フォッカー周期ブロック
Concept in musical tuning theory
12段階均等調律のフォッカー周期ブロック。左側に純正律値、右側に対応する均等調律値を表示。

フォッカー周期性ブロックは、調律理論における概念であり、純正律の音程と等調律の音程を数学的に関連付けるために使用されます。アドリアーン・ダニエル・フォッカーにちなんで名付けられました。これらは、アーヴ・ウィルソンが定数構造と呼ぶものの主要なサブセットに含まれており 、「各音程は常に同じ数のステップで区切られて発生する」と定義されています。[1]

フォッカーの周期性ブロックの基本的な考え方は、比率を格子上の点として表現し、コンマと呼ばれる非常に小さな間隔を表すベクトルを格子内に見つけることです。コンマで区切られたピッチを同等のものとして扱うと、格子が「折り畳まれ」、実質的にその次元が1つ減ります。数学的には、これはコンマによって生成された部分格子による元の格子の商群を見つけることに相当します。 n次元格子の場合、n個の線形独立なコンマを識別すると、格子の次元が 0 になります。つまり、格子内のピッチの数は有限です。数学的には、その商は有限のアーベル群です。この 0 次元のピッチの集合が周期性ブロックです。多くの場合、これは巡回グループを形成します。その場合、周期ブロックのmピッチをm等しいチューニングと同一視すると、元の格子を定義した正確な比率の等しいチューニング近似値が得られます。

周期性ブロックの構築においては、オクターブは通常無視されることに注意してください（音階理論では一般的にそうであるように）。これは、調律体系における任意の音高に対して、そこからオクターブ数だけ異なるすべての音高も原理的に存在し得ると仮定されているためです。言い換えれば、すべての音高と音程は、オクターブを法とする剰余として考えることができます。この簡略化は、一般にオクターブ等価性として知られています。

周期ブロックの定義

n次元空間に埋め込まれたn次元格子（すなわち整数格子）の各ノードに数値が割り当てられているとします。格子内をいずれかの基本方向に移動すると、特定の間隔だけピッチがシフトします。通常、 nは1から3の範囲です。2次元の場合、格子は正方格子です。3次元の場合、格子は立方格子です。

このような格子の例は次のとおりです（x、y、z、wは整数）。

... 128/81、32/27、16/9、4/3、1、3/2、9/8、27/16、81/64、...
  • 2次元の場合、5極限純正律に対応し、格子を定義する音程は完全5度と長3度で、比は5/4です。これにより、位置( x , y )の点に3 x 5 y 2 zという値がラベル付けされた正方格子が得られます。ここでも、zは結果の値が区間[1,2)に含まれる唯一の整数として選択されます。
  • 3 次元の場合も同様ですが、定義間隔のセットに調和 7 度を追加して、位置 ( x、y、z )の点に3 x 5 y 7 z 2 wという値が付けられる立方格子を生成します。wは、この値が間隔 [1,2) に収まるように選択されます。

格子とそのラベル付けが決まったら、原点以外の格子のノードのうち、値が1または2に近いn個を選択します。原点からこれらの特別なノードそれぞれへのベクトルは、ユニゾンベクトルと呼ばれます。これらのベクトルは、元の格子の部分格子を定義します。部分格子の基本領域は、2次元の場合はユニゾンベクトルとそのシフトされたコピーで囲まれた平行四辺形、3次元の場合は平行六面体です。これらの領域は、元の格子の モザイク状のタイルを形成します。

タイルの面積または体積は、ユニゾンベクトルの行列式の絶対値で与えられます。つまり、2次元の場合、ユニゾンベクトルがuとvで、2次元タイルの面積は u = ( u x , u y ) {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})} v = ( v x , v y ) {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y})}

| u x u y v x v y | = u x v y − u y v x . {\displaystyle \left|{\begin{matrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{matrix}}\right|=u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}.}

各タイルはフォッカー周期ブロックと呼ばれます。各ブロックの面積は常に、各ブロックに含まれるノードの数に等しい 自然数です。

例

6つの平均律のフォッカー周期ブロック。定義コンマを表示。

例1：完全五度（比率3/2）と純正長三度（比率5/4）の2次元格子を考えます。コンマ128/125（ディエシス、純正長三度3つで1オクターブに満たない距離、約41セント）と81/80（シントニックコンマ、4つの完全五度と純正長三度1つの差、約21.5セント）を選択します。結果は12個のブロックで、12音平均律が5音域の限界の比率にどのように近似しているかを示しています。

例 2: ただし、ディエシスをユニゾン ベクトルとして拒否し、代わりに 5 つの長 3 度 (1 オクターブ未満) と 4 度の差、3125/3072 (約 30 セント) を選択した場合、結果は 19 のブロックになり、19-TET が5 制限の比率に近似していることが示されます。

例 3: 完全五度、長三度、および和声七度の 3 次元格子において、シントニック コンマ、七分音符のクライスマ(225/224、約 8 セント)、および比率 1029/1024 (七分音符の全音 3 つと完全五度の差、約 8.4 セント) を特定すると、31 のブロックが生成され、31-TET が7 限界の比率に近似する方法が示されます。

周期ブロックの数学的特性

周期ブロックは、最初の格子に重ね合わされた二次的な斜格子を形成する。この格子は関数φで与えられる。

ϕ B ( x , y ) := ( x 0 , y 0 ) + ( x , y ) ( u x u y v x v y ) {\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+(x,y){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}}

これは実際には線形結合です。

ϕ B ( x , y ) := ( x 0 , y 0 ) + x u + y v {\displaystyle \phi _{B}(x,y):=(x_{0},y_{0})+x\mathbf {u} +y\mathbf {v} }

ここで、点（x 0、y 0）は任意の点であるが、主格子のノードではないことが好ましく、また、点φ（0,1）、φ（1,0）、およびφ（1,1）も任意のノードではないことが好ましい。

次に、周期ブロック内のプライマリノードのメンバーシップは、逆φ関数 を通じて解析的にテストできます。

ϕ B − 1 ( x , y ) := ( ( x , y ) − ( x 0 , y 0 ) ) ( u x u y v x v y ) − 1 {\displaystyle \phi _{B}^{-1}(x,y):=\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\\v_{x}&v_{y}\end{pmatrix}}^{-1}}
= ( ( x , y ) − ( x 0 , y 0 ) ) u x v y − u y v x ( v y − u y − v x u x ) {\displaystyle ={\left((x,y)-(x_{0},y_{0})\right) \over u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}}{\begin{pmatrix}v_{y}&-u_{y}\\-v_{x}&u_{x}\end{pmatrix}}}

させて

ν B ( x , y ) := ( ⌊ x ⌋ , ⌊ y ⌋ ) , {\displaystyle \nu _{B}(x,y):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ),}
μ B ( x , y ) := ν B ( ϕ B − 1 ( x , y ) ) , {\displaystyle \mu _{B}(x,y):=\nu _{B}(\phi _{B}^{-1}(x,y)),}

ピッチB ( x , y )がスケールM B に属する場合、 すなわち μ B ( x , y ) = μ B ( 0 , 0 ) , {\displaystyle \mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0),}

M B = { B ( x , y ) : μ B ( x , y ) = μ B ( 0 , 0 ) } . {\displaystyle M_{B}=\{B(x,y):\mu _{B}(x,y)=\mu _{B}(0,0)\}.}

1次元の場合:

ϕ A ( x ) := x 0 + L x {\displaystyle \phi _{A}(x):=x_{0}+Lx}

ここでLはユニゾンベクトルの長さであり、

ϕ A − 1 ( x ) = x − x 0 L {\displaystyle \phi _{A}^{-1}(x)={x-x_{0} \over L}}
μ A ( x ) := ⌊ x − x 0 L ⌋ , {\displaystyle \mu _{A}(x):=\left\lfloor {x-x_{0} \over L}\right\rfloor ,}
M A = { A ( x ) : μ A ( x ) = μ A ( 0 ) } . {\displaystyle M_{A}=\{A(x):\mu _{A}(x)=\mu _{A}(0)\}.}

3次元の場合、

ϕ C ( x , y , z ) := ( x 0 , y 0 , z 0 ) + ( x , y , z ) ( u x u y u z v x v y v z w x w y w z ) {\displaystyle \phi _{C}(x,y,z):=(x_{0},y_{0},z_{0})+(x,y,z){\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{pmatrix}}}
ϕ C − 1 ( x , y , z ) = ( ( x , y , z ) − ( x 0 , y 0 , z 0 ) ) Δ ( v y w z − v z w y u z w y − u y w z u y v z − u z v y v z w x − v x w z u x w z − u z w x u z v x − u x v z v x w y − v y w x u y w x − u x w y u x v y − u y v x ) {\displaystyle \phi _{C}^{-1}(x,y,z)={((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})) \over \Delta }{\begin{pmatrix}v_{y}w_{z}-v_{z}w_{y}&u_{z}w_{y}-u_{y}w_{z}&u_{y}v_{z}-u_{z}v_{y}\\v_{z}w_{x}-v_{x}w_{z}&u_{x}w_{z}-u_{z}w_{x}&u_{z}v_{x}-u_{x}v_{z}\\v_{x}w_{y}-v_{y}w_{x}&u_{y}w_{x}-u_{x}w_{y}&u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}\end{pmatrix}}}

ここで、はユニゾンベクトルの行列の行列式です。 Δ = u x v y w z + u y v z w x + u z v x w y − u x v z w y − u y v x w z − u z v y w x {\displaystyle \Delta =u_{x}v_{y}w_{z}+u_{y}v_{z}w_{x}+u_{z}v_{x}w_{y}-u_{x}v_{z}w_{y}-u_{y}v_{x}w_{z}-u_{z}v_{y}w_{x}}

ν C ( x , y , z ) := ( ⌊ x ⌋ , ⌊ y ⌋ , ⌊ z ⌋ ) {\displaystyle \nu _{C}(x,y,z):=(\lfloor x\rfloor ,\lfloor y\rfloor ,\lfloor z\rfloor )}
μ C ( x , y , z ) := ν C ( ϕ C − 1 ( x , y , z ) ) {\displaystyle \mu _{C}(x,y,z):=\nu _{C}(\phi _{C}^{-1}(x,y,z))}
M C = { C ( x , y , z ) : μ C ( x , y , z ) = μ C ( 0 , 0 , 0 ) } . {\displaystyle M_{C}=\{C(x,y,z):\mu _{C}(x,y,z)=\mu _{C}(0,0,0)\}.}

参考文献

  1. ^ Kraig Grady (1999年10月4日). "CS". Launch.groups.yahoo.com. 2012年7月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2010年12月4日閲覧。

さらに読む

  • フォッカー、AD (1969)、「音符の 3 次元 (3-5-7-) 調和格子におけるユニゾン ベクトルと周期性ブロック」、Proc. Koninklijke Nederlandsche Academy van Wetenschappen、B72 (3)。
  • Paul Erlich、(1999)、「フォッカー周期性ブロックへのやさしい入門: パート 1、パート 2、その他」
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