y0）≥0{\displaystyle \delta ^{2}J(h,y_{0})\geq 0}h{\displaystyle h}h＝0{\displaystyle h=0}δ2J（h、y0）＝0{\displaystyle \delta^{2}J(h,y_{0})=0}δ2J（h、y0）{\displaystyle \delta^{2}J(h,y_{0})}Ω{\displaystyle \オメガ}

Ωh−dd×Ωh′＝0。{\displaystyle \Omega_{h}-{\frac{d}{dx}}\Omega_{h'}=0.}

共役点とヤコビの必要条件

ヤコビ方程式は、元のオイラー・ラグランジュ方程式よりも構築が容易である（ であり、はせいぜい二次式である）だけでなく、元の変分問題の共役点をその解の中に表現します。というヤコビ微分方程式に非自明な解が存在する場合、その点は下界と共役です。 h{\displaystyle h}h′{\displaystyle h'}c{\displaystyle c}1つの{\displaystyle a}h{\displaystyle h}h（1つの）＝h（c）＝0{\displaystyle h(a)=h(c)=0}

ヤコビの必要条件は次のようになります。

を 上の変分積分の極値とする。すると、点がの共役点となるのは のときのみである。[ 3 ]y{\displaystyle y}[1つの、b]{\displaystyle [a,b]}c∈（1つの、b）{\displaystyle c\in (a,b)}1つの{\displaystyle a}fy′y′（c、y、y′）＝0{\displaystyle f_{y'y'}(c,y,y')=0}

特に、強化されたルジャンドル条件を満たす場合、共役点を持たない場合にのみ極値となる。[ 4 ]f{\displaystyle f}fy′y′>0{\displaystyle f_{y'y'}>0}y{\displaystyle y}

ヤコビの必要条件は、カール・ヤコビにちなんで名付けられました。彼は論文「変分法と微分方程式の理論について」の中で、この付属問題の解法を初めて利用しました。また、「付属問題」という用語はエシェリヒによって導入されました。[ 6 ]

例:球面上の最短経路

例えば、球面上の2点間の測地線（最短経路）を求める問題は、関数[ 3 ]の変分問題として表現できる。

J[y]＝∫0bコス2⁡y+y′2d×。{\displaystyle J[y]=\int _{0}^{b}{\sqrt {\cos^{2}y+y'^{2}}}dx.}

球面の赤道は、この関数を で最小化する。この問題に対するヤコビ微分方程式は、 y＝0{\displaystyle y=0}fy′y′＝1>0{\displaystyle f_{y'y'}=1>0}

h″+h＝0{\displaystyle h''+h=0}

には解が存在する。解が を満たす場合、その解は の形をとる。これらの関数は で零点を持つため、赤道は の場合にのみ解となる。 h＝あ罪⁡（×）+Bコス⁡（×）{\displaystyle h=A\sin(x)+B\cos(x)}h（0）＝0{\displaystyle h(0)=0}h＝あ罪⁡（×）{\displaystyle h=A\sin(x)}けπ、け∈Z{\displaystyle k\pi ,k\in \mathbb {Z} }b<π{\displaystyle b<\pi }

これは直感的に理解できます。球面上の2点を通る大円を描くと、その間には2つの経路があり、一方は他方よりも長くなります。もし ならば、もう一方の点に到達するには円を半周する必要があり、反対方向から行く方が早く到着できることになります。 b>π{\displaystyle b>\pi }

参考文献

  1. ^ 「第2変分」 .数学百科事典. シュプリンガー. 2024年1月14日閲覧。
  2. ^ 「ヤコビ条件」 .数学百科事典. シュプリンガー. 2024年1月14日閲覧。
  3. ^ a b c Brechtken-Manderscheid, Ursula (1991). 「5: ヤコビの必要条件」.変分法入門.
  4. ^ a b van Brunt, Bruce (2003). 「10: 第2変分」.変分法. Springer. doi : 10.1007/b97436 . ISBN 978-0-387-40247-5。
  5. ^ 「ヤコビ微分方程式」 . Wolfram MathWorld . 2024年1月12日閲覧。
  6. ^ブリス、ギルバート・エイムズ (1946). 「I.11: ヤコビの条件の第二の証明」変分法講義.

さらに読む

  • M. モース、「大規模変分法」、アメリカ数学会 (1934)
  • JWミルナー、「モース理論」、プリンストン大学出版局（1963年）
  • 劉偉史、第10章 第二の変奏、カンザス大学[1]
  • 講義12: 変分とヤコビ体[2]
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