フロケ理論

周期的な駆動力を受ける振り子や交流電流で駆動される振動回路など、力が周期的なシステムでは、システム全体の挙動は必ずしも完全に周期的であるとは限りません。例えば、ブランコで押されている子供を考えてみましょう。動きは規則的で周期的な押圧によって駆動されていますが、ブランコは前後に振動しながら徐々に高い位置まで上昇します。これにより、根底にある周期性と成長が組み合わさった状態が生まれます。

フロケ理論は、このようなシステムを解析する方法を提供します。その本質的な洞察はブランコの例と同様です。つまり、解は2つの部分に分解できます。周期成分（繰り返し動作を反映）と指数因子（成長、減衰、または中立安定性を反映）です。この分解により、時間周期システムにおける長期的な挙動と安定性の解析が可能になります。

正式には、フロケ理論は、次の形式の 周期線形微分方程式の解のクラスに関連する常微分方程式の一分野である。

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x,}$

は周期を持つ周期関数であり、解の安定性の状態を定義します。 ${\displaystyle x\in {R^{n}}}$ ${\displaystyle \displaystyle A(t)\in {R^{n\times n}}}$ ${\displaystyle T}$

フロケ理論の主要定理であるフロケの定理は、ガストン・フロケ （1883）によって提唱され、この共通線形系の各基本行列解の標準形を与える。この定理は、 による座標変換を与え、周期系を定数の実係数を持つ従来の線形系に変換する。この定理は、凝縮系物理学における結晶など、周期ポテンシャルを持つ物理系に適用され、ブロッホの定理として知られる。 ${\displaystyle \displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ ${\displaystyle \displaystyle Q(t+2T)=Q(t)}$

線型微分方程式の解はベクトル空間を形成することに注意してください。行列は、列が解集合の基底を形成する場合、基本行列解と呼ばれます。すべての列が線型独立な解であり、が恒等解となるような行列が存在する場合、行列は主基本行列解と呼ばれます。主基本行列は、 を用いて基本行列から構築できます。初期条件 を持つ線型微分方程式の解はであり、は任意の基本行列解です。 ${\displaystyle \phi \,(t)}$ ${\displaystyle \Phi (t)}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \Phi (t_{0})}$ ${\displaystyle \Phi (t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(t_{0})}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi \,(t){\phi \,}^{-1}(0)x_{0}}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$

フロケの定理

を線型一階微分方程式とする。ここで は長さ の列ベクトルであり、周期行列（ のすべての実数に対して となる）である。をこの微分方程式の基本行列解とする。すると、すべての に対して、 ${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A(t)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A(t+T)=A(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi \,(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \phi (t+T)=\phi (t)\phi ^{-1}(0)\phi (T).}$

ここ

${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (T)}$

はモノドロミー行列として知られている。さらに、次のような行列（複素行列も含む） の各選択に対して、${\displaystyle B}$

${\displaystyle e^{TB}=\phi ^{-1}(0)\phi (T),}$

周期行列関数（周期）が存在し、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t\mapsto P(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=P(t)e^{tB}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

この表現は、基本行列解のフロケ正規形と呼ばれます。 ${\displaystyle \phi \,(t)}$

さらに、が の任意の値に対して実数行列である場合、を満たす 実数行列も少なくとも1つ存在する。 ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \phi ^{-1}(0)\phi (2T)=(\phi ^{-1}(0)\phi (T))^{2}=e^{2TR}.}$

の任意の選択に対して、周期 を持つ実周期行列関数が存在し、 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2T}$ ${\displaystyle t\mapsto Q(t)}$

${\displaystyle \phi (t)=Q(t)e^{tR}{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} .}$

上記において、、およびは行列です。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n\times n}$

結果と応用

この写像は時間依存の座標変換（ ）を生じ、これにより元の系は実定数係数 を持つ線型系となる。は連続かつ周期的であるため、有界となる必要がある。したがって、解と の安定性はの固有値によって決定される。 ${\displaystyle \phi \,(t)=Q(t)e^{tR}}$ ${\displaystyle y=Q^{-1}(t)x}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=Ry}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle R}$

の固有値は、システムの特性乗数と呼ばれます。行列は一意ではありませんが、 の固有値はの選択に対して同じです。これらは、（線形）ポアンカレ写像の固有値でもあります。フロケ指数（特性指数と呼ばれることもあります）は、がシステムの特性乗数となるような複素数です。 （ただし は整数）であるため、フロケ指数は一意ではないことに注意してください。フロケ指数の実部は、リアプノフ指数と呼ばれます。すべてのリアプノフ指数が負の場合、零解は漸近的に安定であり、リアプノフ指数が非正の場合、リアプノフ安定であり、それ以外の場合は不安定です。 ${\displaystyle e^{TB}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle e^{TB}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x(t)\to x(t+T)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle e^{\mu T}}$ ${\displaystyle e^{(\mu +{\frac {2\pi ik}{T}})T}=e^{\mu T}}$ ${\displaystyle k}$

• フロケ理論は、マシュー方程式などの動的システムの研究にとって非常に重要です。
• フロケ理論は、周期的な重力場における調和振動子としての月の運動を近似するヒル微分方程式(ジョージ・ウィリアム・ヒルによって導入) の安定性を示します。
• 強力なレーザー場における結合軟化と結合硬化は、フロケの定理から得られる解によって説明できます。
• 強く駆動された量子系のダイナミクスは、しばしばフロケ理論を用いて研究されます。超伝導回路においては、フロケの枠組みは、駆動誘起の多量子ビット相互作用や駆動誘起の状態遷移の量子電気力学を明らかにするために活用されてきました。
• フロケ理論は、位相的に非自明な駆動量子凝縮系にも用いられる。駆動系の位相は、フロケ・ハミルトニアンを研究することによって解析される。^{[ 1 ]}

参考文献

1. arXiv:1211.5623

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• イーヴァル、エケランド(1990)。 "1つ"。ハミルトン力学における凸法。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]。 Vol. 19. ベルリン: Springer-Verlag。 pp.x+247。ISBN 3-540-50613-6. MR  1051888 .
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外部リンク

• 「フロケ理論」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]